Korijen iz nepoznatog broja. Korijen. Detaljna teorija s primjenama. Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Površina kvadratne parcele je 81 dm2. Upoznajte stranu joge. Pretpostavimo da je duljina stranice kvadrata dobra x decimetara. Todi dio kuće je skuplji x² kvadratnih decimetara. Krhotine za pamet, površina je dakle 81 dm² x² \u003d 81. Duljina stranice kvadrata je pozitivan broj. Pozitivan broj, čiji je kvadrat 81, ê je broj 9. Kod rješavanja zadataka potrebno je znati broj x, čiji je kvadrat 81, da bi se riješio zadatak. x² \u003d 81. Cijena ima dva korijena: x 1 = 9 x 2 \u003d - 9, dakle 9² \u003d 81 í (- 9) ² \u003d 81. Pogrešni brojevi 9 í - 9 nazivaju se kvadratni korijeni broja 81.

Dragi moj, taj kvadratni korijen x= 9 ê pozitivan broj. Yogo se naziva aritmetički kvadratni korijen broja 81 i označava √81, takav rang √81 = 9.

Aritmetički kvadratni korijen broja A zove se meni nepoznat broj, kvadrat neke stare A.

Na primjer, brojevi 6 i - 6 su kvadratni korijeni broja 36. Kada je broj 6 aritmetički kvadratni korijen broja 36, krhotine 6 nisu broj i 62 = 36. Broj - 6 nije aritmetički korijen.

Aritmetički kvadratni korijen broja A označeno ovako: √ A.

Predznak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena; A- zove se podkorijenski viraz. Viraz √ Ačitati ovako: aritmetički kvadratni korijen broja A. Na primjer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. U mirnim raspoloženjima, ako je jasno da postoji aritmetički korijen, to će biti kratko: "kvadratni korijen od A«.

Vrijednost kvadratnog korijena u skladištu naziva se vrijednost kvadratnog korijena. Tsya diya ê zamotana do kvadrata.

Moguće je kvadrirati bilo da je broj, ali da bi se dobio kvadratni korijen moguće je da nije broj. Na primjer, nije moguće izvući kvadratni korijen broja - 4. Nakon što ste pronašli takav korijen, tada ga prepoznajte slovom x, Oduzeli bismo pogrešnu jednakost x² = - 4, tako da vrijedi trošak nepoznatog broja, a s desne strane - negativan.

Viraz √ A maê sens tilki za a ≥ 0. Vrijednost kvadratnog korijena može se ukratko napisati na sljedeći način: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Vlasnički kapital (√ A)² = A pošteno za a ≥ 0. Na taj način promijeniti u činjenicu da je kvadratni korijen negativnog broja A dorivnyuê b, onda u tom √ A =b, potrebno je ponovno razmotriti koja su sljedeća dva uma: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratni korijen razlomka

Ajmo računati. S poštovanjem, da je √25 = 5, √36 = 6, i reverzibilno je da je jednakost pobjednička.

pa jak i , tada je ravnodušnost istinita. Otzhe, .

Teorema: Yakscho A≥ 0 i b> 0, pa je korijen iz razlomka jednak korijenu iz knjige brojeva, podijeljeno s korijenom iz transparenta. Potrebno je donijeti da: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, tada .

Za yak_styu zvedennya razlomak u podnožju i znak kvadratnog korijena teorem je dovršen. Pogledajmo nekoliko aplikacija.

Izračunajte, za gotov teorem .

Još jedan opušak: Donesi što , Kao A ≤ 0, b < 0. .

Još jedna guzica: Izračunaj.

Okretanje kvadratnog korijena

Krivnja množitelja z-píd prema znaku korijena. Neka se da Viraz. Yakscho A≥ 0 i b≥ 0, tada slijedeći teorem o stvaranju korijena možemo napisati:

Takva se transformacija naziva krivnjom množitelja z-pod predznaka korijena. Pogledajmo kundak;

Izračunajte na x= 2. Nema srednje zamjene x= 2 u korijenu viraza da se proizvede preklopni izračun. Izračun Qi može se oprostiti, kao da je kriv znak z-píd korijenskih množitelja: . Zamjenjujući sada x = 2 uzimamo:.

