Завдання про рівнобедрені трикутники. Як побудувати рівнобедрений трикутник Побудувати рівнобедрений трикутник збоку
Рівностегновимє такою трикутник, У якого довжини двох сторін дорівнює між собою.
При вирішенні завдань на тему "Рівнобедрений трикутник"необхідно користуватися такими відомими властивостями:
1.
Кути, що лежать навпроти рівних сторін, рівні між собою.
2.
Бісектриси, медіани та висоти, проведені з рівних кутів, рівні між собою.
3.
Бісектриса, медіана та висота, проведені до основи рівнобедреного трикутника, між собою збігаються.
4.
Центр вписаного та центр описаного кіл лежать на висоті, а значить і на медіані та бісектрисі, проведеній до основи.
5.
Кути, які є рівними в рівнобедреному трикутнику, завжди гострі.
Трикутник є рівнобедреним, якщо у нього присутні наступні ознаки:
1.
Два кути у трикутника рівні.
2.
Висота збігається із медіаною.
3.
Бісектриса збігається з медіаною.
4.
Висота збігається з бісектрисою.
5.
Дві висоти трикутника рівні.
6.
Дві бісектриси трикутника рівні.
7.
Дві медіани трикутника рівні.
Розглянемо кілька завдань на тему "Рівнобедрений трикутник"і наведемо докладне їхнє рішення.
Завдання 1.
У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, дорівнює 8, а основа відноситься до бічної сторони як 6: 5. Знайти, на якій відстані від вершини трикутника знаходиться точка перетину його бісектрис.
Рішення.
Нехай дано рівнобедрений трикутник АВС (Рис. 1).
1) Оскільки АС: ВС = 6: 5, то АС = 6х та ВС = 5х. ВН - висота, проведена до основи АС трикутника АВС.
Оскільки точка Н – середина АС (за якістю рівнобедреного трикутника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
(5х) 2 = 8 2 + (3х) 2;
х = 2, тоді
АС = 6х = 6 · 2 = 12 і
НД = 5х = 5 · 2 = 10.
3) Так як точка перетину бісектрис трикутника є центром вписаного в нього кола, то
ВІН = r. Радіус вписаного в трикутник АВС кола знайдемо за формулою
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тоді ВІН = r = 48/16 = 3.
Звідси ВО = ВН - ВІН; ВО = 8 - 3 = 5.
Відповідь: 5.
Завдання 2.
У рівнобедреному трикутнику АВС проведено бісектрису АD. Площі трикутників ABD та ADC дорівнюють 10 та 12. Знайти збільшену втричі площу квадрата, побудованого на висоті цього трикутника, проведеної до основи АС.
Рішення.
Розглянемо трикутник АВС – рівнобедрений, АD – бісектриса кута А (Рис. 2).
1) Розпишемо площі трикутників ВАD та DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Знайдемо відношення площ:
S BAD / S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB / AC.
Оскільки S BAD = 10, S DAC = 12, то 10/12 = АВ/АС;
АВ/АС = 5/6, тоді нехай АВ = 5х та АС = 6х.
АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
3) З трикутника АВН – прямокутного за теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2;
25х2 = ВН 2 + 9х2;
4) S A ВС = 1/2 · AС · ВН; S A В C = 1/2 · 6х · 4х = 12х2.
Так як S A ВС = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, тоді 22 = 12х2;
х 2 = 11/6; ВН 2 = 16х2 = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.
5) Площа квадрата дорівнює ВН 2 = 88/3; 3 · 88/3 = 88.
Відповідь: 88.
Завдання 3.
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 4, а бічна сторона дорівнює 8. Знайти квадрат висоти, опущеної на бічний бік.
Рішення.
У трикутнику АВС – рівнобедреному ВС = 8, АС = 4 (Рис. 3).
1) ВН - висота, проведена до основи АС трикутника АВС.
Оскільки точка Н – середина АС (за якістю рівнобедреного трикутника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.
2) З трикутника ВПС – прямокутного за теоремою Піфагора ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
64 = ВН 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), а так само S ABC = 1/2 · (АМ · ВС), тоді прирівняємо праві частини формул, отримаємо
1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · НД;
АМ = (AC · BH) / НД;
АМ = (√60 · 4) / 8 = (2 - 15 · 4) / 8 = - 15.
Відповідь: 15.
Завдання 4.
У рівнобедреному трикутнику основа та опущена на нього висота, рівні 16. Знайти радіус описаного біля цього трикутника кола.
Рішення.
У трикутнику АВС – рівнобедрена основа АС = 16, ВН = 16 – висота, проведена до основи АС (Рис. 4).
