Як знайти площу основи чотирикутної піраміди. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди: формули та приклади задач
Інструкція
Перш за все, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою різних формул, в залежності від відомих даних:
S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;
S = a*b*sinβ, де a, b - сторони трикутника, а - кут між цими сторонами;
S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;
S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (якщо трикутник - прямокутний);
S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).
Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.
Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:
Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-го трикутника, що є частиною її бічної поверхні.
Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.
Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:
S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²
Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:
125.137 см² * 4 = 500.548 см²
Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²
Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб = 1/2P * h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).
Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S=1/2b*h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.
Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить в основі піраміда: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .
Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Знайти площу бічної поверхні піраміди дуже просто. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав з . Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні. Допустимо, дана правильна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.
Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.
У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди можна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:
де p - периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a - апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжину всіх необхідних елементів, знайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику усі сторони рівні, отже, периметр розраховується по формуле:
Підставимо дані та знайдемо значення:
Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні: 
Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула: 
Формула площі основи трикутної піраміди може бути іншою. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.
Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується на підставі піраміди. Підставимо дані у формулу: 
Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи. 
Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні за вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:
Підставляємо дані у формулу: 
Тепер знайдемо площу основи: 
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди: 
При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.
– це постать, основу якої лежить довільний багатокутник, а бічні грані представлені трикутниками. Їхні вершини лежать в одній точці і відповідають вершині піраміди.
Піраміда може бути різноманітною – трикутною, чотирикутною, шестикутною тощо. Її назву можна визначити в залежності від кількості кутів, що прилягають до основи.
Правильною пірамідоюназивається піраміда, в якій рівні сторони основи, кути і ребра. Також у такій піраміді дорівнюватиме площа бічних граней.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ усіх її граней:
Тобто, щоб розрахувати площу бічної поверхні довільної піраміди, необхідно знайти площу кожного окремого трикутника та скласти їх між собою. Якщо піраміда усічена, її межі представлені трапеціями. Для правильної піраміди є інша формула. У ній площа бічної поверхні розраховується через півпериметр основи та довжину апофеми:
Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.
Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Сторона заснування b= 6 см, а апофема a= 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні.
В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Для початку знайдемо його периметр:
Тепер можемо прорахувати площу бічної поверхні нашої піраміди: 
Для того щоб знайти повну площу багатогранника, потрібно знайти площу його основи. Формула площі основи піраміди може відрізнятися, залежно від того, який багатокутник лежить в основі. Для цього використовуються формули площі трикутника, площі паралелограмаі т.д.
Розглянь приклад розрахунку площі основи піраміди, заданої нашими умовами. Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить квадрат.
Площа квадратарозраховується за формулою: ,
де a - Сторона квадрата. У нас вона дорівнює 6 см. Значить площа основи піраміди: 
Тепер залишається лише знайти повну площу багатогранника. Формула площі піраміди складається із суми площі її основи та бічної поверхні.
Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).
Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.
Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.
Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.
Об'єм та площа поверхні піраміди
Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:
Властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, то навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).
Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.
Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.
2. Усі бічні ребра рівні.
3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.
4. Апофеми всіх бічних граней рівні.
5. Площі всіх бічних граней рівні.
6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.
8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.
Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).
Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.
Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.
Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.
Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.
Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.
Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.
Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.
Чи є загальна формула? Ні, взагалі немає. Просто потрібно шукати площі бічних граней та підсумовувати їх.
Формулу можна написати для прямий призми:
Де – периметр основи.
Але все-таки набагато простіше у кожному даному випадку скласти всі площі, ніж запам'ятовувати додаткові формули. Наприклад порахуємо повну поверхню правильної шестикутної призми.
Усі бічні грані – прямокутники. Значить.
Це вже виводили за підрахунку обсягу.
Отже, отримуємо:
Площа поверхні піраміди
Для піраміди також діє загальне правило:
Тепер давай порахуємо площу поверхні найпопулярніших пірамід.
Площа поверхні правильної трикутної піраміди
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне. Потрібно знайти в.
Згадаймо тепер, що
Це площа правильного трикутника.
І ще згадаємо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:
У нас "" - це, а "" - це теж, а.
Тепер знайдемо.
Користуючись основною формулою площі та теоремою Піфагора, знаходимо
Увага:якщо в тебе правильний тетраедр (тобто), то формула виходить такою:
Площа поверхні правильної чотирикутної піраміди
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне.
В основі – квадрат, і тому.
Залишилось знайти площу бічної грані
Площа поверхні правильної шестикутної піраміди.
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.
Як знайти? Шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку площі поверхні правильної трикутної піраміди, тут використовуємо знайдену формулу.
Ну, і площу бічної грані ми вже шукали аж двічі
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!