Kasnije, uz krivicu množitelja, korijenski znak znaka korijena je podkorijen viraza u viđenju stvaranja, u kojem se nalazi jedan ili više množitelja u kvadratima nepoznatih brojeva. Zatim razradimo teorem o korijenu iz izdvajanja i izvucimo korijen iz množitelja kože. Pogledajmo zadnjicu: Oprost A \u003d √8 + √18 - 4√2 vina u prva dva dodankív množitelja znaka korijena, otrimaêmo:. Ohrabrujem te, ta ljubomora pravedno samo za A≥ 0 i b≥ 0. dobro A < 0, то .

Pogledajmo poravnanje x 2 = 4. Rastavimo to grafički. Za cgo u jednom koordinatnom sustavu stvorit ćemo parabolu y \u003d x 2 i ravnu liniju y \u003d 4 (slika 74). Smrad je toniran u dvije točke A (- 2; 4) i B (2; 4). Točke apscise A i B jednake su korijenima x 2 \u003d 4. Također, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmírkovuyuchi upravo tako, znamo da je korijen jednak x 2 \u003d 9 (div. Slika 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

A sada pokušajmo rozv'yazati jednako x 2 \u003d 5; geometrijske ilustracije prikazane su na sl. 75. Jasno je da postoje dva korijena x 1 i x 2, štoviše, q brojeva, kao i i u dva prednja nagiba, jednaki su po apsolutnoj vrijednosti i produžetku za znak (x 1 - x 2) - Ale na ispred prednjih padina, de korijenske jednakosti su lako pronađene (jer se mogu znati bez guljenja grafova), s jednakostima x 2 = 5 na desnoj strani nije tako: ne možemo pokazati značenje korijena iza fotelja, možemo samo utvrdi da je jedan korijen ukorijenjen u tri lava više točaka - 2 , a drugi je tri puta u pravu

Bodovi 2.

Koji je broj (točka), kako tri desne točke 2 i koliko na kvadrat daju 5? Zrozumílo, sho tse 3, oskílki Z 2 = 9, tj. izlazi više, niže je potrebno (9\u003e 5).

Dakle, za nas je broj raširen između brojeva 2 i 3. Ali između brojeva 2 i 3 postoje bezlični racionalni brojevi, npr. i tako dalje.Moguće je da među njima postoji takav prijatelj, što? Nećemo imati iste probleme od jednakosti x 2 - 5, možemo napisati što

Ale, čeka nas neprihvatljivo iznenađenje. Čini se da ne postoji taj dio, za koji pobjeđuje ljubomora
Dokaz formulirane tvrdnje je preklopiv. Tim nije manji, vodimo se jogom, krhotine su ljepše i straga, još bolje probati jogu intelekt.

Prihvatljivo je da takav kratkotrajni dríb, na jaku vykonuêtsya mirnoću. Tada je m2 = 5n2. Preostala jednakost znači da je prirodni broj m 2 djeljiv bez viška s 5 (za privatni pogled n2).

Kasnije, broj m 2 završava s brojem 5, brojem 0. Ali prirodni broj m završava s brojem 5, brojem 0, dakle. broj m je djeljiv s 5 bez viška. Inače, čini se da ako je broj m podijeljen s 5, tada je privatni broj prirodan broj k. Tse znači
da je m = 5k.
A sada se čudite:
m 2 \u003d 5n 2;
Zamislite 5k zam_st m za pershu staloženost:

(5k) 2 = 5n 2, tada je 25k 2 = 5n 2 ili n 2 = 5k 2 .
Preostala ljubomora znači da broj. 5n 2 je djeljiv s 5 bez viška. Rozmírkovuchi, poput još više, dolazimo do visnovka o onima da je broj n djeljiv s 5 bez viška.
Također, m je podijeljeno s 5, n je podijeljeno s 5, kasnije, dríb može biti kratak (sa 5). I tada smo dopustili da dribling nije bio kratak. Zašto je desno? Zašto, s pravom, mirkuyuchi, došli smo do točke apsurda, ili, kako matematičari često kažu, oduzeli smo brisanje"!
Zvídsi robimo visnovok: ne postoji takav razlomak.
Metoda dokazivanja, o koju smo se tvrdoglavo spotakli, zove se u matematici metoda dokazivanja protivlega. Bit ofenzive joge. Potrebno je da đakonu donesemo čvrstinu, ali dopuštamo da je to neprihvatljivo (matematičarima se čini: “podnošljivo neprihvatljivo” - ne in sensi “neprihvatljivo”, nego u sensi “koliko je potrebno”).
Ako kao rezultat zakonskog mirkuvana dođemo do supertočnosti uma, onda smo oteti u brk: krivo je naše priznanje, dakle, u pravu su bili oni koje je trebalo dovesti do njega.

Kasnije su mogući samo racionalni brojevi (a druge brojeve još ne znamo), jednako x 2 \u003d 5 nije moguće prevladati.
Nakon što su unaprijed proučili sličnu situaciju, matematičari su shvatili da je potrebno pronaći način da opišem svoj matematički jezik. U točku gledišta uveli su novi simbol koji su nazvali kvadratni korijen, a za dodatni simbol korijena jednakog x 2 \u003d 5 zapisali su ga ovako:

očekuje se: "kvadratni korijen iz z 5") Sada, za bilo koju vrstu jednakog uma, x 2 \u003d a, de a\u003e O, možete znati korijen - to su brojevi , (Mal. 76).

Više nebeske podrške, scho broj nije cijeli i nije paran.
Znači da se ne radi o racionalnom broju, već o broju nove prirode, o takvim brojevima ćemo kasnije posebno govoriti, podijeljen na 5.
Za sada je manje značajan, ali je novi broj između brojeva 2 i 3, krhotine 2 2 = 4, i manje, niže 5; Z 2 \u003d 9, a ce niže 5. Možete odrediti:

Istina, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Možete
navedite:

stvarno, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
U praksi, važno je napomenuti da je broj skuplji 2,23, odnosno skuplji je 2,24, ali nije samo ljubomora, već je ljubomora blizu, za prepoznavanje takvog pobjedničkog simbola.
Otzhe,

Raspravljajući o rješenju jednake x 2 \u003d a; Popping u Nestandardnoj, nezhtetnu (jak da volim kozmonaut) situaciji nisam znao vichens ne-etnicity of the udomikh, matematika za matematičke modele, i plemstvo Termin ibe nobility (novi simbol); drugim riječima, smrdi uvesti novo razumijevanje, a zatim povećati snagu toga
koncepti. Sam Tim, novo shvaćanje ovog shvaćanja joge postaje glava matematičkog pokreta. Učinili smo to na isti način: uveli su pojam "kvadratni korijen broja a", uveli simbol za njegovo značenje i tri godine da osvoje snagu novog koncepta. Za sada znamo samo jednu stvar: da je a > 0,
tada - pozitivan broj koji zadovoljava jednakost x 2 \u003d a. Drugim riječima, ovo je pozitivan broj, kada se kvadrira, ispada broj a.
Oskilki jednako x 2 \u003d 0 maê korijen x \u003d 0
Sada smo spremni dati čitanje imenovanja.
Ugovoreni sastanak. Kvadratni korijen nepoznatog broja naziva se takav nepoznati broj, kvadrat nekog starog broja.