1) АН = НС = 8 (за якістю рівнобедреного трикутника).
2) З трикутника ВПС – прямокутного за теоремою Піфагора
ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
НД 2 = 8 2 + 16 2 = (8 · 2) 2 + 8 2 = 8 2 · 4 + 8 2 = 8 2 · 5;
3) Розглянемо трикутник АВС: за теоремою синусів 2R = AB/sin C, де R – радіус описаного біля трикутника АВС кола.
sin C = BH/BC (з трикутника ВНС за визначенням синуса).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тоді 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R=10.
Відповідь: 10.
Завдання 5.
Довжина висоти, проведеної до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 36, а радіус вписаного кола дорівнює 10. Знайти площу трикутника.
Рішення.
Нехай дано рівнобедрений трикутник АВС.
1) Так як центр вписаної в трикутник кола є точкою перетину його бісектрис, то О ϵ ВН і АТ є бісектрисою кута А, а струм ВІН = r = 10 (Рис. 5).
2) ВО = ВН - ВІН; ВО = 36 - 10 = 26.
3) Розглянемо трикутник АВН. За теоремою про бісектрису кута трикутника
АВ/АН = ВО/ВІН;
АВ/АН = 26/10 = 13/5, тоді нехай АВ = 13х та АН = 5х.
По теоремі Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2;
(13х) 2 = 36 2 + (5х) 2;
169х2 = 25х2 + 362;
144х 2 = (12 · 3) 2;
144х 2 = 144 · 9;
х = 3, тоді АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Відповідь: 540.
Завдання 6.
У рівнобедреному трикутнику дві сторони дорівнюють 5 і 20. Знайти бісектрису кута при основі трикутника.
Рішення.
1) Припустимо, що бічні сторони трикутника дорівнюють 5, а основа – 20.
Тоді 5+5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Рис. 6).
2) Нехай LC = х, тоді BL = 20 - х. За теоремою про бісектрису кута трикутника
АВ/АС = ВL/LC;
20/5 = (20 - x) / x,
тоді 4х = 20 - x;
Таким чином, LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.
3) Скористаємося формулою бісектриси кута трикутника:
AL 2 = AB · AC - BL · LC,
тоді AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;
Відповідь: 6.
Залишились питання? Чи не знаєте, як вирішувати геометричні завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
VIII . Групи завдань на побудову.
Розв'язання груп завдань із використанням допоміжного трикутника.
Суть способу – побудова допоміжних трикутників та використання їх властивостей та знову отриманих елементів для остаточного вирішення задачі.
Аналіз побудови складається з наступних етапів:
Шукай під час аналізу допоміжний трикутник.
Якщо з'являться нові елементи, за допомогою яких можна побудувати трикутник АВС, то мета досягнута.
Якщо цього не станеться, то, можливо, можна побудувати ще один допоміжний трикутник, який дасть відсутні елементи.
Розберемо суть методу на прикладах.
Завдання 1. Побудувати рівнобедрений трикутник АВС ( b= c) за a, h b .
Шукаємо допоміжний трикутник. Очевидно, що таким трикутником зручно вважати трикутник CDB.
Це дасть кут, отже, і кут АВС. Отже, є а, кут, кут З, значить можна побудувати трикутник АВС. Схематично це записуватимемо так:
(а, h b) → CDB →< C.
(a,< B, < C) → Δ ABC.
Завдання для самостійного вирішення:
Використовуючи міркування, аналогічні наведеним, рекомендуємо побудувати рівнобедрений трикутник (b=c) за такими даними:
а)< А, h b ;
б)< В, h с;
г)< В, h b ;
е)< С, h b .
Задача 2. Побудувати трикутник по радіусу r вписаного кола, куту А та куту В.
Нехай I – центр кола, вписаного у трикутник АВС.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AВ|) → (с,< А, < В) → Δ ABC.
Завдання для самостійного вирішення:
Побудувати трикутник за такими елементами:
а) a, h c, h b; б) a, h а, h b; в) a, ma, b;
г)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
ж) b, h b , m b (де m – медіани, l – бісектриси, h – висоти).
Самостійно:
Розв'язання груп завдань із опорою на основну.
Основне завдання:
побудувати ромб ABCD по діагоналі BD та висоті BM. (Δ BHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
побудувати трапецію з чотирьох сторін.
Побудувати трикутник з обох боків і кутку, укладеному між ними.
Основне завдання:
Побудувати прямокутний трикутник за двома катетами.
Побудувати ромб за двома діагоналями.
Побудувати прямокутник з двох нерівних сторін.
