Hudud parallelogramma tomonidan turtkilangan vektorlar ular orasidagi sinus kuta bo'yicha raqamlangan yak dobutok dojin qih vektorlari. Agar vektorlarning koordinatalarini ko'rmasak, hisoblash uchun koordinata usullarini, vektorlar bilan kesmaning o'sishi va belgilanishini belgilash kerak.

Bilasiz

• - vektor haqida tushuncha;
• - vektorlarning kuchi;
• - Dekart koordinatalari;
• - Trigonometrik funksiyalar.

Ko'rsatmalar

• Agar siz ular orasidagi ko'proq vektor va kesmalarni ko'rsangiz, u holda maydonni bilish uchun parallelogramma tomonidan turtkilangan vektorlar, bir qancha í̈x modullarini (qo'shimcha vektorlarni) biling, ular orasidagi kesmaning sinusida S = │a│ │ b│ sin (a).
• Agar vektorlar Dekart koordinata tizimida o'rnatilgan bo'lsa, u holda maydonni bilish uchun parallelogramma ular tomonidan taklif qilingan holda, quyidagi manzilga tashrif buyuring:
• Vektorlarning koordinatalarini biling, agar birdaniga badbo'y hid berilmasa, vektorlarning koordinatalarini ko'rganingizda, ko'pning koordinatalarini. Masalan, vektorning kob nuqtasining koordinatalari (1; -3; 2) va oxirgi nuqtasi (2; -4; -5) bo'lsa, vektorning koordinatalari (2-1); -4 + 3; -5-2) = (1 ; -1; -7). a (x1; y1; z1), vektor b (x2; y2; z2) vektorining koordinatalarini toping.
• Teri vektorining miqdorini biling. Kvadratdagi vektorlarning koordinatalaridan teri hosil qiling, x1² + y1² + z1² miqdorini biling. Natijada kvadrat ildiz hosil bo'ladi. Boshqa vektor uchun xuddi shu protseduradan foydalaning. Bunday unvon bilan viide │a│in b│.
• Vektorlarni skalyar qo‘shishni bilish. Butunlik uchun berilgan koordinatalarni ko'paytiring va yaratilishni qo'ying │a b│ = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2.
• Ularning orasidagi kosinusni kesishni boshlang, ular uchun skaler qo'shimcha vektorlar qo'shiladi, masalan, 3-bandda, qo'shimcha vektorlarga qo'shing, chunki o'qlar 2-bandda joylashgan (Cos). (a) = │ab│ / (│a│ │ b│)).
• Kesilgan kutning sinusi 1-sonning farqidagi kvadrat ildiz va 4-betda ildiz otgan bir xil kesimning kosinus kvadrati bo'ladi (1-Cos² (a)).
• Hududni yorib yuboring parallelogramma tomonidan turtkilangan vektorlar Dobutok í̈kh dovzhinni bilish, 2-bandda hisoblash va natijani 5-bandda ro'yxatdan chiqib ketgan raqamga ko'paytirish.
• Vektorlarning koordinatalari maydonda berilgan bo'lsa-da, razrakhunks bo'lganda, z koordinatasi oddiygina ko'rsatiladi. Tsey rozrahunok ê vektorning raqamli viraziga ikkita vektor qo'shiladi.

Vektorlar tomonidan harakatga keltiriladigan parallelogramm maydoni sizga kut kubiga bir necha o'nlab vektorlarni olib keladi, shunda siz ular orasida yotishingiz mumkin.

Yaxshi, agar aqllarga ko'proq vektor berilsa. Biroq, faqat koordinatalar uchun koordinatalarni yozish orqali vektorlarda induktsiya qilingan parallelogramm maydoni uchun formulani yozishingiz mumkin.
Meni qutqarishdi va onglarga ko'proq vektorlar berildi, siz faqat formulani topishingiz kerak, chunki ular allaqachon statistikada batafsil saralangan edi. Sinusdagi qo'shimcha modullar uchun maydon ular orasidan kesiladi:

Vektorlarda ko'rsatilgan parallelogramm chizmalarining ko'p qismi ko'rinadi.

