Розв'язання неповних квадратних рівнянь. Розв'язання рівнянь із модулем
У цій статті ми розглянемо розв'язання неповних квадратних рівнянь.
Але спочатку повторимо, які рівняння називаються квадратними. Рівняння виду ах 2 + bх + с = 0, де х - змінна, а коефіцієнти а, b і з деякі числа, причому а ≠ 0 називається квадратним. Як бачимо коефіцієнт при х 2 не дорівнює нулю, отже коефіцієнти при х чи вільний член можуть дорівнювати нулю, у разі ми й отримуємо неповне квадратне рівняння.
Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) Якщо b = 0, з ≠ 0, то ах 2 + с = 0;
2) Якщо b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;
3) Якщо b = 0, с = 0, то ах 2 = 0.
- Давайте розберемося як наважуються рівняння виду ах 2+с=0.
Щоб розв'язати рівняння перенесемо вільний член з праву частину рівняння, отримаємо
ах 2 = ‒с. Оскільки а ≠ 0, то розділимо обидві частини рівняння на а, тоді х 2 = ‒с/а.
Якщо ‒с/а > 0 , то рівняння має два корені
x = ±√(-c/a) .
Якщо ж ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Спробуймо розібратися на прикладах, як вирішувати такі рівняння.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 2х 2 ‒ 32 = 0.
Відповідь: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 2х 2 + 8 = 0.
Відповідь: рівняння рішень немає.
- Розберемося як вирішуються рівняння виду ах 2+bх = 0.
Щоб розв'язати рівняння ах 2 + bх = 0, розкладемо його на множники, тобто винесемо за дужки х, отримаємо х(ах + b) = 0. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тоді або х = 0, або ах + b = 0. Вирішуючи рівняння ах + b = 0, отримаємо ах = b, звідки х = b/a. Рівняння виду ах 2 + bх = 0, завжди має два корені х 1 = 0 і х 2 = b/a. Подивіться, як виглядає на схемі рішення рівнянь цього виду. 
Закріпимо наші знання на конкретному прикладі.
Приклад 3. Розв'язати рівняння 3х 2 – 12х = 0.
х(3х ‒ 12) = 0
х = 0 або 3х - 12 = 0
Відповідь: х1 = 0, х2 = 4.
- Рівняння третього виду ах 2 = 0наважуються дуже просто.
Якщо ах 2 = 0, то х 2 = 0. Рівняння має два рівні корені х 1 = 0, х 2 = 0.
Для наочності розглянемо схему. 
Переконаємося під час вирішення прикладу 4, що рівняння цього виду вирішуються дуже просто.
приклад 4.Розв'язати рівняння 7х2 = 0.
Відповідь: х 1, 2 = 0.
Не завжди відразу зрозуміло, який вид неповного квадратного рівняння нам належить вирішити. Розглянемо наступний приклад.
Приклад 5.Вирішити рівняння
Помножимо обидві частини рівняння на загальний знаменник, тобто на 30
Скоротимо
5 (5х2 + 9) - 6 (4х 2 - 9) = 90.
Розкриємо дужки
25х2 + 45 - 24х 2 + 54 = 90.
Наведемо подібні
Перенесемо 99 з лівої частини рівняння у праву, змінивши знак на протилежний
Відповідь: коріння немає.
Ми розібрали як вирішуються неповні квадратні рівняння. Сподіваюся, тепер у вас не буде складнощів із подібними завданнями. Будьте уважні щодо виду неповного квадратного рівняння, тоді у вас все вийде.
Якщо у вас виникли питання з цієї теми, записуйтесь на мої уроки, ми разом вирішимо проблеми, що виникли.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Пропонуємо вам зручний безкоштовний онлайн калькулятор для розв'язання квадратних рівнянь.Ви зможете швидко отримати та розібратися, як вони вирішуються, на зрозумілих прикладах.
