Root de la un număr necunoscut. Rădăcină pătrată. Teorie detaliată cu aplicații. Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm2. Cunoașteți partea de yoga. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este bună X decimetri. Zona Todi a casei este mai scumpă X² decimetri pătrați. Cioburi pentru minte, suprafața este de 81 dm², atunci X² \u003d 81. Lungimea laturii pătratului este un număr pozitiv. Un număr pozitiv, al cărui pătrat este 81, є este numărul 9. Când rezolvați probleme, este necesar să cunoașteți numărul x, al cărui pătrat este 81, pentru a rezolva problema X² \u003d 81. Prețul are două rădăcini: X 1 = 9 X 2 \u003d - 9, deci 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. Numerele ofensatoare 9 і - 9 sunt numite rădăcini pătrate ale numărului 81.

Cu drag, că una dintre rădăcini pătrate X= 9 є număr pozitiv. Yogo se numește rădăcina pătrată aritmetică a numărului 81 și denotă √81, un astfel de rang √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A se numește un număr necunoscut mie, pătratul unor vechi A.

De exemplu, numerele 6 i - 6 sunt rădăcinile pătrate ale numărului 36. Când numărul 6 este rădăcina pătrată aritmetică a numărului 36, fragmentele 6 nu sunt numărul i 62 = 36. Numărul - 6 nu este rădăcina aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A semnificat astfel: √ A.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; A- se numește sub-rădăcină viraz. Viraz √ A citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În stările de spirit liniștite, dacă este clar că există o rădăcină aritmetică, aceasta va fi scurtă: „rădăcina pătrată a A«.

Valoarea rădăcinii pătrate din depozit se numește valoarea rădăcinii pătrate. Tsya diya є înfășurat într-un pătrat.

Este posibil să pătrați dacă este un număr, dar pentru a obține o rădăcină pătrată este posibil să nu fie un număr. De exemplu, nu este posibil să se deseneze rădăcina pătrată a numărului - 4. După ce am găsit o astfel de rădăcină, apoi, după ce a recunoscut-o cu o literă X, Am elimina egalitatea greșită x² = - 4, deci merită costul unui număr necunoscut, iar în dreapta - negativ.

Viraz √ A maє sens tilki for a ≥ 0. Valoarea rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt astfel: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Capitaluri proprii (√ A)² = A echitabil pentru a ≥ 0. În acest fel, să se schimbe în faptul că rădăcina pătrată a unui număr negativ A dorivnyuє b, apoi în acel √ A =b, este necesar să reconsiderăm, care sunt următoarele două minți: b ≥ 0, b² = A.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Hai să numărăm. Cu respect, că √25 = 5, √36 = 6 și este reversibil faptul că egalitatea este învingătoare.

deci iac i , atunci ecuanimitatea este adevărată. Otzhe, .

Teorema: Yakscho A≥ 0 și b> 0, deci rădăcina din fracție este egală cu rădăcina din cartea de numere, împărțită la rădăcina din banner. Este necesar să aduceți că: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, atunci.

Pentru fracția yak_styu zvedennya din picior și semnul rădăcinii pătrate teorema a fost completată. Să aruncăm o privire la spratul de aplicații.

Calculați, pentru teorema terminată .

Un alt fund: Adu ce , ca A ≤ 0, b < 0. .

Un alt cap: Calculați.

.

Inversarea rădăcinii pătrate

Vina multiplicatorului z-pіd la semnul rădăcinii. Să fie dat Viraz. Yakscho A≥ 0 și b≥ 0, apoi urmând teorema de creare a rădăcinii putem scrie:

O astfel de transformare se numește vinovăția multiplicatorului semnului z-pod al rădăcinii. Să ne uităm la fund;

Calculați la X= 2. Fără înlocuire de mijloc X= 2 la rădăcina virazului pentru a produce un calcul de pliere. Calculul Qi poate fi iertat, parcă ar da vina pe semnul z-pіd al multiplicatorilor rădăcinii: . Înlocuind acum x = 2 luăm:.

Mai târziu, cu vinovăția multiplicatorului, semnul rădăcină al semnului rădăcinii este o subrădăcină a virazului în viziunea creației, în care există unul sau mai mulți multiplicatori în pătratele numerelor necunoscute. Apoi să elaborăm teorema despre rădăcina din extracție și să extragem rădăcina din multiplicatorul de piele. Să ne uităm la fund: Iertarea A \u003d √8 + √18 - 4√2 vinuri în primii doi multiplicatori dodankіv ai semnului rădăcină, otrimaєmo:. Te încurajez, acea gelozie echitabil numai pentru A≥ 0 și b≥ 0. bine A < 0, то .

Să ne uităm la alinierea x 2 = 4. Să o descompunem grafic. Pentru cgo, într-un sistem de coordonate, vom crea o parabolă y \u003d x 2 i linie dreaptă y \u003d 4 (Fig. 74). Duhoarea este colorată în două puncte A (- 2; 4) și B (2; 4). Punctele de abscisă A și B sunt egale cu rădăcinile x 2 \u003d 4. De asemenea, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmіrkovuyuchi exact așa, știm rădăcina egală x 2 \u003d 9 (div. Fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Și acum să încercăm rozv'yazati egal x 2 \u003d 5; ilustrațiile geometrice sunt prezentate în fig. 75. Este clar că există două rădăcini x 1 și x 2, în plus, numerele q, ca și i în două pante înainte, sunt egale pentru valoarea absolută și prelungirea semnului (x 1 - x 2) - Ale pe în fața pantelor frontale, rădăcinile egale au fost găsite cu ușurință (deoarece pot fi cunoscute fără grafice decojite), cu egal x 2 \u003d 5 în dreapta nu este așa: în spatele fotoliilor nu putem arăta semnificația rădăcinilor, noi poate seta doar ca o rădăcină să fie înrădăcinată de trei puncte din stânga - 2, iar cealaltă să fie de trei ori dreapta

Punctele 2.

