Як порахувати частину довжини кола. Формули площі сектора кола та довжини його дуги

Коломназивають замкнуту, плоску криву, всі точки якої, що у однієї площині, видалені однаковій відстані від центра.

Крапка Про є центром кола, R є радіусом кола - відстанню від якоїсь точки кола до центру. За визначенням усі радіуси замкнутої

Мал. 1

криві мають однакову довжину.

Відстань між двома точками кола називається хордою. Відрізок кола, що проходить через її центр і з'єднує дві її точки, називається діаметром. Середина діаметра є центром кола. Точки кола ділять замкнуту криву на дві частини, кожна частина зветься дуги кола. Якщо кінці дуги належать діаметру, то таке коло називається півколом, довжину якого прийнято позначати π . Градусний захід двох кіл, що мають спільні кінці, становить 360 градусів.

Концентричні кола - це кола, що мають загальний центр. Ортогональні кола - це кола, які перетинаються під кутом рівним 90 градусів.

Площина, яку обмежує коло, називається колом. Одна частина кола, яка обмежена двома радіусами та дугою – це круговий сектор. Дуга сектора – це дуга, що обмежує сектор.

Мал. 2

Взаємне розташування кола та прямої (рис.2).

Окружність і пряма мають дві спільні точки, якщо відстань від прямої до центру кола менша за радіус кола. У такому випадку пряма по відношенню до кола називається січною.

Окружність і пряма мають одну загальну точку, якщо відстань від прямої до центру кола дорівнює радіусу кола. У такому разі пряма по відношенню до кола називається дотичною до кола. Їхня загальна точка носить назву точки дотику кола і прямої.

Основні формули кола:

• C = 2πR , де C - довжина окружності
• R = С/(2π) = D/2 , де З/(2π) - Довжина дуги кола
• D = C/π = 2R , де D - Діаметр
• S = πR2 , де S - площа кола
• S = ((πR2)/360)α , де S - Площа кругового сектора

Коло і коло отримали свою назву у Стародавній Греції. Вже в давнину людину цікавили круглі тіла, тому коло ставало вінцем досконалості. Те, що кругле тіло могло рухатися саме собою, стало поштовхом до винаходу колеса. Здавалося б, що особливого у цьому винаході? Але уявіть, якщо в одну мить колеса зникнуть із нашого життя. Надалі цей винахід породило математичне поняття кола.

• 22.09.2014

  Принцип дії. При натисканні кнопки першої цифри коду SA1 тригер DD1.1 перемикається і на вході D тригера DD1.2 з'явиться напруга високого рівня. Тому при натисканні чергової кнопки коду SA2 тригер DD1.2 змінює свій стан і готує до перемикання наступний тригер. У разі подальшого правильного набору останнім спрацює тригер DD2.2 і …

• 03.10.2014

  Пропонований пристрій стабілізує напругу до 24В та струмом до 2А із захистом від замикання. У разі нестійкого запуску стабілізатора слід застосувати синхронізацію від автономного імпульсного генератора рис. 2 . Схема стабілізатора показано на рис.1. На VT1 VT2 зібрано тригер Шмітта, який керує потужним регулюючим транзистором VT3. Деталі: VT3 забезпечений тепловідведенням.

• 20.09.2014

  Підсилювач виконаний за традиційною схемою з автозміщенням на лампах: вихідні – AL5, драйвери – 6Г7, кенотрон – AZ1. Схема одного із двох каналів стереопідсилювача показана на рис.1. З регулятора гучності сигнал надходить на сітку лампи 6Г7, посилюється і з анода цієї лампи через конденсатор C4 подається на …

• 15.11.2017

  NE555 - універсальний таймер - пристрій для формування (генерації) одиночних та повторюваних імпульсів зі стабільними часовими характеристиками. Є асинхронним RS-тригером зі специфічними порогами входів, точно заданими аналоговими компараторами і вбудованим дільником напруги (прецизійний тригер Шмітта з RS-тригером). Застосовується для побудови різних генераторів, модуляторів, реле часу, порогових пристроїв та інших …

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Коло, його частини, їх розміри та співвідношення – речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії?

Давайте спочатку розглянемо, які кола бувають частини і як вони називаються.

• Коло - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина кола.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина кола, обмежена хордою та дугою.
• Сектор - частина кола, обмежена двома радіусами та дугою.

Величина, що цікавить нас, та їх позначення:

Тепер побачимо, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслету). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр та центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися про його розмір у проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги та діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатись висоту деталі, отриманої згинанням плоскої заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги та діаметр, довжина дуги та хорда; Визначити висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я навів лише для того, щоб показати необхідність завдання якихось двох параметрів для знаходження всіх інших. Ось цим ми й займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них усі можливі пари, вважатимемо їх вихідними даними та шляхом мозкового штурму знаходити всі інші.

Щоб даремно не вантажити читача, докладних рішень я наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де немає формального рішення, я обговорю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в тих самих абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба задавати в сантиметрах, а результуючі значення вимірюватимуться в тих же міліметрах (а площі в квадратних міліметрах). Те саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут завжди вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують щось кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить у глухий кут, тоді як «кут сорок п'ять градусів» — зрозуміла всім, оскільки це всього на п'ять градусів вище за норму. Однак, у всіх формулах буде присутнім як проміжна величина ще один кут - α. За змістом, це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дані діаметр D та довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дані діаметр D та довжина хорди X

; довжина дуги;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, це завдання не одне, а два рішення. Щоб отримати друге, потрібно у наведених вище формулах замінити кут α на кут .