Щоб зробити рішення квадратного рівняння онлайн, спочатку приведіть рівняння до загального вигляду:
ax 2 + bx + c = 0
Заповніть відповідно поля форми:
Як вирішити квадратне рівняння
| Як вирішити квадратне рівняння: | Види коренів: |
|
1.
Привести квадратне рівняння до загального вигляду: Загальний вигляд Аx2+Bx+C=0 Приклад: 3х - 2х2+1=-1 Наводимо до -2х2+3х+2=0 2.
Знаходимо дискримінант D. 3.
Знаходимо коріння рівняння. |
1.
Справжнє коріння. Причому. x1 не дорівнює x2 Ситуація виникає, коли D>0 та A не дорівнює 0. 2.
Справжнє коріння збігається. x1 і x2 3.
Два комплексні корені. x1=d+ei, x2=d-ei, де i=-(1) 1/2 5.
Рівняння має безліч рішень. 6.
Рівняння рішень немає. |
Для закріплення алгоритму, ще кілька показових прикладів розв'язків квадратних рівнянь.
Приклад 1. Вирішення звичайного квадратного рівняння з різним дійсним корінням.
x 2 + 3x -10 = 0
У цьому рівнянні
А = 1, B = 3, С = -10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратний корінь будемо позначати, як число 1/2!
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для перевірки підставимо:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
Приклад 2. Розв'язання квадратного рівняння із збігом дійсних коренів.
х 2 - 8x + 16 = 0
А = 1, B = -8, С = 16
D = k 2 - AC = 16 - 16 = 0
X = -k/A = 4
Підставимо
(x-4) * (x-4) = (x-4) 2 = X 2 - 8x + 16
Приклад 3. Розв'язання квадратного рівняння з комплексним корінням.
13х 2 - 4x + 1 = 0
А=1, B=-4, С=9
D = b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
Дискримінант негативний – коріння комплексне.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
де I – це квадратний корінь з -1
Ось, власне, всі можливі випадки розв'язання квадратних рівнянь.
Сподіваємось, що наш онлайн калькуляторвиявиться дуже корисним для вас.
Якщо матеріал був корисним, ви можете
Складається в тому, що бетон, армований міцними сталевими каркасами, є високоміцним будівельним матеріалом і не схильний до численних впливів навколишнього середовища, завдяки чому конструкція фундаменту опори ПЛ здатна утримувати сталеві та залізобетонні опори ЛЕП без загрози їх перекидання протягом не одного десятка років. Довговічність, стійкість до навантажень та міцність – основні переваги застосування виробів залізобетонні фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені в енергетичному будівництві.
Залізобетонні фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені виготовляються з важкого бетону класом за міцністю на стиск не нижче В30, марка – від М300. Марка бетону за морозостійкістю - не нижче F150, водонепроникністю - W4 - W6. Цемент та інертні, що застосовуються для виготовлення бетону, повинні задовольняти вимоги СНиП I-В.3-62 та ТП4-68. Найбільший розмір зерен у структурі бетону не повинен перевищувати 20-40 мм. Контролює міцність бетону фундаментів опор відповідно до ГОСТ 10180-67 «Бетон важкий. Методи визначення міцності» та ГОСТ 10181-62 «Бетон важкий. Методи визначення рухливості та жорсткості бетонної суміші».
В якості арматури фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені застосовуються: стрижнева гарячекатана арматурна сталь класу А-I, стрижнева гарячекатана арматурна сталь періодичного профілю класу А-III, стрижнева арматурна сталь періодичного профілю класу А-IV та звичайна арматур. Для монтажних петель застосовується тільки стрижнева гарячекатана арматура класу А-I із спокійної вуглецевої сталі.