Care este numărul (punctul), cum cele trei puncte de la dreapta 2 și cât de pătrat dau 5? Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, adică ieșiți mai mult, mai mic este necesar (9\u003e 5).

Deci, pentru noi, numărul este răspândit între numerele 2 și 3. Dar între numerele 2 și 3 există numere raționale impersonale, de exemplu și așa mai departe. Este posibil să existe un astfel de prieten printre ei, ce? Nu vom avea aceleași probleme de la egal x 2 - 5, putem scrie ce

Ale, iată că avem o surpriză inacceptabilă. Se pare că nu există o astfel de fracție, pentru care gelozia învinge
Dovada afirmației formulate este pliabilă. Tim nu este mai mic, ne ghidăm de yoga, cioburi sunt mai frumoase și în spate, și mai bine să încerci intelectul yoga.

Este acceptabil ca o astfel de drіb de scurtă durată, pe equanimitatea iacului vykonuєtsya. Atunci, atunci m2 = 5n2. Egalitatea rămasă înseamnă că numărul natural m 2 este divizibil fără exces cu 5 (pentru vizualizarea privată n2).

Mai târziu, numărul m 2 se termină cu numărul 5, cu numărul 0. Dar numărul natural m se termină cu numărul 5, apoi cu numărul 0. numărul m este divizibil cu 5 fără exces. Altfel, se pare că dacă numărul m este subîmpărțit la 5, atunci viide privat este un număr natural k. Asta înseamnă
că m = 5k.
Și acum mă întreb:
m 2 \u003d 5n 2;
Imaginați-vă 5k zam_st m pentru ecuanimitate Pershu:

(5k) 2 = 5n 2, apoi 25k 2 = 5n 2 sau n 2 = 5k 2 .
A rămâne gelozie înseamnă că numărul. 5n 2 este divizibil cu 5 fără exces. Rozmіrkovuchi, ca și mai mult, ajungem la visnovka despre cei pe care numărul n este divizibil cu 5 fără exces.
De asemenea, m este împărțit la 5, n este împărțit la 5, mai târziu, drіb poate fi scurt (cu 5). Și apoi am permis ca drigul să nu fie scurt. De ce este pe dreapta? De ce, pe bună dreptate, mirkuyuchi, am ajuns la punctul de absurditate sau, așa cum spun adesea matematicienii, am luat ștergetul "!
Zvіdsi robimo visnovok: nu există o astfel de fracție.
Metoda demonstrației, de care ne-am încăpățânat, se numește în matematică metoda de demonstrare a protivolego-ului. Esența ofensivei yoga. Este necesar ca noi să aducem fermitate diaconului, dar îi permitem să fie inacceptabil (matematicienii par: „tolerabil inacceptabil” - nu in sensi „inacceptabil”, ci in sensi „în măsura în care este necesar”).
Dacă, ca urmare a mirkuvanului legal, ajungem la super-acuratețe cu mintea, atunci suntem furați de mustăți: recunoașterea noastră este greșită, atunci cei care trebuiau aduși la ea au avut dreptate.

Mai târziu, sunt posibile doar numerele raționale (și nu știm încă alte numere), egal cu x 2 \u003d 5 nu este posibil de depășit.
După ce au studiat înainte cu o situație similară, matematicienii și-au dat seama că era necesar să găsească o modalitate de a descrie limbajul meu matematic. Au introdus un nou simbol în punctul de vedere, pe care l-au numit rădăcină pătrată, iar pentru simbolul suplimentar al rădăcinii egal x 2 \u003d 5 l-au notat astfel:

este de așteptat: „rădăcina pătrată a lui z 5”). Acum, pentru orice fel de minte egală, x 2 \u003d a, de a\u003e O, puteți cunoaște rădăcina - sunt numere , (Mal. 76).

Sprijin mai ceresc, scho numărul nu este întreg și nici măcar.
Înseamnă că nu este un număr rațional, ci numărul de natură nouă, despre astfel de numere vom vorbi în mod special mai târziu, împărțit la 5.
Deocamdată este mai puțin semnificativ, dar noul număr este între numerele 2 și 3, cioburi 2 2 = 4, și mai puțin, mai jos 5; Z 2 \u003d 9, iar ce mai jos 5. Puteți specifica:

Adevărat, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Poți
specifica:

într-adevăr, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
În practică, este important să rețineți că numărul este mai scump 2,23, sau este mai scump 2,24, dar nu este doar gelozie, ci gelozia este aproape, pentru recunoașterea unui astfel de simbol victorios.
Otzhe,