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дані діаметр D та висота сегмента H

; довжина дуги;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжину дуги L і центральний кут φ

; діаметр;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжину хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр; висота сегмента .

9. Дані довжина хорди X та висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги; довжина хорди .

Уважний читач не міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжину дуги L і довжину хорди X

7. Дані довжина дуги L та висота сегмента H

Це якраз ті два неприємні випадки, коли завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання не таке вже рідкісне. Наприклад, у вас є плоска заготівля довжини L і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметра взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до розв'язання рівнянь:
; - у варіанті 5
; - У варіанті 7
і хоч вони й не вирішуються аналітично, проте легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям . Все те, що я тут довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину кола та три значення площ – кола, сектора та сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одними й тими самими формулами:

довжина окружності ;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегменту ;

І насамкінець ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовної програми, яка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.

Спочатку це виглядає так:

Малюнок 463.1. а) наявна дуга; б) визначення довжини хорди сегмента та висоти.

Таким чином, коли є дуга, ми можемо з'єднати її кінці і отримаємо хорду завдовжки L. Посередині хорди ми можемо провести лінію, перпендикулярну до хорди і таким чином отримаємо висоту сегмента H. Тепер, знаючи довжину хорди і висоту сегмента, ми можемо спочатку визначити центральний кут α, тобто. кут між радіусами, проведеними з початку та кінця сегмента (на малюнку 463.1 не показані), а потім і радіус кола.

Вирішення подібного завдання досить докладно розглядалося у статті "Розрахунок арочної перемички", тому тут лише наведу основні формули:

tg( a/4) = 2Н/L (278.1.2)

а/4 = arctg( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Як бачимо, з погляду математики жодних проблем із визначенням радіуса кола немає. Даний метод дозволяє визначити значення радіусу дуги з будь-якою точністю. Це головна перевага цього методу.

А тепер поговоримо про недоліки.

Проблема даного методу навіть не в тому, що потрібно пам'ятати формули зі шкільного курсу геометрії, успішно забуті багато років тому – для того, щоб нагадати формули – є інтернет. А ось калькулятор з функцією arctg, arcsin та ін. є далеко не у кожного користувача. І хоча цю проблему також успішно дозволяє вирішити інтернет, але не слід забувати, що ми вирішуємо досить прикладне завдання. Тобто. далеко не завжди потрібно визначити радіус кола з точністю до 0.0001 мм, точність 1 мм може бути цілком прийнятною.

Крім того, для того, щоб знайти центр кола, потрібно продовжити висоту сегмента і відкласти на цій прямій відстань, що дорівнює радіусу. Так як на практиці ми маємо справу з не ідеальними вимірювальними приладами, до цього слід додати можливу похибку при розмітці, виходить, що менше висота сегмента по відношенню до довжини хорди, тим більше може набігти похибка при визначенні центру дуги.

Знову ж слід забувати у тому, що ми розглядаємо не ідеальний випадок, тобто. це ми так відразу назвали криву дугою. Насправді це може бути крива, що описується досить складною математичною залежністю. А тому знайдений таким чином радіус та центр кола можуть і не співпадати з фактичним центром.

У зв'язку з цим я хочу запропонувати ще один спосіб визначення радіуса кола, яким сам часто користуюся, тому що цим способом визначити радіус кола набагато швидше і простіше, хоча точність значно менша.

Другий метод визначення радіусу дуги (метод послідовних наближень)

Отже, продовжимо розгляд наявної ситуації.

Так як нам все одно необхідно знайти центр кола, то для початку ми з точок, що відповідають початку та кінцю дуги, проведемо як мінімум дві дуги довільного радіусу. Через перетин цих дуг буде проходити пряма, на якій і знаходиться центр шуканого кола.

Тепер потрібно з'єднати перетин дуг із серединою хорди. Втім, якщо ми із зазначених точок проведемо не по одній дузі, а по дві, то ця пряма проходитиме через перетин цих дуг і тоді шукати середину хорди зовсім не обов'язково.

Якщо відстань від перетину дуг до початку або кінця дуги, що розглядається більше, ніж відстань від перетину дуг до точки, що відповідає висоті сегмента, то значить центр розглядається дуги знаходиться нижче на прямій, проведеній через перетин дуг і середину хорди. Якщо менше – то шуканий центр дуги вищий на прямий.

Тому на прямий приймається наступна точка, імовірно відповідна центру дуги, і від неї виробляються ті ж вимірювання. Потім приймається наступна точка та виміри повторюються. З кожною новою точкою різниця вимірів буде дедалі меншою.

Ось, власне, і все. Не дивлячись на настільки простий і складний опис, для визначення радіусу дуги таким способом з точністю до 1 мм достатньо 1-2 хвилин.

Теоретично це виглядає приблизно так:

Малюнок 463.2. Визначення центру дуги шляхом послідовних наближень.

А на практиці приблизно так:

Світлина 463.1. Розмітка заготовки складної форми із різними радіусами.

Тут тільки додам, що іноді доводиться знаходити та креслити кілька радіусів, тому на фотографії так багато всього намішано.