Zavdannya: vektorlar bo'yicha rag'batlantirishning parallelogrammasi ta. Maydonni biling, qaerda va ular orasidagi kesish 30 °.
Virazimo vektori í̈x qiymati orqali:

Mozhlivo, sizda ovqat bormi - yulduzlar noldan kelgan? Varto zgadati, vektorlar bilan mi pratsy'mo bilan va ular uchun ... shuning uchun bu hurmat hayvonidir, agar natijalarda biz buni tan olsak, u o'zgartiriladi. Endi quyidagilar amalga oshiriladi:

Muammoga murojaat qilish, agar onglar uchun ko'proq vektor ko'rsatilmagan bo'lsa. Sizning parallelogramingiz Dekart koordinata tizimlarida joylashgan ekan, uni ham o'zgartirish kerak bo'ladi.

Rozraxunok dovjin siden figuri, koordinatalar bilan berilgan

Kob uchun vektorlarning koordinatalari va kobning yakuniy koordinatalarining koordinatalaridan ma'lum. a (x1; y1; z1) vektorining va b (x3; y3; z3) vektorining qabul qilinadigan koordinatalari.
Endi biz teri vektorining dahosidan ko'proq narsani bilamiz. Butun teri koordinatasi uchun kvadratni berish kerak, kesishning qirralaridan keyin natijalar va ildizlar sonining oxiri. Bizning vektorlarimiz orqasida avanslar bo'ladi:


Endi vektorlarimizning skalyar tvirini bilish kerak. Berilgan ko'plab koordinatalar uchun ko'paytiring va saqlang.

Mayuchi dozhini vektorlari va yx skalyar tvir, biz kesmaning kosinusini, ular orasida qanday yotishni bilishimiz mumkin. .
Endi biz bu kutaning sinusini bilib olamiz:
Endi bizda barcha kerakli miqdorlar mavjud va vektorlarda ko'rsatilgan parallelogramm maydonini bir xil formula bo'yicha osongina bilib olamiz.

Barcha darajalarda vektorlar bilan ikkita operatsiya mavjud: vektor dobutok vektorlariі Tvir vektorlarini o'zgartirish (imkon qadar tezroq, kimga kerak)... Nichogo dahshatli, shuning uchun inodi boo, umumiy baxt uchun yaxshi, krim skalyar vektorlar, Ko'proq va ko'proq kerak. Bu vektorli giyohvandlikning o'qi. Analitik geometriyalar mavjud bo'lmaganda janjal o'ralgan bo'lishi mumkin. Unday emas. vishoí matematika razdílí etarli o'tin yo'q, u Buratino ustida ishlash kerak. Darhaqiqat, material kengaytmalardan ham yomonroq va soddaroq - u bir xil emas, balki ko'proq katlanadigan bo'lishi dargumon. skalyar tvir, kamroq tipik binolar bo'ladi. Bosh analitik geometriyada, chunki u qayta-qayta olish uchun juda ko'p narsa, siz OIV-musbat odamlarga rahm-shafqat qilmaysiz. Agar baxtingiz bo'lsa, yak afsunini takrorlang =)

Yakshto vektori bu yerda uzoq bo'lsin Choynak uchun vektori, vektorlar haqida bilishingiz kerak. Ko'proq pishirilgan o'quvchilar ma'lumotlarning tebranishlari haqida bilib olishlari mumkin, men ko'pincha amaliy robotlardan foydalanayotganim sababli, imkon qadar ko'payish sonini ko'paytirishga harakat qilaman.

Qanday qilib sizni xursand qila olaman? Agar men kichkina bo'lsam, ikkita jonglyorlik qila olaman va uchta sumkani shamollayman. Bu o'z-o'zidan edi. Infektsiya jugglyuvati zagala sodir bo'lmaydi faqat ochiq joylar vektori, va ikkita koordinatadagi tekislik vektorlari chegaradan oshib ketadi. Nima uchun? Bular allaqachon diii ning tug'ilishi - vektor va arzimas bo'shliqni belgilashda tv vektorining o'zgarishi. Shunchalik oddiy!

Butun operatsiyada, skaler yaratishda bo'lgani kabi, taqdirni o'z zimmasiga oladi ikkita vektor... Hech qanday harf bo'lmasin.

Juda dia bildirmoq qadam ba qadam:. Eng yaxshi variantlarni toping yoki hatto vektorlarning vektor burilish tovushini xuddi shu tarzda, xochdan kvadrat kamarlarda toping.