Discutarea soluției de egal x 2 \u003d a; Petrecând timp într-o situație non-standard, non-standard (cum ar fi astronauții iubitori) și neștiind cum să iasă din ea pentru ajutor suplimentar, matematicienii prezic pentru un model matematic, care a fost folosit anterior de el, un nou termen și un nou sens (simbol nou); cu alte cuvinte, miros pentru a introduce o nouă înțelegere și apoi crește puterea acesteia
concepte. Tim însuși, noua înțelegere a acestei înțelegeri yoga devine șeful Mișcării Matematice. Am procedat în același mod: au introdus termenul „rădăcină pătrată a numărului a”, au introdus un simbol pentru semnificația acestuia și trei ani pentru a câștiga puterea unui nou concept. Până acum, știm un singur lucru: că a > 0,
apoi - un număr pozitiv care satisface egalitatea x 2 \u003d a. Cu alte cuvinte, acesta este un număr pozitiv, la pătrat, iese numărul a.
Oskilki egal x 2 \u003d 0 maє rădăcină x \u003d 0
Acum suntem gata să citim numirea.
Programare. Rădăcina pătrată a unui număr necunoscut se numește un astfel de număr necunoscut, pătratul unui număr vechi.

Acest număr se înțelege și numărul la care se numește numărul rădăcină.
Otzhe, ca și cum a nu ar fi un număr, atunci:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
În acest rang, viraz are sens mai puțin pentru a > 0.
Spune ce - unul și același model matematic (una și aceeași învechire între numere necunoscute
(și că b), dar numai un prieten este descris de al meu mai simplu, mai întâi mai jos (simboluri simple victorie).

Operația de găsire a rădăcinii pătrate a unui număr negativ se numește schimbarea rădăcinii pătrate. Operațiunea Tsya este o inversare prin aducerea la viață în pătrat. Nivel:

Încă o dată, respect: tabelele au numere mai puțin pozitive, fragmentele nu sunt alocate rădăcinii pătrate desemnate. Vreau, de exemplu, (- 5) 2 \u003d 25 - egalitatea este corectă, mergeți la următoarea intrare cu rădăcina pătrată a variantei (deci scrieți ce.)
nu pot. Pentru scuze, . - Un număr pozitiv înseamnă .
Adesea nu spuneți „rădăcină pătrată”, ci „rădăcină pătrată aritmetică”. Termenul „aritmetică” este omis de dragul stilului.

D) Pe vederea butturilor din față, putem indica valoarea exactă a numărului. Era mai puțin clar că era mai mare, mai jos 4, ale mai mic, mai jos 5, oskolki

42 = 16 (mai mic, mai mic 17) și 52 = 25 (mai mare, mai mic 17).
Vtіm, cea mai apropiată valoare a numărului poate fi cunoscută cu ajutorul unui microcalculator, cum să răzbuni funcționarea rădăcinii pătrate; valoarea este mai scumpă 4.123.
Otzhe,
Numărul, cum ar fi și uita-te la numărul nu este rațional.
e) Nu se poate calcula, nu se poate folosi rădăcina pătrată a unui număr negativ; un record de indulgente fata de sens. Ordinul a fost propus incorect.
e) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. În astfel de cazuri, puteți câștiga tabelul de pătrate de numere naturale și un microcalculator.
g), fragmente 75 > 0 și 75 2 = 5625.
În cele mai simple cazuri, valorile rădăcinii pătrate sunt numărate pe rând: slabe. mugur. În situațiile de pliere, este necesar să se afișeze un tabel cu pătrate de numere chi și să se efectueze calcule cu un microcalculator suplimentar. Și cât de buti, cum poate o mână fără tabele, fără calculator? V_dpovіmo pe lanțul alimentar, virіshivshi atacând fundul.

fundul 2. calculati
Soluţie.
Primul stagiu. Nu contează dacă ghiciți că vidpovidul are 50 іz "coadă". De fapt, 50 2 = 2500 și 60 2 = 3600, iar numărul 2809 este schimbat între numerele 2500 și 3600.

O altă etapă. Cunoaștem „coada”, tobto. Voi lăsa cifra numărului prost. Atâta timp cât știm că rădăcina crește, atunci în viitor puteți avea 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 sau 59. Trebuie verificate doar două numere: 53 și 57. Rezultatul este un număr diferit care se termină cu numărul 9, apoi același număr care se termină cu numărul 2809.
Maєmo 532 = 2809 tse cele de care avem nevoie (am avut noroc, am fost risipiți în „măr”). Otzhe, = 53.
Sugestie:

53
exemplu 3. Picioarele unui tricutnik tăiat drept au 1 cm și 2 cm grosime.De ce este ipotenuza tricutnik? (Mal.77)

Soluţie.

Urmărim rapid geometria teoremei lui Pitagora: suma pătratelor lungimii picioarelor unui tricot tăiat drept este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei sale, deci a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - picioare, c - ipotenuza unui tricot drept.