Перед фундаментами опор ЛЕП для енергетичного будівництва стоїть відповідальне завдання - багато років зберігати стійкість та міцність опор ЛЕП у різних кліматичних умовах, у будь-яку пору року та в будь-яку погоду. Тому фундаменти опор пред'являються дуже високі вимоги. Перед відправкою замовнику, фундаменти опор МФ2х2-0 малозаглиблені проходять перевірку за різними параметрами, наприклад, таких як ступінь стійкості, міцність, довговічність та зносостійкість, опірність негативним температурам та атмосферним впливам. Перед зварюванням деталі стиків повинні бути очищені від іржі. Залізобетонні фундаменти з товщиною захисного спою бетону менше 30 мм, а також фундаменти, що встановлюються в агресивних ґрунтах, мають бути захищені гідроізоляцією.
Під час експлуатації за фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені підлягають ретельному нагляду, особливо у перші роки роботи ПЛ. Одним з найсерйозніших дефектів спорудження фундаментів, які важко усунути в умовах експлуатації, є порушення технологічних норм при їх виготовленні: застосування неякісного або погано промитого гравію, порушення пропорцій при складанні бетонної суміші і т.д. Не менш серйозним дефектом є пошарове бетонування фундаментів, коли окремі елементи того самого фундаменту бетонуються в різний час без попередньої підготовки поверхні. При цьому не відбувається схоплювання бетону одного елемента фундаменту з іншим і може статися руйнування фундаменту при зовнішніх навантаженнях, які значно менші за розрахункові.
При виготовленні залізобетонних фундаментів опор іноді порушуються норми: використовується недоброякісний бетон, закладається арматура не тих розмірів, які передбачені проектом. У процесі спорудження ліній електропередач на збірних або пальових залізобетонних фундаментах можлива поява серйозних дефектів, які не допускають енергетичного будівництва. До таких дефектів відносяться установка зламаних залізобетонних фундаментів, недостатнє їх заглиблення в ґрунті (особливо при встановленні опор на схилах пагорбів та ярів), недбайлива трамбування при засипці, встановлення збірних фундаментів менших розмірів та ін. До дефектів установки відноситься неправильний монтаж залізобетонних фундаментів окремі збірні фундаменти, призначені як основа металевої опори, мають різні вертикальні позначки або зсув окремих фундаментів у плані. При неправильному розвантаженні фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені можуть бути зіпсовані, може статися скол бетону та оголення арматури. У процесі приймання особливу увагу слід привертати до відповідності анкерних болтів та його гайок проектним розмірам.
В умовах експлуатації залізобетонні фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені ушкоджуються як від впливів зовнішнього середовища, так і великих зовнішніх навантажень. Арматура фундаментів, що мають пористу структуру бетону, ушкоджується від агресивного впливу ґрунтових вод. Тріщини, що утворюються на поверхні фундаментів, при впливі експлуатаційних знакозмінних навантажень, а також вітру, вологи та низької температури, розширюються, що зрештою призводить до руйнування бетону та оголення арматури. На територіях, розташованих поблизу хімічних заводів, швидко руйнуються анкерні болти та верхня частина металевих підніжників.
Поломка фундаменту опор також може статися в результаті неспіввісності його зі стійками, що спричинює появу великих згинальних моментів. Подібна поломка може статися і при розмиві основи фундаменту ґрунтовими водами та відхиленні його від вертикального положення.
У процесі приймання фундаменти МФ2х2-0 малозаглиблені перевіряються їх відповідність проекту, глибина закладення, якість бетону, якість зварювання робочої арматури та анкерних болтів, наявність та якість захисту від дії агресивних вод. Проводяться вимір вертикальних позначок фундаментів та перевірка розташування анкерних болтів за шаблоном. При виявленні будь-яких невідповідностей нормам усі дефекти усуваються до засипки котлованів. Фундаменти, що мають у верхній частині відколи бетону та оголену арматуру, ремонтуються. Для цього влаштовується бетонне обрамлення товщиною 10-20 см, заглиблене нижче рівня землі на 20 - 30 см. Слід мати на увазі, що енергетичне будівництво не допускає обрамлення зі шлакобетону, тому що в шлаку є домішка сірки, яка викликає інтенсивну корозію арматури та анкерних. болтів. При більш значних пошкодженнях фундаментів (у тому числі монолітних) пошкоджена частина накривається арматурою, звареною з арматурою основного фундаменту, і після установки опалубки бетонується.