Misli se na taj broj, a broj na kojem se nalazi naziva se korijenski broj.
Otzhe, kao da a nije broj, tada:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
U ovom rangu, viraz ima manje smisla za a > 0.
Reci što - jedan te isti matematički model (jedna te ista zastojnost između nepoznatih brojeva
(i to b), ali samo je prijatelj opisan jednostavnijim mojim, nižim prvim (jednostavni simboli pobjede).

Operacija iznalaženja kvadratnog korijena negativnog broja naziva se promjena kvadratnog korijena. Tsya operacija je preokret oživljavanjem na trgu. Razina:

Još jednom, poštovanje: tablice imaju manje pozitivnih brojeva, krhotine nisu dodijeljene označenom kvadratnom korijenu. Želim, na primjer, (- 5) 2 \u003d 25 - jednakost je točna, idite na sljedeći unos s kvadratnim korijenom varijante (pa napišite što.)
ne mogu Za ispriku,. - Pozitivan broj znači .
Često se kaže ne "kvadratni korijen", već "aritmetički kvadratni korijen". Izraz "aritmetika" izostavljen je radi stila.

D) Na prikazu prednjih kundaka možemo naznačiti točnu vrijednost broja. Manje je bilo jasno da je veći, niži 4, ale manji, niži 5, oskolki

42 = 16 (manje, niže 17), i 52 = 25 (više, niže 17).
Utím, najbliža vrijednost broja može se znati uz pomoć mikrokalkulatora, kako osvetiti operaciju kvadratnog korijena; vrijednost je skuplja 4.123.
Otzhe,
Broj, lajkajte i pogledajte broj nije racionalan.
e) Nije moguće izračunati, ne može se koristiti kvadratni korijen negativnog broja; zapis popuštanja osjetilima. Naredba je pogrešno predložena.
e) , oskílki 31 > 0 í 31 2 = 961. U takvim slučajevima možete osvojiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva i mikrokalkulator.
g), krhotine 75 > 0 i 75 2 = 5625.
U najjednostavnijim slučajevima, vrijednosti kvadratnog korijena se broje u nizu: oskudno. pupoljak. U situacijama preklapanja potrebno je otvoriti tablicu kvadrata brojeva chi i izvršiti izračune s dodatnim mikrokalkulatorom. I kako buti, kako jedna ruka nema tablica, nema kalkulatora? V_dpovímo na lanac hrane, viríshivshi napadajući stražnjicu.

guza 2. Izračunati
Riješenje.
Prva razina. Nije važno ako pogodite da vidpovid viide ima 50 íz "repa". Zapravo, 50 2 = 2500, a 60 2 = 3600, a broj 2809 mijenja se između brojeva 2500 i 3600.

Još jedna faza. Znamo "rep", tobto. Ostaviću brojku glupog broja. Sve dok znamo da korijen raste, tada u budućnosti možete imati 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ili 59. Trebate provjeriti samo dva broja: 53 i 57, miris smrada na kvadrat će dati b u. Rezultat je različit broj koji završava s brojem 9, zatim isti broj koji završava s brojem 2809.
Maêmo 532 = 2809 tse onih koji su nam potrebni (imali smo sreće, protraćeni smo u "jabuci"). Otzhe, = 53.
Prijedlog:

53
primjer 3. Katete pravorezanog trikutnika imaju debljinu 1 cm i 2 cm.Zašto je trikutnik hipotenuza? (Mal.77)

Riješenje.

Brzo slijedimo geometriju Pitagorinog poučka: zbroj kvadrata duljina krakova ravno krojenog trikoa jednak je kvadratu duljine njegove hipotenuze, pa je a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - noge, c - hipotenuza ravnog trikoa.