A insemna,

Acest butt arată că introducerea rădăcinii pătrate nu este o problemă a matematicianului, ci o necesitate obiectivă: în viața reală, există situații, modele matematice ale cărora pot depăși operația de forțare a rădăcinii pătrate. Poate, cea mai importantă dintre astfel de situații este legată de
rozvyazannyam pătrat rivnian. Dosi, folosind pătrat egal cu ax 2 + bx + c \u003d 0, fie am așezat partea din stânga în multiplicatori (care s-au dovedit a fi departe de realitate), fie au marcat metode grafice (care nu sunt prea fanteziste, dar frumoase ). Cu adevărat pentru vizualizare
rădăcina x 1 și x 2 ale ecuației pătrate ax 2 + bx + c = 0

răzbunare, după cum vezi, semnul rădăcinii pătrate. Qi formule zastosovuyutsya practic într-un astfel de rang. Haide, de exemplu, trebuie să împărțiți 2x 2 + bx - 7 = 0. Aici a = 2, b = 5, c = - 7. Mai târziu,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali este cunoscut. A insemna,

Am desemnat mai multe, care nu este un număr rațional.
Matematicienii numesc astfel de numere iraționale. Irațional - fie că este vorba despre o minte numerică, ca și cum rădăcina pătrată nu apare. De exemplu, si etc. - Numere irationale. În 5 rapoarte, vom vorbi despre numere raționale și iraționale. Numerele raționale și iraționale devin simultan numere reale impersonale, adică. numere impersonale, cu care putem opera în viața reală (pentru
știri). De exemplu, toate acestea sunt numere valide.
La fel, așa cum am desemnat deja conceptul de rădăcină pătrată, putem atribui conceptul de rădăcină cubă: rădăcina cubă a unui număr necunoscut a se numește un număr care îmi este necunoscut, al cărui cub este un număr. În caz contrar, aparent, gelozia înseamnă că b 3 \u003d a.

Totul este posibil la cursul de algebră din clasa a XI-a.

Conceptul de rădăcină pătrată a unui număr necunoscut

Să ne uităm la alinierea x2 = 4. Să o descompunem grafic. Pentru cine într-un singur sistem coordonate zbuduєmo parabola y \u003d x2 i linie dreaptă y \u003d 4 (Fig. 74). Duhoarea este colorată în două puncte A (- 2; 4) și B (2; 4). Punctele de abscisă A și B sunt egale cu rădăcinile x2 = 4. De asemenea, x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi așa este, cunoaștem rădăcina egală x2 = 9 (div. fig. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Și acum să încercăm rozv'yazati egal x2 = 5; ilustrațiile geometrice sunt prezentate în fig. 75. Este clar că există două rădăcini x1 și x2, în plus, numărul de numere, ca și în două pante înainte, este egal pentru valoarea absolută și lungimea din spatele semnului (x1 - - x2) dacă ai putea cu ușurință găsiți-le (pentru că ați putea să le cunoașteți fără să fiți gata de grafice), dacă x2 = 5 în dreapta, nu e așa: nu putem arăta semnificația rădăcinilor din spatele fotoliilor, o putem pune doar într-una. rădăcină trei puncte la stânga punctului - 2, iar celelalte - trei la dreapta punctului 2.

Ale, iată că avem o surpriză inacceptabilă. Apare, nu există așa ceva fractii DIV_ADBLOCK32">

Este acceptabil că este un drіb atât de scurt, pentru care equanimitatea este victorioasă https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, adică m2 = 5n2. A rămâne gelozia înseamnă asta numar natural m2 poate fi împărțit fără exces la 5 (largul privat are n2).

Mai târziu, numărul m2 se termină cu numărul 5, numărul 0. Dar numărul natural m se termină cu numărul 5, numărul 0, adică numărul m se împarte la 5 fără exces. Altfel, se pare că dacă numărul m este subîmpărțit la 5, atunci viide privat este un număr natural k. Ze înseamnă că m = 5k.

Și acum mă întreb:

Imaginați-vă 5k zam_st m pentru ecuanimitate Pershu:

(5k) 2 = 5n2, apoi 25k2 = 5n2 sau n2 = 5k2.

A rămâne gelozie înseamnă că numărul. 5n2 se împarte la 5 fără exces. Rozmirkovuchi, ca și mai mult, ajungem la visnovka despre cei pe care numărul n este divizibil cu 5 fără surplus.

De asemenea, m este împărțit la 5, n este împărțit la 5, mai târziu, drіb poate fi scurt (cu 5). Și apoi am permis ca drigul să nu fie scurt. De ce este pe dreapta? De ce, pe bună dreptate, mirkuyuchi, am ajuns la punctul de absurditate sau, așa cum spun adesea matematicienii, am luat ștergetul "! ).

Dacă, ca urmare a mirkuvanului legal, ajungem la super-acuratețe cu mintea, atunci suntem furați de mustăți: recunoașterea noastră este greșită, atunci cei care trebuiau aduși la ea au avut dreptate.

Părinte, plutesc numai în ordinea ta numere rationale(Și încă nu știm celelalte numere), egal x2 = 5 și nu îl putem învinge.