Побудувати паралелограм за двома діагоналями та кутом між ними.
Побудувати прямокутник по діагоналях та кутку між ними.
Побудувати трикутник з обох боків і двох прилеглих кутах.
Завдання для самостійного вирішення:
Основне завдання:
Побудувати рівнобедрений трикутник з основи та прилеглого кута.
Побудувати прямокутний трикутник по катету і гострому кутку.
Побудувати ромб по кутку та діагоналі, що проходить через вершину цього кута.
Побудувати рівнобедрений трикутник за висотою та кутом при вершині.
Побудувати квадрат по даній діагоналі.
Побудувати прямокутний трикутник з гіпотенузи та гострого кута.
Завдання для самостійного вирішення:
Основне завдання:
Побудувати рівнобедрений трикутник збоку і куту при підставі.
Побудувати рівнобедрений трикутник збоку і кутку при вершині.
Побудувати трикутник з трьох сторін.
Завдання для самостійного вирішення:
Основне завдання:
Побудувати рівнобедрений трикутник з основи та бічній стороні.
Побудувати ромб збоку та діагоналі.
Побудувати паралелограм з двох нерівних сторін і діагоналі.
Побудувати паралелограм з обох боків і двом діагоналям.
Побудувати прямокутний трикутник по катету та гіпотенузі.
Завдання для самостійного вирішення:
Побудувати рівнобедрений трикутник по висоті та бічній стороні.
Побудувати рівнобедрений трикутник з основи та перпендикуляра, опущеного з кінця основи на бічну сторону.
Побудувати паралелограм на основі, висоті та діагоналі.
Побудувати ромб по висоті та діагоналі.
Побудувати рівнобедрений трикутник збоку та висоті, опущеної з неї.
Побудувати трикутник на основі, висоті та бічній стороні.
Література:
Б. І. Аргунов, М. Б. Балк "Геометричні побудови на площині", М, "Освіта" 1955р.
Глейзер Р. І. “Історія математики у шкільництві” IV – VI кл., М, “Освіта”, 1981 р.
І. Гольденблант "Досвід вирішення геометричних завдань на побудову" "Математика в школі" № 3, 1946 р.
І. А. Кушнір "Про один спосіб вирішення завдань на побудову" "Математика в школі" № 2, 1984 р.
А. І. Мостової "Застосовувати різні способи вирішення завдань на побудову" "Математика в школі" № 5, 1983 р.
А. А. Попова "Математика" Навчальний посібник. "Челябінський державний педагогічний університет", 2005 р.
Є. М. Селезньова, М. М. Серебрякова “Геометричні побудови у I – V класах середньої школи” Методичні розробки. Свердловськ, 1974 р.
Як побудувати рівнобедрений трикутник? Це легко зробити за допомогою лінійки, олівця та клітинок зошита.
Побудова рівнобедреного трикутника починаємо з основи. Щоб малюнок вийшов рівним, кількість клітин у підставі має бути парним числом.
Ділимо відрізок - основа трикутника - навпіл.
Вершину трикутника можна вибрати на будь-якій висоті від основи, але обов'язково рівно над серединою.
Як побудувати гострокутний рівнобедрений трикутник?
Кути при основі рівнобедреного трикутника можуть бути лише гострими. Щоб рівнобедрений трикутник вийшов гострокутним, кут при вершині теж має бути гострим.
Для цього вершину трикутника вибираємо вище, подалі від основи.
Чим вища вершина, тим менший кут при вершині. Кути при підставі при цьому відповідно збільшуються.
Як побудувати тупокутний рівнобедрений трикутник?
З наближенням вершини рівнобедреного трикутника до основи градусна міра кута при вершині збільшується.
Отже, щоб побудувати рівнобедрений тупокутний трикутник, вершину вибираємо нижче.
Як побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник?
Щоб побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник, треба вибрати вершину на відстані, що дорівнює половині основи (це обумовлено властивостями рівнобедреного прямокутного трикутника).
Наприклад, якщо довжина основи - 6 клітин, то вершину трикутника розташовуємо на висоті 3 клітин над серединою основи. Зверніть увагу: у своїй кожна клітинка біля кутів при основі ділиться по діагоналі.
Побудову рівнобедреного прямокутного трикутника можна розпочати з вершини.
Вибираємо вершину, від неї під прямим кутом відкладаємо рівні відрізки вгору та вправо. Це бічні сторони трикутника.
З'єднаємо їх та отримаємо рівнобедрений прямокутний трикутник.
Побудова рівнобедреного трикутника за допомогою циркуля та лінійки без поділів розглянемо в іншій темі.