Značiti,

Ovaj udarac pokazuje da uvođenje kvadratnog korijena nije matematičarska greška, već objektivna nužnost: u stvarnom životu postoje situacije čiji matematički modeli mogu nadvladati operaciju forsiranja kvadratnog korijena. Možda je najvažnija od takvih situacija vezana uz
rozvyazannyam trg rivnyan. Dosi, koristeći kvadrat jednako ax 2 + bx + c \u003d 0, ili smo lijevi dio rasporedili u množitelje (što se pokazalo da je daleko od stvarnosti), ili su oni ocjenjivali grafičke metode (koje nisu previše otmjene, ali su lijepe ). Zaista za vizualizaciju
korijen x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0

osveta, kao što vidite, znak kvadratnog korijena. Qi formule zastosovuyutsya praktički u takvom rangu. Hajde, na primjer, trebate podijeliti 2x 2 + bx - 7 = 0. Ovdje je a = 2, b = 5, c = - 7. Kasnije,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali je poznat. Značiti,

Više smo označili, što nije racionalan broj.
Matematičari takve brojeve nazivaju iracionalnim. Iracionalno - bilo da je to broj uma, kao da se kvadratni korijen ne pojavljuje. Na primjer, i tako dalje. - Iracionalni brojevi. U 5 referata govorit ćemo o racionalnim i iracionalnim brojevima. Racionalni i iracionalni brojevi odjednom postaju bezlični realni brojevi, tj. bezlični brojevi, s kojima možemo operirati u stvarnom životu (npr
vijesti). Na primjer, sve su to valjani brojevi.
Isto tako, kako smo već označili pojam kvadratnog korijena, možemo dodijeliti pojam kubnog korijena: kubni korijen nepoznatog broja a naziva se meni nepoznati broj, čiji je kub broj. Inače, očito, ljubomora znači da b 3 \u003d a.

U kolegiju algebre 11. razreda sve je moguće.

Pojam kvadratnog korijena nepoznatog broja

Pogledajmo poravnanje x2 = 4. Rastavimo ga grafički. Za koga u jednom sustavu koordinate zbuduêmo parabolu y \u003d x2 i ravnu liniju y \u003d 4 (slika 74). Smrad je toniran u dvije točke A (- 2; 4) i B (2; 4). Točke apscisa A i B jednake su korijenima x2 = 4. Također, x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi tako da je, znamo korijen jednak x2 = 9 (div. sl. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

A sada pokušajmo rozv'yazati jednako x2 = 5; geometrijske ilustracije prikazane su na sl. 75. Jasno je da postoje dva korijena x1 i x2, štoviše, broj brojeva, kao i u dva nagiba naprijed, jednak je za apsolutnu vrijednost i duljinu iza znaka (x1 - - x2) dadilja ako biste mogli lako ih pronaći (jer bi ih mogao znati a da ne škrtariš s grafovima), ako je x2 = 5 desno, nije tako: ne možemo prikazati značenje korijena iza naslonjača, možemo ga samo staviti u jednu korijen tri točke lijevo od točke - 2, a druga - tri desno od točke 2.

Ale, čeka nas neprihvatljivo iznenađenje. Čini se, ne postoji takav razlomci DIV_ADBLOCK32">

Prihvatljivo je da takav kratkotrajni dríb, za koji pobjeđuje staloženost https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, tj. m2 = 5n2. Preostala ljubomora to znači prirodni broj m2 se može bez viška podijeliti s 5 (privatna širina ima n2).

Kasnije broj m2 završava brojem 5, brojem 0. Ali prirodni broj m završava brojem 5, brojem 0, tj. broj m se dijeli s 5 bez viška. Inače, čini se da ako je broj m podijeljen s 5, tada je privatni broj prirodan broj k. Ze znači da je m = 5k.

A sada se čudite:

Zamislite 5k zam_st m za pershu staloženost:

(5k) 2 = 5n2, tada je 25k2 = 5n2 ili n2 = 5k2.

Preostala ljubomora znači da broj. 5n2 je podijeljeno sa 5 bez viška. Rozmirkovuchi, kao i više, dolazimo do visnovke o onima da je broj n djeljiv s 5 bez višak.

