Корінь із невід'ємного числа. Квадратний корінь. Детальна теорія з прикладами. Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Площа квадратної ділянки землі дорівнює 81 дм2. Знайти його сторону. Припустимо, що довжина сторони квадрата дорівнює хдециметрів. Тоді площа ділянки дорівнює х² квадратним дециметрам. Оскільки за умовою ця площа дорівнює 81 дм², то х² = 81. Довжина сторони квадрата – позитивне число. Позитивним числом, квадрат якого дорівнює 81, є число 9. При розв'язанні задачі потрібно знайти число х, квадрат якого дорівнює 81, тобто вирішити рівняння х² = 81. Це рівняння має два корені: x 1 = 9 і x 2 = — 9, тому що 9² = 81 і (- 9)² = 81. Обидва числа 9 і — 9 називають квадратним корінням з числа 81.

Зауважимо, що одне з квадратних коренів х= 9 є позитивним числом. Його називають арифметичним квадратним коренем із числа 81 і позначають √81, таким чином √81 = 9.

Арифметичним квадратним коренем із числа аназивається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад, числа 6 і — 6 є квадратним корінням із числа 36. При цьому число 6 є арифметичним квадратним коренем із 36, оскільки 6 — невід'ємне число і 6² = 36. Число — 6 не є арифметичним коренем.

Арифметичний квадратний корінь із числа апозначається так: √ а.

Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня; а- називається підкореним виразом. Вираз √ ачитається так: арифметичний квадратний корінь з числа а.Наприклад, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. У тих випадках, коли ясно, що йдеться про арифметичне коріння, коротко кажуть: «корінь квадратний з а«.

Дію знаходження квадратного кореня у складі називають вилученням квадратного кореня. Ця дія є оберненою до зведення в квадрат.

Зводити в квадрат можна будь-які числа, але добувати квадратне коріння можна не з будь-якого числа. Наприклад, не можна витягти квадратний корінь із числа — 4. Якби такий корінь існував, то, позначивши його літерою х, Ми отримали б неправильну рівність х² = - 4, так як зліва стоїть невід'ємне число, а справа - негативне.

Вираз √ амає сенс тільки за а ≥ 0. Визначення квадратного кореня можна коротко записати так: √ а ≥ 0, (√а)² = а. Рівність (√ а)² = асправедливо за а ≥ 0. Таким чином, щоб переконатися в тому, що квадратний корінь з негативного числа адорівнює b, тобто в тому, що √ а =b, потрібно перевірити, чи виконуються такі дві умови: b ≥ 0, b² = а.

Квадратний корінь із дробу

Обчислимо. Зауважимо, що √25 = 5, √36 = 6, і перевіримо чи виконується рівність .

Так як і , то рівність вірна. Отже, .

Теорема:Якщо а≥ 0 та b> 0, тобто корінь із дробу дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь із знаменника. Потрібно довести, що: .

Бо √ а≥0 та √ b> 0, то .

За якістю зведення дробу в ступінь та визначення квадратного кореня теорему доведено. Розглянемо кілька прикладів.

Обчислити , за доведеною теоремою .

Другий приклад: Довести, що , якщо а ≤ 0, b < 0. .

Ще приклад: Обчислити .

Перетворення квадратного коріння

Винесення множника з-під знаку кореня. Нехай дано вираз. Якщо а≥ 0 та b≥ 0, то за теоремою про коріння з твору можна записати:

Таке перетворення називається винесення множника з-під знака кореня. Розглянемо приклад;

Обчислити при х= 2. Безпосередня підстановка х= 2 у підкорене вираз призводить до складних обчислень. Ці обчислення можна спростити, якщо спочатку винести з-під знаку кореня множники: . Підставивши тепер х = 2 отримаємо:.

Отже, при винесенні множника з-під знака кореня являють собою підкорене вираз у вигляді твору, в якому один або кілька множників є квадратами невід'ємних чисел. Потім застосовують теорему про корені з добутку та витягують корінь із кожного множника. Розглянемо приклад: Спростити вираз А = √8 + √18 - 4√2 виносячи в перших двох доданків множники з-під знака кореня, отримаємо:. Підкреслимо, що рівність справедливо тільки за а≥ 0 та b≥ 0. якщо ж а < 0, то .

Розглянемо рівняння х 2 = 4. Розв'яжемо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо параболу у = х 2 і пряму у = 4 (рис. 74). Вони перетинаються у двох точках А (- 2; 4) та B(2; 4). Абсциси точок А та В є корінням рівняння х 2 = 4. Отже, х 1 = - 2, х 2 = 2.