Birinchi navbatda oziqlanish: yaksho in vektorlarni skalyar yaratish ikkita vektorning taqdirini oling, í u erda ikkita vektorga ko'paytirilishi mumkin, tody nima uchun o'sish? Yavna o'sishi, hamma narsa uchun persh, NATIJALARDA:

ê NUMBER skalar vektor vektorlarining natijasi:

VEKTOR vektor vektorining natijasi:, shunday qilib vektor ko'paytiriladi va vektor ma'lum bo'ladi. Klubni yoping. Vlasne, operaning nomi. Yangi adabiyot rivojida ma’no o‘zgarishi mumkin, xat bilan g‘olib bo‘laman.

Vektor yaratish qiymati

Rasmlarning kichik tanlovi, keyin ba'zi sharhlar bo'ladi.

Viznachennya: Vektorli pishloq kollinear bo'lmagan vektor_v, ushbu buyruqdan olinadi, VEKTOR deb ataladi, dovjina qanchalik raqamli yo'l parallelogramma joylari berilgan vektorlar tomonidan motivatsiya qilingan; vektor ortogonal vektorlar, va konjugatsiyalar asosni to'g'ri tartibga solish uchun:

Qo'lda olingan, bu erda juda ko'p rang bor!

Shuningdek, siz ushbu sutta daqiqalarini ko'rishingiz mumkin:

1) Vyhídni vektorlari, qizil o'qlar bilan, viznenny bilan belgilanadi qarama-qarshi emas... Kollinear vektorlarning xilma-xilligi aniq ko'rinadi.

2) vektorlar olinadi qat'iy belgilangan tartibda: – "a" "ba" ga ko'paytiriladi, va chi "a" ga "bo'l" emas. Bir nechta vektorlarning natijasiê VECTOR, ya'ni ko'k rang. Vektor jiringlash tartibida ko'paytirilsa, biz ikkinchi uchun rivnyni va to'g'ri vektor (malina rangi) uchun teskarisini ajrata olamiz. Tobto adolatli pariteti .

3) Endi vektor yaratishning geometrik ilonidan bilish mumkin. Bu juda muhim nuqta! Ko'k vektorning DOZASI (a, shuningdek, malina vektorining í), vektorlarda induktsiya qilingan parallelogrammaning MAYOTI uchun raqamli. Kichkina kichkina parallelogrammada qora rangdagi soyalar.

Eslatma : kreslo ê sxematik, í, tabiiyki, vektor yaratish uchun nominal, parallelogramm maydoni uchun emas.

Geometrik formulalardan birini taxmin qiling: yo'lning parallelogrammasining maydoni ular orasidagi kuta sinusidagi yig'ilgan tomonlarning qo'shilishigacha... Aytilganlarga oshiq bo'lganlar uchun DOVE vektorini hisoblash formulasi amal qiladi:

Qizig'i shundaki, formula vektorning o'zi haqida emas, balki vektorning TRUE haqida. Qanday amaliy bo'ri? Va shundan iboratki, analitik geometriya xodimlari ko'pincha vektor yaratishni tushunish orqali parallelogramm maydonini bilishadi:

Do'st uchun muhim formula. Paralelogrammaning diagonali (qizil nuqta chiziq) ikkita teng trisitga bo'linishi kerak. Otzhe, vektorlar (qizil soya) bilan qo'zg'atilgan uch g'ildirakli velosipedning maydonini formulaning orqasida topish mumkin:

4) Maydonning ahamiyati kam emasligi shundaki, vektor vektorlarga ortogonal bo'ladi, shuning uchun ... Zrozumílo, qarama-qarshi rektifikator vektor (malinali o'q) ham chiqish vektorlariga ortogonaldir.