Također, m je podijeljeno s 5, n je podijeljeno s 5, kasnije, dríb može biti kratak (sa 5). I tada smo dopustili da dribling nije bio kratak. Zašto je desno? Zašto, s pravom, mirkuyuchi, došli smo do točke apsurda, ili, kako matematičari često kažu, oduzeli smo brisanje"! ).

Ako kao rezultat zakonskog mirkuvana dođemo do supertočnosti uma, onda smo oteti u brk: krivo je naše priznanje, dakle, u pravu su bili oni koje je trebalo dovesti do njega.

Oče, lebdi samo u tvom redu racionalni brojevi(A još uvijek ne znamo druge brojeve), jednako je x2 = 5 i ne možemo ga pobijediti.

Nakon što su unaprijed proučili sličnu situaciju, matematičari su shvatili da je potrebno pronaći način da opišem svoj matematički jezik. Uveli su naizgled novi simbol koji su nazvali kvadratni korijen, a za dodatni simbol korijena jednakog x2 \u003d 5 zapisali su ga ovako: ). Sada, iz bilo kojeg razloga, x2 = a, de a > Oh, možete znati korijen - to su brojevi https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} nije zdrava i nije suha.
Znači da se ne radi o racionalnom broju, već o broju nove prirode, o takvim brojevima ćemo kasnije posebno govoriti, podijeljen na 5.
Za sada je manje značajan, ali novi broj je između brojeva 2 i 3, krhotine 22 = 4, i manje, niže 5; Z2 \u003d 9, i više niže od 5. Možete odrediti:

Još jednom, poštovanje: tablice imaju manje pozitivnih brojeva, krhotine nisu dodijeljene označenom kvadratnom korijenu. Ako je npr. = 25 - jednakost je točna, prijeđite na sljedeći unos u zapis kvadratnog korijena (napišite što). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- Pozitivan broj znači https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Razumnije je bilo da je veći, niži 4, ale, manji, niži 5, 42 = 16 (manji, niži 17), a 52 = 25 (manje veći, niži 17).
Osim toga, najbliža vrijednost broja može se znati za pomoć mikrokalkulator kako osvetiti operaciju kvadratnog korijena; vrijednost je skuplja 4.123.

Broj, lajkajte i pogledajte broj nije racionalan.
e) Nije moguće izračunati, ne može se koristiti kvadratni korijen negativnog broja; zapis popuštanja osjetilima. Naredba je pogrešno predložena.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} krhotine 75 > 0 í 752 = 5625.

U najjednostavnijim slučajevima, vrijednosti kvadratnog korijena broje se u višekratnicima:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Riješenje.
Prva razina. Nije važno ako pogodite da vidpovid viide ima 50 íz "repa". Zapravo, 502 = 2500, a 602 = 3600, a broj 2809 mijenja se između brojeva 2500 i 3600.

Bacivši još jedan pogled na znak... I idemo!

Počnimo od jednostavnog:

Khvilinka. tse, a tse znači da to možemo napisati ovako:

Osvojen? Os vašeg napredovanja:

Korijen brojeva, što se dogodilo, zapravo se ne ističe? Nemojte bída - os vas tako primijeniti:

A koliko množitelja nisu dva, nego više? Isti! Formula za množenje korijena funkcionira s bilo kojim brojem množitelja:

Sada ću to učiniti sam:

Prijedlozi: Dobro napravljeno! Čekaj, sve je lako, znaš tablicu množenja!

Rozpodíl koreniv

Mnogo smo se ukorijenili, sad prijeđimo na vlast.

Pretpostavljam da formula za zloglasne izgleda ovako:

Što to znači korijen iz dijela privatnog korijena.

Pa, pogledajmo guzice:

Os i sva znanost. A os je takav primjer:

Nije sve tako glatko, kao prvi kundak, ale, kao bachish, nema ničeg savijanja.