Розмірковуючи так само, знаходимо коріння рівняння х 2 = 9 (див. рис. 74): x 1 = - 3, х 2 = 3.

А тепер спробуємо розв'язати рівняння х 2 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 75. Ясно, що це рівняння має два корені х 1 і х 2 , причому ці числа, як і в двох попередніх випадках, рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком (х 1 - х 2) - Але на відміну від попередніх випадків , де коріння рівняння були знайдені легко (причому їх можна було знайти і не користуючись графіками), з рівнянням х 2 = 5 справа не так: за кресленням ми не можемо вказати значення коренів, можемо тільки встановити, що один корінь розташовується трохи лівіше точки - 2, а другий - трохи правіше

Точки 2.

Що ж це за число (точка), яке розташовується трохи правіше від точки 2 і яке в квадраті дає 5? Зрозуміло, що це 3, оскільки З 2 = 9, т. е. виходить більше, ніж потрібно (9 > 5).

Значить, цікаве для нас число розташоване між числами 2 і 3. Але між числами 2 і 3 знаходиться безліч раціональних чисел, наприклад і т. д. Можливо, серед них знайдеться такий дріб, що? Тоді жодних проблем із рівнянням х 2 — 5 у нас не буде, ми зможемо написати, що

Але тут на нас чекає неприємний сюрприз. Виявляється, немає такого дробу , для якого виконується рівність
Доказ сформульованого твердження є досить складним. Тим не менш, ми його наводимо, оскільки воно красиве і повчальне, дуже корисно спробувати його зрозуміти.

Припустимо, що є такий нескоротний дріб , на яку виконується рівність . Тоді, тобто m2 = 5n2. Остання рівність означає, що натуральне число m 2 ділиться без залишку на 5 (у приватному вийде п2).

Отже, число m 2 закінчується чи цифрою 5, чи цифрою 0. Але й натуральне число m закінчується чи цифрою 5, чи цифрою 0, тобто. число m ділиться на 5 без залишку. Інакше кажучи, якщо число т поділити на 5, то приватному вийде якесь натуральне число k. Це означає,
що m = 5k.
А тепер дивіться:
m 2 = 5n 2;
Підставимо 5k замість m у першу рівність:

(5k) 2 = 5n 2, тобто 25k 2 = 5n 2 або n 2 = 5k 2 .
Остання рівність означає, що число. 5n 2 ділиться на 5 без залишку. Розмірковуючи, як і вище, приходимо до висновку про те, що число n ділиться на 5 без залишку.
Отже, m ділиться на 5, n ділиться на 5, отже, дріб можна скоротити (на 5). Але ж ми припускали, що дріб нескоротний. У чому ж справа? Чому, правильно міркуючи, ми прийшли до абсурду або, як частіше говорять математики, отримали протиріччя"! Та тому, що невірною була вихідна посилка, нібито існує такий нескоротний дріб, для якого виконується рівність
Звідси робимо висновок: такого дробу немає.
Метод доказу, який ми застосували щойно, називають у математиці методом доказу протилежного. Суть його наступного. Нам потрібно довести деяке твердження, а ми припускаємо, що воно не виконується (математики кажуть: «припустимо неприємне» — не в сенсі «неприємне», а в сенсі «протилежне до того, що потрібно»).
Якщо в результаті правових міркувань приходимо до суперечності з умовою, то робимо висновок: наше припущення неправильне, отже, вірне те, що потрібно було довести.

Отже, маючи тільки раціональні числа (а інших чисел ми з вами поки не знаємо), рівняння х 2 = 5 ми вирішити не зможемо.
Зустрівшись вперше з подібною ситуацією, математики зрозуміли, що треба придумати спосіб її опису математичною мовою. Вони ввели до розгляду новий символ , який назвали квадратним коренем, і за допомогою цього символу корені рівняння х 2 = 5 записали так:

чається: «корінь квадратний з 5"). Тепер для будь-якого рівняння виду х 2 = а, де а > О, можна знайти коріння - ними є числа , (Мал. 76).