După ce au studiat înainte cu o situație similară, matematicienii și-au dat seama că era necesar să găsească o modalitate de a descrie limbajul meu matematic. Au introdus un simbol aparent nou, pe care l-au numit rădăcină pătrată, iar pentru simbolul suplimentar al rădăcinii egal x2 \u003d 5 l-au notat astfel: ). Acum, indiferent de motiv, x2 = a, de a > Oh, puteți cunoaște rădăcina - sunt numerehttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} nu este sănătos și nu uscat.
Înseamnă că nu este un număr rațional, ci numărul de natură nouă, despre astfel de numere vom vorbi în mod special mai târziu, împărțit la 5.
Deocamdată este mai puțin semnificativ, dar noul număr este între numerele 2 și 3, cioburi 22 = 4, și mai puțin, mai jos 5; Z2 \u003d 9 și mai mult mai mic decât 5. Puteți specifica:

Încă o dată, respect: tabelele au numere mai puțin pozitive, fragmentele nu sunt alocate rădăcinii pătrate desemnate. Dacă, de exemplu, = 25 - egalitatea este corectă, mergeți la următoarea intrare din înregistrarea rădăcinii pătrate (pentru a scrie ce). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- Un număr pozitiv înseamnă https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Era mai rezonabil că a fost mai mare, mai mic 4, ale, mai mic, mai mic 5, 42 = 16 (mai mic, mai mic 17) și 52 = 25 (mai puțin mai mare, mai mic 17).
Vtіm, cea mai apropiată valoare a numărului poate fi cunoscută pentru ajutor microcalculator cum să răzbuni operația rădăcină pătrată; valoarea este mai scumpă 4.123.

Numărul, cum ar fi și uita-te la numărul nu este rațional.
e) Nu se poate calcula, nu se poate folosi rădăcina pătrată a unui număr negativ; un record de indulgente fata de sens. Ordinul a fost propus incorect.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} cioburi 75 > 0 і 752 = 5625.

În cele mai simple cazuri, valorile rădăcinii pătrate sunt numărate în multipli:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Soluţie.
Primul stagiu. Nu contează dacă ghiciți că vidpovidul are 50 іz "coadă". De fapt, 502 = 2500 și 602 = 3600, iar numărul 2809 este schimbat între numerele 2500 și 3600.

Mai aruncăm o privire la semn... Și să mergem!

Să începem de la unul simplu:

Khvilinka. tse, iar tse înseamnă că îl putem scrie astfel:

Cucerit? Axa avansului tău:

Rădăcina numerelor, ce s-a întâmplat, chiar nu ies în evidență? Nu bida - axa dvs., așa că aplicați:

Și câți multiplicatori nu sunt doi, ci mai mulți? La fel! Formula pentru înmulțirea rădăcinilor funcționează dacă există un număr de multiplicatori:

Acum o voi face singur:

Sugestii: Bine făcut! Stai, totul este ușor, știi masa înmulțirii!

Rozpodіl koreniv

Ne-am prins multe rădăcini, acum să coborâm la putere.

Bănuiesc că formula pentru infamul arată astfel:

Ce înseamnă rădăcină dintr-o parte a unei rădăcini private.

Ei bine, să aruncăm o privire la fund:

Axa i toată știința. Și axa este un astfel de exemplu:

Totul nu este atât de neted, ca un prim fund, ale, ca un bachish, nu este nimic pliabil.

Și ce, cum să te îmbeți cu un astfel de viraz:

Este necesar să formulați pur și simplu zastosuvat direct la poartă:

Și axa este un astfel de exemplu:

Puteți vedea un astfel de viraz:

La fel, doar aici trebuie să ghiciți cum să schimbați fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și întoarceți-vă!). Ghiciți? Acum vedem!

Vrăjiți, că ești cu noi, ne-am lovit, acum vom încerca să înrădăcinăm lumea.

Zvedennya în picior

Și ce vei face, ca o rădăcină pătrată la pătrat? Este simplu, ghicim sensul rădăcinii pătrate a unui număr - întregul număr, rădăcina pătrată de un fel.

Deci, de la, cum creăm un număr, rădăcina pătrată a unui anumit număr, un pătrat, apoi ce se ia?

Ei bine, este minunat!

Să aruncăm o privire la exemple:

Totul este simplu, nu? Și care va fi rădăcina altei lumi? Nimic groaznic!

Căutați acele logici și amintiți-vă puterea și capacitatea de a face pas cu pas.

Citiți teoria pe tema „” și veți deveni extrem de clar.

Axa, de exemplu, un astfel de viraz:

Al cui fund va avea picioare masculine, dar vinul care va fi neîmperecheat? Ei bine, știu, opriți nivelul de putere și răspândiți totul în multiplicatori:

Din acest punct, totul este clar, dar cum să câștigi rădăcina numărului în lume? Axa, de exemplu:

Ușor de băut, nu? Și ce zici de mai mult de doi pași? Dorimuёmosya ієї zh logic, pași de putere vikoristuyuyuchi:

Ei bine, cum a înțeles toată lumea? Aplicați singur aceleași versete:

O axă pe care am văzut-o:

A introdus semnul rădăcinii pid

De ce nu am învățat cum să lucrăm cu rădăcini! A durat doar puțin timp pentru a încerca să introduceți numărul de rădăcini!

E prea ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, zvichayno, închideți trinitatea sub rădăcină, amintindu-vă în același timp că tripletul este rădăcina pătrată!

Ce altceva mai avem nevoie? Este atât de simplu, să ne extindem posibilitățile cu aplicații perfecte:

Cum este acea putere a rădăcinii? Este chiar o chestiune de viață? Pe mine, așa e! Tilki Rețineți că putem adăuga doar un semn rădăcină pătrată unui număr pozitiv.

Virish independent axa fundului -
Grabit? Să ne minunăm, ce poți vedea în tine:

Bine făcut! Ai suficient de departe pentru a introduce semnul număr pіd al rădăcinii! Să trecem la ceva care nu este mai puțin important - să ne uităm la cum să corectăm numerele pentru a răzbuna rădăcina pătrată!

