Знаходження довжини дуги онлайн. Коло та вписаний кут. Візуальний гід (2019)

Коло, його частини, їх розміри та співвідношення - речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії?

Давайте спочатку розглянемо, які кола бувають частини і як вони називаються.

• Коло - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина кола.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина кола, обмежена хордою та дугою.
• Сектор - частина кола, обмежена двома радіусами та дугою.

Величина, що цікавить нас, та їх позначення:

Тепер побачимо, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслету). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр та центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися про його розмір у проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги та діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатись висоту деталі, отриманої згинанням плоскої заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги та діаметр, довжина дуги та хорда; Визначити висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я навів лише для того, щоб показати необхідність завдання якихось двох параметрів для знаходження всіх інших. Ось цим ми й займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них усі можливі пари, вважатимемо їх вихідними даними та шляхом мозкового штурму знаходити всі інші.

Щоб не даремно вантажити читача, докладних рішень я наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де немає формального рішення, я обговорю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в тих самих абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба задавати в сантиметрах, а результуючі значення вимірюватимуться в тих же міліметрах (а площі в квадратних міліметрах). Те саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут завжди вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують щось кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить у глухий кут, тоді як «кут сорок п'ять градусів» — зрозуміла всім, оскільки це всього на п'ять градусів вище за норму. Однак, у всіх формулах буде присутнім як проміжна величина ще один кут - α. За змістом, це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дані діаметр D та довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дані діаметр D та довжина хорди X

; довжина дуги;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, це завдання не одне, а два рішення. Щоб отримати друге, потрібно у наведених вище формулах замінити кут α на кут .

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дані діаметр D та висота сегмента H

; довжина дуги;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжину дуги L і центральний кут φ

; діаметр;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжину хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр; висота сегмента .

9. Дані довжина хорди X та висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги; довжина хорди .

Уважний читач не міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжину дуги L і довжину хорди X

7. Дані довжина дуги L та висота сегмента H

Це якраз ті два неприємні випадки, коли завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання не таке вже рідкісне. Наприклад, у вас є плоска заготівля довжини L і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметра взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до розв'язання рівнянь:
; - у варіанті 5
; - У варіанті 7
і хоч вони й не вирішуються аналітично, проте легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям . Все те, що я довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину кола та три значення площ – кола, сектора та сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одними й тими самими формулами:

довжина окружності ;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегменту ;

І насамкінець ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовної програми, яка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.

Формула для знаходження довжини дуги кола досить проста, і дуже часто на важливих іспитах типу ЄДІ зустрічаються такі завдання, які неможливо вирішити без застосування. Також необхідно її знати для складання міжнародних стандартизованих тестів, наприклад, SAT та інших.

Чому дорівнює довжина дуги кола?

Формула виглядає так:

l = πrα / 180 °

Що являє собою кожен з елементів формули:

• π - число Пі (постійна величина, що дорівнює ≈ 3,14);
• r - радіус цього кола;
• α - величина кута, який спирається дуга (центральний, а чи не вписаний).

Як видно, щоб розв'язати задачу, в умові повинні бути r і α. Без цих двох величин довжину дуги знайти неможливо.

Яким чином виводиться ця формула і чому так виглядає?

Все дуже легко. Стане набагато зрозуміліше, якщо в знаменнику поставити 360 °, а в чисельнику спереду додати двійку. Також можна α не залишити в дробі, вивести її та написати зі знаком множення. Це цілком можна собі дозволити, тому що даний елемент стоїть у чисельнику. Тоді загальний вигляд стане таким:

l = (2πr / 360 °) × α

Просто для зручності скоротили 2 та 360°. А тепер, якщо придивитися, то можна помітити дуже знайому формулу довжини всього кола, а саме - 2πr.Все коло складається з 360 °, тому ми ділимо отриманий захід на 360 частин. Потім ми множимо на число α, тобто на ту кількість "шматків пирога", яка нам потрібна. Але всім відомо, що число (тобто довжина всього кола) не може ділитися на градус. Що ж робити у такому разі? Зазвичай, як правило, градус скорочується із градусом центрального кута, тобто з α. Після ж залишаються лише числа, а результаті виходить кінцевий відповідь.

Цим можна пояснити те, чому довжина дуги кола знаходиться таким чином і має такий вигляд.

Приклад завдання середньої складності із застосуванням даної формули

Умова: Є коло з радіусом 10 сантиметрів. Градусний захід центрального кута становить 90°. Знайти довжину дуги кола, утворену цим кутом.

Рішення: l = 10? × 90 ° / 180 ° = 10? × 1 / 2 = 5?

Відповідь: l = 5π

Також можливо, щоб замість градусного заходу давалася б радіальна міра кута. У жодному разі не варто лякатися, адже цього разу завдання стало набагато легшим. Щоб перевести радіальну міру в градусну, потрібно це число помножити на 180 ° / π. Отже, тепер можна підставити замість α наступну комбінацію: m × 180 ° / π. Де m – це радіанне значення. А далі 180 і число π скорочуються і виходить спрощена формула, яка виглядає наступним чином:

• m - радіанна міра кута;
• r - радіус цього кола.

Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що розташовуються на рівній відстані від центральної єдиної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина окружностіобчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^(2)

Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дугиможна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучої.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC = CB

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Який спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписане коло

Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Окружність може бути вписаною над кожен многоугольник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

S = pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r = \frac(S)(p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC = AD + BC

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

r = \frac(S)(p) ,

де p = \frac(a + b + c)(2)

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = frac(abc)(4 S)

a, b, c - Довжини сторін трикутника,

S – площа трикутника.

Теорема Птолемея

Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Завдання 10 (ОДЕ - 2015)

На колі з центром O відзначені точки A і B так, що AOB = 18°. Довжина меншої дуги AB дорівнює 5. Знайдіть довжину більшої дуги кола.

Рішення

∠ AOB = 18 °. Все коло становить 360 °. Тому ∠ AOB становить 18/360 = 1/20 кола.

Отже, і менша дуга AB становить 1/20 всього кола, тому велика дуга - це частина, тобто. 19/20 кола.

1/20 кола відповідає довжині дуги, що дорівнює 5. Тоді довжина більшої дуги дорівнює 5 * 19 = 95.

Завдання 10 (ОДЕ - 2015)

На колі з центром O відмічені точки A і B так, що AOB = 40°. Довжина меншої дуги AB дорівнює 50. Знайдіть довжину більшої дуги кола.

Рішення

∠ AOB = 40 °. Все коло становить 360 °. Тому ∠ AOB становить 40/360 = 1/9 кола.

Отже, і менша дуга AB становить 1/9 всього кола, тому велика дуга - це частина, тобто. 8/9 кола.

1/9 кола відповідає довжині дуги, що дорівнює 50. Тоді довжина більшої дуги дорівнює 50 * 8 = 400.

Відповідь: 400.

Завдання 10 (ДІА - 2014)

Довжина хорди кола дорівнює 72, а відстань від центру кола до цієї хорди дорівнює 27. Знайдіть діаметр кола.

Рішення

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника AOB отримаємо:

AO 2 = OB 2 +AB 2 ,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729 +1296 = 2025,

Тоді діаметр дорівнює 2R = 2 * 45 = 90.

Завдання 10 (ДІА - 2014)

Точка O - центр кола, на якому лежать точки A, B і C. Відомо, що ∠ABC = 134° та ∠OAB = 75°. Знайдіть кут BCO.Відповідь дайте у градусах.

Частина фігури, яка утворює коло, точки якого рівновіддалені, називається дугою. Якщо з точки центру кола провести промені в точки, що збігаються з кінцями дуги, буде утворено її центральний кут.

Визначення довжини дуги

Виготовляється за такою формулою:

де L - довжина дуги, π = 3,14, r - радіус кола, α - центральний кут.

L

3,14 × 10 × 85

14,82

Відповідь:

Довжина дуги кола дорівнює 14,82 сантиметра.

В елементарній геометрії під дугою розуміється підмножина кола, розташованого між двома розташованими на ньому точками. На практиці вирішувати завдання з визначеннюїї довжиниінженерам та архітекторам доводиться досить часто, оскільки цей геометричний елемент широко поширений у найрізноманітніших конструкціях.

Мабуть, першим, перед ким постало це завдання, були стародавні архітектори, яким так чи інакше доводилося визначати цей параметр для спорудження склепінь, що широко використовуються для перекриття проміжків між опорами в круглих, багатокутних або еліптичних будинках. Якщо уважно придивитися до шедеврів давньогрецького, давньоримського і особливо арабського зодчества, що дійшли до наших днів, то можна помітити, що в їх конструкціях дуги і склепіння зустрічаються надзвичайно часто. Творіння сучасних архітекторів ними не такі багаті, але ці геометричні елементи є, звичайно ж, і в них.

Довжинурізних дугнеобхідно розраховувати при спорудженні автомобільних та залізниць, а також автодромів, причому у багатьох випадках від правильності та точності обчислень багато в чому залежить безпека руху. Справа в тому, що багато поворотів магістралей з точки зору геометрії є саме дугами, і за рухом по них на транспорт впливають різні фізичні сили. Параметри їх результуючої багато в чому визначаються довжиною дуги, а також її центральним кутом та радіусом.

Конструкторам машин та механізмів доводиться обчислити довжини різних дуг для правильної та точної компонування складових частин різних агрегатів. В даному випадку помилки в розрахунках загрожують тим, що важливі та відповідальні деталі будуть неправильно взаємодіяти один з одним і механізм просто не зможе функціонувати так, як планують його творці. Як приклади конструкцій, що рясніють такими геометричними елементами, як дуги, можна навести двигуни внутрішнього згоряння, коробки перемикання передач, дерево- і металообробне обладнання, кузовні елементи легкових та вантажних автомобілів тощо.

Дугидосить широко зустрічаються у медицині, зокрема, у стоматології. Наприклад, вони використовуються для виправлення неправильного прикусу. Коригувальні елементи, які називаються брекетами (або брекет-системами) і мають відповідну форму, виготовляються зі спеціальних сплавів, і встановлюються таким чином, щоб змінити положення зубів. Зрозуміло, що для того, щоб лікування проходило успішно, ці дуги повинні бути дуже точно розраховані. Крім того, дуги дуже широко використовуються в травматології, і, мабуть, найяскравішим прикладом є знаменитий апарат Ілізарова, винайдений російським лікарем в 1951 році і надзвичайно успішно використовується до цього дня. Невід'ємними його частинами є металеві дуги, забезпечені отворами, через які протягуються спеціальні спиці, що є основними опорами всієї конструкції.