Ще рае підкреслимо, що число не ціле і не дріб.
Значить, не раціональне число, це число нової природи, про такі числа ми спеціально поговоримо пізніше, розділ 5.
Поки що лише зазначимо, що нове число знаходиться між числами 2 і 3, оскільки 2 2 = 4, а це менше, ніж 5; З 2 = 9, а це більше ніж 5. Можна уточнити:

Справді, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Можна ще
уточнити:

дійсно, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
На практиці зазвичай вважають, що число дорівнює 2,23 або воно дорівнює 2,24, тільки це не проста рівність, а наближена рівність, для позначення якої використовують символ».
Отже,

Обговорюючи рішення рівняння х 2 = а, ми зіштовхнулися із досить типовим для математики станом справ. Потрапляючи в нестандартну, нештатну (як люблять висловлюватися космонавти) ситуацію і не знайшовши виходу з неї за допомогою відомих засобів, математики вигадують для математичної моделі, що вперше зустрілася ним, новий термін і нове позначення (новий символ); іншими словами, вони вводять нове поняття, а потім вивчають властивості цього
концепції. Тим самим нове поняття та його позначення стають надбанням математичної мови. Ми діяли так само: ввели термін «корінь квадратний із числа а», ввели символ для його позначення, а трохи згодом вивчимо властивості нового поняття. Поки що ми знаємо лише одне: якщо а > 0,
то - позитивне число, що задовольняє рівняння х 2 = а. Іншими словами, це таке позитивне число, при зведенні якого в квадрат виходить число а.
Оскільки рівняння х 2 = 0 має корінь х = 0, умовилися вважати, що
Тепер ми готові дати чітке визначення.
Визначення. Квадратним коренем з невід'ємного числа називають таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом.
Отже, якщо а - невід'ємне число, то:

Якщо а< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Таким чином, вираз має сенс лише за а > 0.
Кажуть що — одна й та сама математична модель (одна й та сама залежність між невід'ємними числами
(а та b), але тільки друга описана більш простою мовою, ніж перша (використовує простіші символи).

Операцію знаходження квадратного кореня з негативного числа називають вилученням квадратного кореня. Ця операція є зворотною по відношенню до будівництва в квадрат. Порівняйте:

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це зазначено у визначенні квадратного кореня. І хоча, наприклад, (- 5) 2 = 25 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня (тобто написати, що.)
не можна. За визначенням, . - Позитивне число, значить, .
Часто говорять не «квадратний корінь», а «арифметичний квадратний корінь». Термін "арифметичний" ми опускаємо для стислості.

Г) На відміну від попередніх прикладів ми можемо вказати точне значення числа . Зрозуміло лише, що воно більше, ніж 4, але менше, ніж 5, оскільки

42 = 16 (це менше, ніж 17), а 52 = 25 (це більше, ніж 17).
Втім, наближене значення числа можна знайти за допомогою мікрокалькулятора, що містить операцію вилучення квадратного кореня; це значення дорівнює 4,123.
Отже,
Число , як і розглянуте вище число не є раціональним.
д) Обчислити не можна, оскільки квадратний корінь із негативного числа не існує; запис позбавлений сенсу. Запропоноване завдання некоректне.
е) , оскільки 31 > 0 і 31 2 = 961. У таких випадках доводиться використовувати таблицю квадратів натуральних чисел чи мікрокалькулятор.
ж), оскільки 75 > 0 та 75 2 = 5625.
У найпростіших випадках значення квадратного кореня обчислюється відразу: тощо. буд. У складніших випадках доводиться використовувати таблицю квадратів чисел чи проводити обчислення з допомогою микрокалькулятора. А як бути, якщо під рукою немає таблиці, ні калькулятора? Відповімо на це питання, вирішивши наступний приклад.

приклад 2.Обчислити
Рішення.
Перший етап.Неважко здогадатися, що у відповіді вийде 50 із «хвостиком». Справді, 50 2 = 2500, а 60 2 = 3600, а число 2809 перебуває між числами 2500 і 3600.

Другий етап.Знайдемо «хвостик», тобто. останню цифру шуканого числа. Поки ми знаємо, що якщо корінь витягується, то у відповіді може вийти 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 або 59. Перевірити треба тільки два числа: 53 і 57, оскільки вони при зведенні в квадрат дадуть в результаті чотиризначне число, що закінчується цифрою 9, тобто тією самою цифрою, якою закінчується число 2809.
Маємо 532 = 2809 це те, що нам потрібно (нам пощастило, ми відразу потрапили в «яблучко»). Отже, = 53.
Відповідь:

53
приклад 3.Катети прямокутного трикутника дорівнюють 1 см і 2 см. Чому дорівнює гіпотенуза трикутника? (Мал.77)

Рішення.