Reparație rădăcină

Ce-ar fi să învățăm să aflăm numerele, cum să răzbunăm rădăcina pătrată?

Cam simplu. Adesea, la marile și banale virazas, care vorbesc în somn, luăm dovezi iraționale (ți minte, ce este așa? Vorbeam deja despre tine azi!)

Otrimani vіdpovіdі trebuie să ne întindem pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina ce interval este potrivit pentru rozvyazuvannya rivnyannya. Prima axă de aici dă vina pe zakovik: nu există calculator în uz, dar fără el, cum să dezvăluiți, care număr este mai mare și care este mai mic? Otozh am afară!

De exemplu, vyznach, ce este mai mult: chi?

Nu vei spune imediat. Ei bine, ce, este rapid să atragi puterea numărului introdus sub semnul rădăcinii?

Daţi-i drumul:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi ferm robimo visnovok, scho. Și nimeni nu ne poate schimba din partea cealaltă!

Prefigurarea rădăcinilor marilor numere

În fața cui am introdus multiplicatorul sub semnul rădăcinii, dar cum să-l dau vina? Trebuie doar să puneți yogo pe multiplicatori și să trageți pe cei care trag!

Era posibil să bei într-un mod diferit și să-l răspândești pe alți multiplicatori:

Nu-i rău, nu? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy ca tine cu ușurință.

Aranjamentul pentru multiplicatori va avea noroc cu implementarea unor astfel de sarcini nestandard, cum ar fi axa lanțului:

Nu lakaєmos, ci diemo! Am pus împreună un multiplicator de piele sub rădăcină pe un multiplicator okremi:

Și acum încercați-l pe cont propriu (fără un calculator! Nu veți putea dormi la yoga):

Hiba tse kinets? Nu vă lăsați păcăliți de pivdoroz!

Axis și tot, nu așa totul și înfricoșător, nu?

Wiishlo? Bravo, ai dreptate!

Și acum încearcă acest cap de virishiti:

Și fundul este un vas mitzny, așa că nu îl vei putea ridica imediat, ca și cum ai trece la unul nou. Ale noi vinuri, evident, în dinți.

Ei bine, ce zici de aranjarea pentru multiplicatori? Este foarte respectuos să adăugați numărul la (ghicim semnele de divizibilitate):

Și acum, încercați singur (știu, fără calculator!):

Ei bine, scho, wiyshlo? Bravo, ai dreptate!

P_vedemo p_bags

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr necunoscut se numește un astfel de număr necunoscut, pătratul unui alt număr.
   .
2. Dacă pur și simplu luăm rădăcina pătrată a tuturor, atunci luăm întotdeauna un rezultat invizibil.
3. Puterea rădăcinii aritmetice:
4. Când rădăcina pătrată este egală, este necesar să ne amintim că cu cât este mai mare numărul de sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum este rădăcina ta pătrată? A avut totul sens?

Am încercat să vă explicăm fără a conduce tot ceea ce este necesar să știți în somn despre rădăcina pătrată.

Acum diavolul tău. Scrie-ne un subiect potrivit pentru tine.

Recunoscându-te acum, totul era atât de clar.

Scrie in comentarii si mult succes in somn!

At tsіy statti mi zaprovadimo înțelege rădăcina numărului. Dyatimemo secvenţial: pornind de la rădăcina pătrată, să trecem la descrierea rădăcinii cubice, după care putem înţelege rădăcina, notând rădăcina gradului n. În același timp, introduce un nume, un semn, sugerează o aplicare a rădăcinilor și dă explicațiile necesare acelui comentariu.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege semnificația rădăcinii numărului și a rădăcinii pătrate a zokrem-ului este necesar pentru mamă. În acest moment, de multe ori mi zishtovhuvatimosya cu un alt pas al numărului - pătratul numărului.

Pochnemo s numitorul rădăcinii pătrate.

Programare

Rădăcina pătrată a lui a- Numărul acesta, pătratul unui a vechi.

Schob conduce aplica radacina patrata, Să luăm câteva numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Apoi, pentru sarcini date, numărul 5 este rădăcina pătrată a numărului 25, numerele -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate ale lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Glisați desemnați, pentru orice număr a іsnuє, pătratul lui koho dorivnuє a. Și pentru sine, pentru orice număr negativ a, nu folosiți același număr zecimal b, pătratul oricărui alt număr a. Adevărat, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice negativ a , shards b 2 - nu știu numărul pentru orice b . Într-o asemenea manieră, pe numerele reale impersonale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe numerele reale impersonale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu iese în evidență și nu are sens.

Sună ca un aliment logic: „Și care este rădăcina pătrată a lui a dacă există o mulțime de a”? Vidpovid - deci. Întemeiată pe acest fapt, o metodă constructivă este importantă pentru a câștiga semnificația valorii rădăcinii pătrate.

Apoi propuneți un motiv mai logic: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr infinit dat a - unu, doi, trei, mai mult”? Axa v_dpov_d pe new: dacă a este egal cu zero, atunci rădăcina pătrată unică a lui zero este zero; de exemplu, a este un număr pozitiv, numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, în plus, rădăcina este є. Obguruntuemo tse.

La revedere a=0 . Pe de altă parte, se arată că zero este adevărat prin rădăcina pătrată a lui zero. Motivul uniformității evidente 0 2 =0 0=0 este denumirea rădăcinii pătrate.