5) Konjugatsiya vektori so, scho asos maê to'g'ri oríêentatsiyu. haqida darsda yangi asosga o'tish haqida hisobot berishni tugatdim oríêntatsííí maydoni va bir vaqtning o'zida ular erkin, shuning uchun ham makonni ochish erkinligi. Men sizning barmoqlaringiz bilan tushuntiraman o'ng qo'llar... Ba'zi fikrlarni toping oxirgi barmoq i vektori bilan o'rta barmoq vektor bilan. Uzuk barmog'i va kichkina vodiyga siqib chiqing. Natijada bosh barmog'i- Vektorli televidenie tepada hayratda qoladi. Tse íê huquqiy asos (bir oz o'zi uchun). Endi vektorlarni eslang ( o'rta barmoq) Bir necha soniya ichida, natijada, katta barmoq yonib ketadi va vektor televizori allaqachon pastga qarab hayratda qoladi. Tse ham huquqiy asosdir. Mozhlivo, sizda parhez xatosi bor: kamroq tushunish uchun qanday asos bor? Xuddi shu barmoqlarga "jalb qilish" chap qo'llar vektor, í liviy asosini í livu aríêentatsiyu bo'sh joyni kesish (tsyomu vipadkuda bosh barmog'i pastki vektorning o'ng chetida yoyilgan)... Majoziy ma'noda, tagliklar "burilish" yoki tomonlar atrofidagi bo'shliq kabi ko'rinadi. Birinchi tushunish, biz mavhum deb o'ylaydigan narsalarni hurmat qilishni anglatmaydi - shuning uchun, masalan, zvichaynisinke oynasining ochiq maydoniga, shuningdek, "vitiagti oynadan ob'ektni ko'rish" Nutqdan oldin uchta barmoqni oynaga o'ting va tasvirni tahlil qiling ;-)

... yak, axir, bu yaxshi, endi bilasiz o'ng- va lívooríêntovanih asoslar, fikrlash o'zgarishi haqida ko'proq dahshatli vislovuvannya deyak ma'ruzachilar =)

Kollinear vektorlarning vektor burilishlari

Hisobotning sanasi ko'tariladi, zyasuvati bilan to'lib-toshgan; Vektor kollinear bo'lgani uchun uni bitta to'g'ri chiziq bo'ylab kengaytirish mumkin, va bizning parallelogrammamiz bitta to'g'ri chiziqqa "buklanishi" mumkin. Bunday soha, matematikaga o'xshab, virogen Nolga paralelogramma. Bu nol sinusi yoki 180 gradusdan nolga teng, ya'ni maydon nolga teng

Bunday martaba, yaksho, keyin ... Ko'rinib turibdiki, vektorning o'zi nol vektorga qo'shiladi, lekin amalda ko'pincha yozish va yozish kerak emas, lekin u nolga teng bo'lishi kerak.

Zarracha vipadok - vektorning o'ziga vektor qo'shilishi:

Qo'shimcha vektor yaratish uchun siz arzimas vektorlar sonini o'zgartirishingiz mumkin va o'rtalarini o'rnatish jarayoni erkin tanlanishi mumkin.

Amaliy ilovalar uchun siz undan foydalanishingiz mumkin trigonometrik jadval, schob sinuslarning qiymatlarini biladi.

Xo'sh, rozpaly'mo olov:

Butun 1

a) Vektor vektorining dahosini biling

b) vektorlarda induktsiya qilingan parallelogramm maydonini biling, agar

Qaror: Salom, bu drukarska pomilka emas, aql nuqtalarida vikhídny dani, men navmino bir xil parchalanib ketdi. Shuning uchun dizayn qarori chiqadi!

a) Aql uchun bilish kerak kechki ovqatga vektor (vektor sizniki). Umumiy formula uchun:

Ko'rinish:

Agar kechki ovqatdan to'ygan bo'lsam, o'lcham bittaga o'xshaydi.

b) Aql uchun bilish kerak hudud vektorlarda induktsiya qilingan parallelogramma. Berilgan parallelogrammning maydoni vektor qo'shilishi uchun raqamli ahamiyatga ega:

Ko'rinish:

Yirtqich hurmat, yaxshi, vektor televidenie haqida yangiliklar adashib ketmaydi, biz haqida oziqlangan edi figurali hududlar o'lchamiga ko'ra - kvadrat birliklar.

Hayron bo'ling, aqlning orqasida nima borligini bilish va formuladan chiqish kerak aniq ko'rinish. Siz so'zma-so'zlik bilan boshlashingiz mumkin, vistachaê viclades o'rtasida harflar ale, va qo'shimcha optimallashtirish murojaat qilish uchun yaxshi imkoniyatlar bilan. Agar hiyla juda zo'r bo'lmasa - agar u noto'g'ri bo'lib tuyulsa, unda dushmanlik paydo bo'ladi, lekin odamlar oddiy nutqlarda va / hasadning mohiyatini tushunmaslikda qarshi emaslar. Nazoratni kesishingiz kerak bo'lgan vaqt davomida butun matematikadan va boshqa fanlardan o'rganishni unutmang.