Скористаємося відомої з геометрії теореми Піфагора: сума квадратів довжин катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату довжини його гіпотенузи, тобто а 2 + b 2 = с 2 де а, b - катети, с - гіпотенуза прямокутного трикутника.

Значить,

Цей приклад показує, що введення квадратного коріння — не забаганка математиків, а об'єктивна необхідність: у реальному житті зустрічаються ситуації, математичні моделі яких містять операцію вилучення квадратного кореня. Мабуть, найважливіша з таких ситуацій пов'язана з
розв'язанням квадратних рівнянь. Досі, зустрічаючись з квадратними рівняннями ах 2 + bх + с = 0, ми або розкладали ліву частину на множники (що виходило далеко не завжди), або використовували графічні методи (що теж не дуже надійно, хоч і красиво). Насправді для відшукання
коріння х 1 і х 2 квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0 у математиці використовуються формули

містять, як видно, знак квадратного кореня. Ці формули застосовуються практично таким чином. Нехай, наприклад, треба розв'язати рівняння 2х 2 + bх - 7 = 0. Тут а = 2, b = 5, с = - 7. Отже,
b2 - 4ас = 5 2 - 4. 2 . (- 7) = 81. Далі знаходимо . Значить,

Вище ми зазначили, що не раціональне число.
Математики такі числа називають ірраціональними. Ірраціональним є будь-яке число виду, якщо квадратний корінь не витягується. Наприклад, і т.д. - Ірраціональні числа. У розділі 5 ми докладніше поговоримо про раціональні та ірраціональні числа. Раціональні та ірраціональні числа разом становлять безліч дійсних чисел, тобто. безліч усіх тих чисел, якими ми оперуємо в реальному житті (у дійсний-
ності). Наприклад, все це дійсні числа.
Подібно до того, як вище ми визначили поняття квадратного кореня, можна визначити і поняття кубічного кореня: кубічним коренем з невід'ємного числа а називають таке невід'ємне число, куб якого дорівнює а. Інакше кажучи, рівність означає, що b 3 = а.

Все це ми вивчатимемо в курсі алгебри 11-го класу.

Поняття квадратного кореня з невід'ємного числа

Розглянемо рівняння х2 = 4. Розв'яжемо його графічно. Для цього в одній системі координатзбудуємо параболу у = х2 і пряму у = 4 (рис. 74). Вони перетинаються у двох точках А (- 2; 4) та B(2; 4). Абсциси точок А та В є корінням рівняння х2 = 4. Отже, х1 = - 2, х2 = 2.

Розмірковуючи так само, знаходимо коріння рівняння х2 = 9 (див. рис. 74): x1 = - 3, х2 = 3.

А тепер спробуємо розв'язати рівняння х2 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 75. Ясно, що це рівняння має два корені х1 і х2, причому ці числа, як і в двох попередніх випадках, рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком (х1 - - х2) - Але на відміну від попередніх випадків, де коріння рівняння були знайдені легко (причому їх можна було знайти і не користуючись графіками), з рівнянням х2 = 5 справа не так: за кресленням ми не можемо вказати значення коренів, можемо тільки встановити, що один коріньрозташовується трохи лівіше точки - 2, а другий - трохи правіше точки 2.

Але тут на нас чекає неприємний сюрприз. Виявляється, немає такої дроби DIV_ADBLOCK32">

Припустимо, що є такий нескоротний дріб, для якого виконується рівність https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, Т. е. m2 = 5n2. Остання рівність означає, що натуральне число m2 ділиться без залишку на 5 (у приватному вийде п2).

Отже, число m2 закінчується чи цифрою 5, чи цифрою 0. Але й натуральне число m закінчується чи цифрою 5, чи цифрою 0, т. е. число m ділиться на 5 без залишку. Інакше кажучи, якщо число т поділити на 5, то приватному вийде якесь натуральне число k. Це означає, що m = 5k.

А тепер дивіться:

Підставимо 5k замість m у першу рівність:

(5k) 2 = 5n2, тобто 25k2 = 5n2 або n2 = 5k2.

Остання рівність означає, що число. 5n2 ділиться на 5 без залишку. Розмірковуючи, як і вище, приходимо до висновку про те, що число n ділиться на 5 без залишку.