Квадратні рівняння.
Квадратне рівняння- алгебраїчне рівняння загального вигляду
де x - вільна змінна,
a, b, c, - коефіцієнти, причому
Вираз 
називають квадратним тричленом.
Способи розв'язання квадратних рівнянь.
1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.
Розв'яжемо рівняння х 2 + 10х - 24 = 0. Розкладемо ліву частину на множники:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).
Отже, рівняння можна переписати так:
(х + 12) (х - 2) = 0
Так як добуток дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 = 0.
2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.
Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0. Виділимо у лівій частині повний квадрат.
Для цього запишемо вираз х 2 + 6х у наступному вигляді:
х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.
В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвоєний добуток х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 так як
х 2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3) 2 .
Перетворимо тепер ліву частину рівняння
х 2 + 6х - 7 = 0,
додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:
х 2 + 6х - 7 =х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.
Таким чином, дане рівняння можна записати так:
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.
Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
Помножимо обидві частини рівняння
ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а і маємо послідовно:
4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Приклади.
а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0,два різні корені;
Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при
b 2 - 4ac >0, рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різні корені.
б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,
D = 0,один корінь;
Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4ac = 0, то рівняння
ах 2 + bх + с = 0має єдиний корінь,
в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Це рівняння коренів немає.
Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4ac< 0 , рівняння
ах 2 + bх + с = 0не має коріння.
Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння дорівнюють дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без вчетверного добутку першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.
4. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.
Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд
х 2 + px + c = 0.(1)
Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).
а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0), то рівняння має два однакові за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.
Наприклад,
x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2і x 2 = 1,так як q = 2 > 0і p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7і x 2 = - 1,так як q = 7 > 0і p = 8> 0.
б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q< 0 ), то рівняння має два різні за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p< 0 , або негативний, якщо p > 0 .
Наприклад,
x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5і x 2 = 1,так як q= - 5< 0 і p = 4> 0;
x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9і x 2 = - 1,так як q = - 9< 0 і p = - 8< 0.
приклади.
1) Розв'яжемо рівняння 345х 2 - 137х - 208 = 0.
Рішення.Так як а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0),то
x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.
Відповідь: 1; -208/345.
2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 = 0.
Рішення.Так як а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0),то
х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.
Відповідь: 1; 115/132.
Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2k– парне число, то формулу коріння
приклад.
Розв'яжемо рівняння 3х2 - 14х + 16 = 0.
Рішення. Маємо: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7;
D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D > 0,два різні корені;
Відповідь: 2; 8/3
Ст. Наведене рівняння
х 2 + рх + q = 0
збігається з рівнянням загального виду, в якому а = 1, b = рі с = q. Тому для наведеного квадратного рівняння формула коренів
Набуває вигляду:
Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р- парне число.
приклад.Розв'яжемо рівняння х 2 - 14х - 15 = 0.
Рішення.Маємо: х 1,2 = 7±
Відповідь: х 1 = 15; х 2 = -1.
5. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь графічне.
приклад. Розв'язати рівняння х2 – 2х – 3 = 0.
Побудуємо графік функції у = х2 - 2х - 3
1) Маємо: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Значить, вершиною параболи є точка (1; -4), а віссю параболи - пряма х = 1.
2) Візьмемо на осі х дві точки, симетричні щодо осі параболи, наприклад, точки х = -1 і х = 3.
Маємо f(-1) = f(3) = 0. Побудуємо на координатній площині точки (-1; 0) та (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводимо параболу (рис. 68).
Корінням рівняння х2 – 2х – 3 = 0 є абсциси точок перетину параболи з віссю х; отже, коріння рівняння таке: х1 = - 1, х2 - 3.