Katta "en" harfi qayerga ketdi? Prinsip sifatida, qaror qabul qilishdan oldingi nuqtaga rioya qilish mumkin, hatto tezkorlik bilan ham, men buzilmaganman. Men rag'batlanaman, butun aql-idrok bilan, bu bitta va bir xil ma'nodir.

O'z taqdirini hal qilish uchun mashhur dumba:

Butun 2

Yaksho vektorlar tomonidan boshqariladigan uch g'ildirakli velosipedning maydonini biling

Vektor qo'shilishi bo'yicha uch g'ildirakli velosipedning maydonini aniqlash formulasi sanaga sharhlarda berilgan. Dars uchun qaror va taklif.

Amaliy darajada yarmarka kengroq, trisitlar pastga tushishi mumkin.

Eng so'nggi yangiliklar uchun biz bilamiz:

Vektor yaratish vektorlarining kuchi

Vektor yaratishning kuchi allaqachon ko'rib chiqilgan, men butun ro'yxatni kiritaman.

Vektorlarning adolatli soni va adolatli soni uchun quyidagi vakolatlar to'g'ri bo'ladi:

1) Ularning ma'lumot dzherellarida nuqta hokimiyat tomonidan ko'rilmaydi, lekin amaliy reja uchun yanada muhimroqdir. Bundan tashqari, bezovta qilmang.

2) - xuddi shu nomdagi kuch antikomutiv... Ko'rinib turibdiki, vektorlarning tartibi muhim.

3) - yolg'iz abo assotsiativ vektor pratsi qonunlari. Konstant vektor yaratish chegaralarini ayblash uchun hech qanday muammo yo'q. Haqiqatan ham, bu kim?

4) - rozpodilny abo tarqatish vektor pratsi qonunlari. Ma'badlarning ochilishi bilan bog'liq muammolar ham yo'q.

Namoyish uchun qisqa dumbani ko'rsataman:

Butun 3

Yakshoni biling

Qaror: Aqlli bilim uchun vektor san'ati miqdorini bilish kerak. Bizning miniatyuramizni tasvirlab bering:

(1) Assotsiativ qonunlarga ko'ra, ayblov vektor yaratishdan tashqari doimiydir.

(2) Biz modul o'rtasidagi doimiylikda aybdormiz, "minus" belgisi o'zining "z'ydag" moduliga ega. Dovjina salbiy bo'lishi mumkin.

(3) Yana uzoqroq.

Ko'rinish:

O'tinni olovga tashlash vaqti keldi:

Butun 4

Yaksho vektorlar tomonidan boshqariladigan uch g'ildirakli velosipedning maydonini hisoblang

Qaror: Uch g'ildirakli velosipedning maydoni formula uchun ma'lum ... Gap shundaki, "tse" va "de" vektorining o'zi vektorlar yig'indisi sifatida ifodalanadi. Bu erda algoritm standart í chimos nagaduê dumba No 3 va 4 dars Skalyar qo'shimcha vektorlar... Aniqlik uchun yechim uch bosqichda rosib'emo:

1) Birinchi kichik masshtabda vektor tvir vektor tvir orqali kun bo'yicha, virasimo vektor vektor orqali... Dozhini haqida hech qanday so'z qoldirmang!

(1) Vektor virusini kiriting.

(2) Vikoristovuchi distributiv qonunlari, bir nechta xatolar hukmronligi uchun ochiq qurol.

(3) Vikoristovuchi assotsiativ qonunlari, vektorlararo yaratilishlar uchun barcha doimiylarni ayblaydi. 2 dan 3 gacha bo'lgan kichik ma'lumotlar bilan siz bir soat tashrif buyurishingiz mumkin.

(4) Quvvatni qabul qilishni o'rnatishning nolga (nol vektoriga) birinchi va oxirgi qo'shilishi. Vikoristning boshqa tomoni vektor yaratishning antikomutativ kuchiga ega:

(5) Ehtimol, biroz qo'shimcha.