Отже, m ділиться на 5, n ділиться на 5, отже, дріб можна скоротити (на 5). Але ж ми припускали, що дріб нескоротний. У чому ж справа? Чому, правильно міркуючи, ми прийшли до абсурду або, як частіше говорять математики, отримали протиріччя"! Та тому, що невірною була вихідна посилка, нібито існує такий нескоротний дріб, для якого виконується рівність ).

Якщо в результаті правових міркувань приходимо до суперечності з умовою, то робимо висновок: наше припущення неправильне, отже, вірне те, що потрібно було довести.

Отже, маючи в своєму розпорядженні тільки раціональними числами(А інших чисел ми з вами поки не знаємо), рівняння х2 = 5 ми не зможемо вирішити.

Зустрівшись вперше з подібною ситуацією, математики зрозуміли, що треба придумати спосіб її опису математичною мовою. Вони ввели на розгляд новий символ , який назвали квадратним коренем, і за допомогою цього символу коріння рівняння х2 = 5 записали так: ). Тепер для будь-якого рівняння виду х2 = а, де а > О, можна знайти коріння - ними є числа https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}не ціле і не дріб.
Значить, не раціональне число, це число нової природи, про такі числа ми спеціально поговоримо пізніше, розділ 5.
Поки що лише зазначимо, що нове число знаходиться між числами 2 і 3, оскільки 22 = 4, а це менше, ніж 5; З2 = 9, а це більше ніж 5. Можна уточнити:

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це зазначено у визначенні квадратного кореня. І хоча, наприклад, = 25 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня (тобто написати, що). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}- Позитивне число, значить, https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Зрозуміло лише, що вона більша, ніж 4, але менша, ніж 5, оскільки 42 = 16 (це менше, ніж 17), а 52 = 25 (це більше, ніж 17).
Втім, наближене значення числа можна знайти за допомогою мікрокалькуляторащо містить операцію вилучення квадратного кореня; це значення дорівнює 4,123.

Число , як і розглянуте вище число не є раціональним.
д) Обчислити не можна, оскільки квадратний корінь із негативного числа не існує; запис позбавлений сенсу. Запропоноване завдання некоректне.
е) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Завдання" width="80" height="33 id=">!}оскільки 75 > 0 і 752 = 5625.

У найпростіших випадках значення квадратного кореня обчислюється відразу:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Завдання" width="65" height="42 id=">!}
Рішення.
Перший етап.Неважко здогадатися, що у відповіді вийде 50 із «хвостиком». Справді, 502 = 2500, а 602 = 3600, а число 2809 перебуває між числами 2500 і 3600.

Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!

Почнемо з простенького:

Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:

Засвоїв? Ось тобі наступний:

Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:

А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Тепер повністю самостійно:

Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!

Розподіл коренів

З множенням коренів розібралися, тепер приступимо до властивості поділу.

Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:

А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.

Ну що, давай розбиратись на прикладах:

Ось і вся наука. А ось такий приклад:

Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.

А що, якщо трапиться такий вираз:

Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:

А ось такий приклад:

Ще ти можеш зустріти такий вираз:

Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!

Впевнена, що ти з усім, усім впорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.

Зведення в ступінь

А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня з числа - це число, квадратний корінь якого дорівнює.

Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?

Ну звичайно, !

Розглянемо на прикладах:

Все просто, правда? А якщо корінь буде іншою мірою? Нічого страшного!

Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.

Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а як витягти корінь із числа в міру? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:

А ось і відповіді:

Внесення під знак кореня

Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під корінь!

Це дуже легко!

Допустимо, у нас записано число

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.

Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:

Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!

Порівняння коренів

Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?

Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)

Отримані відповіді нам необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для розв'язування рівняння. І ось тут виникає заковика: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Отож і воно!

Наприклад, визнач, що більше: чи?

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?

Тоді вперед:

Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!

Тобто. якщо, отже, .

Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

Вилучення коренів із великих чисел

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:

Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під коренем на окремі множники:

А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):

Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!

Ось і все, не так все і страшно, правда?

Вийшло? Молодець, все правильно!

А тепер спробуй такий приклад вирішити:

А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.

Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки ділимості):

А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):

Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!

Підведемо підсумки

Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) із невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює.
.
Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь із чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.
Властивості арифметичного кореня:
При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.

Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло?

Ми постаралися пояснити тобі без води все, що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.

Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.

Дізнався ти щось нове чи все було так ясно.

Пиши в коментарях та удачі на іспитах!

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обгрунтуванням цього факту вважатимуться конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a. Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a і b обидва позитивні чи обидва негативні їх добуток є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що у дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.