Acum putem spune că 0 este rădăcina pătrată unică a lui zero. Accelerarea prin metoda vederii inacceptabilului. Să presupunem că numărul b este cunoscut a fi același număr cu zero, dar este rădăcina pătrată a lui zero. Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, ceea ce este imposibil, cioburi pentru be-yakom vіdminnym vіd zero b valoare virazu b 2 є pozitiv. Am făcut super-sharpness. Este necesar să aducem că 0 este rădăcina pătrată unică a lui zero.

Trecem la vipadkіv, dacă a este un număr pozitiv. Ni s-a spus mai mult că trebuie să folosiți rădăcina pătrată a oricărui număr, fie rădăcina pătrată a egală cu numărul b. Este acceptabil ca є să fie numărul c, dar și є să fie rădăcina pătrată a lui a. Apoi rădăcina pătrată a corectitudinii b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, їх sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, dar cioburi b 2 − c 2 \u003d (b− c) ( b + c ) , atunci (b-c) · (b + c) = 0 . Gelozia este luată de la putere puterile dіy іz dіysnimi numere poate numai atunci, dacă b-c=0 sau b+c=0. În această ordine, numerele b și c sunt egale sau protilege.

Dacă permitem ca numărul d, cu încă o rădăcină pătrată la magazia a, atunci prin oglindire, asemănătoare celor pe care le-am arătat deja, trebuie adus, că d este mai aproape de numărul b sau de numărul c. . De asemenea, numărul de rădăcini pătrate dintr-un număr pozitiv este egal cu doi, în plus, rădăcina pătrată este numere opuse.

Pentru eficiența muncii cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „întărită” ca una pozitivă. Metoda Z tієyu care urmează să fie introdusă derivarea rădăcinii pătrate aritmetice.

Programare

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr negativ a- Numărul Tse nevіd'єmne, al cărui pătrat dovnyuє a.

Pentru rădăcina pătrată aritmetică a depozitului a, se ia valoarea. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Yogo este numit și semnul radicalului. Aceasta poate fi parțial un pic ca o „rădăcină” și, de asemenea, un „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, și viraz sub semnul rădăcinii - subrădăcină virazom, în termenul lor „număr sub-rădăcină” este adesea înlocuit cu „număr sub-rădăcină viraz”. De exemplu, în intrare, numărul 151 este numărul rădăcinii principale, iar în intrarea viraz a, rădăcina este viraz.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, înregistrarea este citită ca „rădăcină pătrată de șapte douăzeci și nouă de cenți”. Cuvântul „aritmetică” este folosit o singură dată, dacă vrei să fii deosebit de flagrant, poți merge pe rădăcina pătrată pozitivă a numărului.

La lumina valorii introduse, rădăcina pătrată aritmetică a rădăcinii pătrate aritmetice are aceeași valoare ca orice număr nenegativ a.

Rădăcina pătrată a unui număr pozitiv a din spatele semnului suplimentar al rădăcinii pătrate aritmetice se scrie ca i. De exemplu, rădăcina pătrată a numărului 13 є i. Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este egală cu zero, atunci . Pentru numerele negative a, intrările mi nu sunt supuse senzației până la eveniment numere complexe. De exemplu, pentru a ușura simțul expresiei care.

Pentru subpungi cu semnificația rădăcinii pătrate, puterea rădăcinilor pătrate este adusă în prim-plan, ceea ce este cel mai probabil să fie practic.

La sfârșitul acestui punct, merită să se respecte faptul că rădăcina pătrată a numărului a є soluții la forma x 2 \u003d o schimbare mai bună x.

Rădăcina cubică a numărului

Definiția rădăcinii cubice depozitul a este dat la fel ca rădăcina pătrată. Se bazează doar pe înțelegerea cubului numărului, dar nu a pătratului.

Programare

Rădăcina cubă a numărului a se numește numărul, al cărui cub este egal cu a.

Navigabil aplicați o rădăcină cubică. Pentru ce număr de numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 cunosc їх y cub: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Deci, bazându-ne pe desemnarea rădăcinii cubice, puteți confirma că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și -2/3 este rădăcina cubă a lui -8/27.

Puteți arăta că rădăcina cubă a depozitului a, pe rădăcina pătrată, zavzhdi іsnuє, în plus, pentru a nenegativ, dar pentru orice număr real a. Pentru care poți câștiga în același mod, despre care am ghicit rădăcina pătrată.

Mai mult, nu mai există o singură rădăcină cubă pentru un anumit număr a. Aducem restul fermității. În acest context, putem vedea trei vipadas: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că, dacă rădăcina cubă a lui a este pozitivă, nu poate fi nici un număr negativ, nici zero. Adevărat, fie b є o rădăcină cubică pentru a, atunci pentru același lucru putem scrie egalitatea b 3 \u003d a. Aparent, certitudinea poate fi corectă pentru negativ b і pentru b=0 , vârfurile pentru negative b 3 =b·b vor fi, evident, un număr negativ chi zero. De asemenea, rădăcina cubică a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum este acceptabil ca numărul b să aibă încă o rădăcină cubică din numărul a, în mod semnificativ o c. Atunci c 3 = a. Mai târziu, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(formula pentru înmulțirea scurtă diferenta de cuburi), stele (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Gelozia lui Otriman este posibilă numai dacă b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate, b=c este posibil și nu există altă soluție, deoarece partea din stânga este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b і c ca suma a trei adunări pozitive b 2 , b c і c 2 . Cim a adus unitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Când a=0, rădăcina cubă a depozitului a є este mai mare decât numărul zero. Este clar că, dacă presupuneți că se folosește numărul b, dacă vedeți zero ca rădăcină cubă de la zero, atunci egalitatea lui b 3 \u003d 0 este de vină, deoarece este posibil doar cu b \u003d 0.