Natijada vektor vektor orqali paydo bo'ladi, unga erishish kerak:

2) Boshqa bosqichda biz kerakli vektor yaratish miqdorini bilamiz. Tsya diya nagaduê 3-ilova:

3) Biz shukany uch g'ildirakli velosipedning maydonini bilamiz:

2-3 bosqichli echimlar bir qatorda chiqarilishi mumkin.

Ko'rinish:

Boshqaruv robotlarining kengligiga, mustaqil versiya uchun dumba o'qiga qarang:

Butun 5

Yakshoni biling

Qisqacha yechim va darsning xulosasi. Ajablanarlisi shundaki, bizda ularning oldida juda ko'p hurmatli dumba bor ;-)

Koordinatalarda vektorlarning vektor burilishlari

ortonormal asosda berilgan, formulani aylantiring:

Formula oddiy: formatlash vositasining yuqori qatorida koordinata vektorlari, boshqa va uchinchi qatorlarda vektorlarning koordinatalari, hissasi esa yoziladi. qat'iy tartib bor- Men "ve" vektorining koordinatalarini, keyin "double-ve" vektorining koordinatalarini olaman. Agar vektorlarni bir xil tartibda ko'paytirish kerak bo'lsa, sichqonlarda qatorlarni eslab qolish kerak:

Button 10

Qayta ko'rib chiqing, qayerda collinear kenglik yo'lida bo'ladi:
a)
b)

Qaror: Qayta ko'rib chiqish darsga berilgan ko'rsatmalardan biriga asoslanadi: agar vektor kollinear bo'lsa, vektor qo'shimchasi nolga tushadi (nol vektorga): .

a) Biz vektor tvirni bilamiz:

Bunday darajadagi vektorlar kollinear emas.

b) Biz vektor tvirni bilamiz:

Ko'rinish: a) chiziqli emas, b)

Eksa, mabut va vektor qo'shimcha vektorlari haqidagi barcha asosiy ko'rinishlar.

Daniy katta, oskylki zavdan, de vikoristovutsya zmíshane tvyr vektorlar, nebagato dan yomonroq bo'lmaydi. Aslida, hamma narsa qiymatga, geometrik o'zgarishga va bir nechta ishchi formulalarga mos keladi.

Zm_shaniy tvir vektorlari - tse tvir uch vektor:

Aks lokomotivga o'xshab hidlanadi va tekshiradi, u o'lmaydi, agar hisoblansa.

Quyidagi rasmga qarang:

Viznachennya: Zmishanim pishloq tekis bo'lmagan vektor_v, ushbu buyruqdan olinadi, chaqirilsin ob'em parallelepiped, berilgan vektorlar bo'yicha taklif qilingan, qoidalarning asosi bo'lgan "+" belgisi va chiziqlarning asosi bo'lgan "-" belgisi bilan.

Viconaemo chaqaloqlari. Chiziqlar nuqtali chiziq bilan biz uchun ko'rinmas:

Porinaemo da viznachennya:

2) vektorlar olinadi kuylash tartibi, shuning uchun jonzotdagi vektorlarni qayta tartibga solish, siz xohlaganingizdek, siz merossiz qazib olinmaysiz.

3) Bundan oldin, geometrik ilonga sharh sifatida men aniq bir haqiqatni nazarda tutyapman: vektorlarning o'zgarishi ê NUMBER:. Adabiyotning boshida dizayn juda tez-tez amalga oshirilishi mumkin, men orqali o'zgarish ovozini bilaman va natija "pe" harfida raqamlangan.

Viznachennyam uchun o'zgartirish tvir - tse obsyag parallelepipeda, vektorlarda so'raladi (rasm qizil vektorlar va qora rangdagi chiziqlar bilan qoplangan). Bu berilgan parallelepipedning oxirgi marta soni.

Eslatma : kreslo ê sxemasi.

4) Biz asos va makonni anglagan holda qanday uchishni bilmaymiz. Bahsga minus belgisini berishi mumkin bo'lgan kishining yakuniy qismi hissi. Oddiy so'zlar bilan aytganda, tvirning o'zgarishi salbiy bo'lishi mumkin:.

Bezposeredno s qiymati keyingi parallelepiped miqdorini hisoblash uchun formula vektorlar so'raladi.