Pentru negativul a, puteți induce o oglindire, similară cu a pozitivă. În primul rând, se arată că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală cu un număr pozitiv, nici zero. În alt mod, să presupunem că mai există o rădăcină cubică dintr-un număr negativ și se arată că vinurile limbii sunt combinate cu primul.

Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s de orice număr zecimal dat a, în plus, unul.

Damo desemnarea rădăcinii cubice aritmetice.

Programare

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr infinit a un număr mi se numește necunoscut, un cub de vreo a vechi.

Rădăcina cubă aritmetică a numărului necunoscut a este indicată ca semn numit semnul rădăcinii cubului aritmetic, numărul 3 din această înregistrare se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii - tse numărul rădăcinii, viraz sub semnul rădăcinii - tse subroot viraz.

Dacă doriți ca rădăcinii cubice aritmetice să i se atribuie doar numere negative a, puteți câștiga și manual înscrierile, pentru care semnul rădăcinii cubice aritmetice schimbă numerele negative. Să rezumam astfel: , de a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre puterea rădăcinii cubice în articolul principal al puterii rădăcinilor.

Calculul valorii rădăcinii cubice se numește calculul rădăcinii cubice, motivul este preluat din articolul eroului rădăcinilor: modalități, aplicare, soluții.

La sfârșitul acestui paragraf, să spunem că rădăcina cubă a depozitului este o soluție є la forma x 3 =a.

Rădăcina etapei a n-a, rădăcina aritmetică a etapei n

Este ușor de înțeles rădăcina numărului - vă prezentăm desemnarea rădăcinii etapei a n-a pentru n.

Programare

Rădăcina gradului al n-lea al numărului a- Numărul Tse, a n-a etapă a ceea ce este mai scump a.

Din care numire s-a înțeles că rădăcina primei etape a numărului a este numărul a, cioburi din aceeași etapă cu indicatorul natural au fost luate a 1 \u003d a.

Ne-am uitat mai atent la pantele rădăcinii de gradul n la n=2 și n=3 – rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Deci rădăcina pătrată este rădăcina altui nivel, iar rădăcina cubă este rădăcina celui de-al treilea nivel. Pentru a extrage rădăcinile pasului n-a cu n=4, 5, 6, ... їх împărțiți-le manual în două grupuri: primul grup este rădăcina pașilor perechi (tobto, cu n=4, 6, 8, ...), celălalt grup este rădăcina pașilor nepereche (tobto, la n=5, 7, 9, …). Prin urmare, rădăcina treptelor pereche este similară cu rădăcina pătrată, iar rădăcina treptelor nepereche este cubică. Să le rezolvăm cu ele.

Să ne uităm la rădăcinile, ale căror pași sunt băieții numărului 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, duhoarea este similară cu rădăcina pătrată a numărului a. Aceasta este rădăcina oricărui pas pereche din numărul a іsnuє numai pentru nu mult a. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina a este simplă și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini ale pasului pereche din numărul a, în plus, sunt numere opuse.

Obguruntuemo rămâne întărit. Fie b rădăcina gradului pereche (în mod semnificativ її yak 2m, de m este un număr natural) din numărul a. Să presupunem că numărul c este încă o rădăcină a pasului 2·m din depozitul a. Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Cunoaștem forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primii doi egali înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt protilegi. Și restul egalității este corectă numai pentru b = c = 0, cioburi din partea stângă a părții stângi sunt virazate, deoarece este nenegativ pentru orice b și ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul n cu n nepereche, atunci duhoarea este similară cu rădăcina cubică. Deci rădăcina oricărui grad nepereche din numărul a este folosită pentru orice număr zecimal a, în plus, pentru un număr dat a vіn є єdine.

Unitatea rădăcinii treptei nepereche 2 m+1 din depozitul a este adusă prin analogie cu demonstrarea unității rădăcinii cubice a lui a. Numai aici este adjunctul geloziei a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) victorie de forma b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz în restul arcului poate fi rescris ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, la m=2 poate b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Dacă a și b sunt pozitive ofensive și negative negative sunt un număr pozitiv, atunci viraz b 2 +c 2 +b·c, care se află în brațele celui mai înalt nivel de investiție, este pozitiv ca sumă a numerelor pozitive. Acum, ieșind succesiv până la viraz la arcadele treptelor înainte de investiție, comutăm, că duhoarea este și ea pozitivă ca sumă de numere pozitive. Este necesar pentru a rezulta ca egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 Este posibil o singură dată, dacă b−c=0, atunci dacă numărul b este egal cu numărul c.

A sosit momentul să explorezi rădăcinile nivelului n-lea. Pentru cine este dat desemnarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.

Programare

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr infinit a numărul mi se numește necunoscut, al n-a pas al unui fel de a.