I što, kako se napiti takav viraz:

Potrebno je jednostavno izravno zastosuvati formulu na vratima:

A os je takav primjer:

Možete li vidjeti takav viraz:

Sve isto, samo ovdje trebate pogoditi kako pomaknuti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i okrenite se!). Nagađanje? Sada vidimo!

Zaneseni, što ste s nama, naletjeli smo, sada ćemo pokušati korijeniti svijet.

Zvedennya u stopalu

I što ćete učiniti, kao kvadratni korijen na kvadrat? Jednostavno je, pogađamo smisao kvadratnog korijena broja - cijeli broj, kvadratni korijen neke vrste.

Pa od, kako možemo stvoriti broj, kvadratni korijen određenog broja, kvadrat, što se onda uzima?

Pa, super je!

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A što će biti korijen drugog svijeta? Ništa strašno!

Potražite tu logiku i sjetite se moći i sposobnosti korak po korak.

Pročitajte teoriju na temu "" i bit će vam krajnje jasno.

Os, na primjer, takav viraz:

Čija će zadnjica imati muške noge, ali što će vino biti nespareno? Pa, znam, zaustavite razinu snage i rasporedite sve u množitelje:

Od ove točke sve je jasno, ali kako osvojiti korijen broja u svijetu? Osovina, na primjer:

Lako se pije, zar ne? A što je s više od dva koraka? Dorimuëmosya íêí̈ zh logika, vikoristuyuyuchi korake snage:

Pa, kako su svi shvatili? Primijenite ove iste stihove sami:

Os i vídpovídí:

Uveden znak korijena pid

Zašto nismo naučili kako raditi s korijenima! Trebalo je samo malo vremena za pokušaj unosa broja korijena!

Previše je lako!

Pretpostavimo da imamo broj

Što možemo učiniti s njim? Pa, zvichayno, zatvorite trojstvo ispod korijena, prisjećajući se u isto vrijeme da je triplet kvadratni korijen!

Što nam još treba? Tako je jednostavno proširiti naše mogućnosti savršenim primjenama:

Kako je ta snaga korijena? Je li to doista pitanje života? Na mene, tako je! Tilki Imajte na umu da pozitivnom broju možemo dodati samo znak kvadratnog korijena.

Viriš neovisno o osi stražnjice -
Požurili? Začudimo se, što vidiš u sebi:

Dobro napravljeno! Imate dovoljno daleko da unesete broj píd predznak korijena! Prijeđimo na nešto što nije manje važno - pogledajmo kako ispraviti brojeve da se osvetimo kvadratnom korijenu!

Popravak korijena

Kako bi bilo da naučimo odgonetnuti brojeve, kako osvetiti kvadratni korijen?

Nekako jednostavno. Često, kod velikih i trivijalnih viraza, koji govore u snu, uzimamo iracionalne dokaze (sjetite se, što je to tako? Danas smo već pričali o vama!)

Otrimani vídpovídí moramo raširiti na koordinatnoj liniji, na primjer, kako bismo odredili koji je interval prikladan za rozvyazuvannya rivnyannya. Prva osovina ovdje krivi zakovik: nema kalkulatora u uporabi, ali bez njega, kako otkriti, koji je broj veći, a koji manji? Otozh i van!

Na primjer, vyznach, što je više: chi?

Nećete odmah reći. Pa, što, brzo je podvući potenciju uvedenog broja pod znak korijena?

Samo naprijed:

Pa, očito, što je veći broj ispod znaka korijena, to je veći i sam korijen!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi čvrsto robimo visnovok, scho. I nitko nas ne može promijeniti s druge strane!

Predskazanje korijena velikih brojeva

Prije koga smo uveli množitelj pod znakom korijena, ali kako da mu zamjerim? Vi samo trebate položiti yogo na množitelje i povući one koji povlače!

Bilo je moguće piti na drugačiji način i širiti na druge množitelje:

Nije loše, zar ne? Be-yaky íz tsikh podkhodív vírniy, viríshuy poput tebe zgodno.

Raspored množitelja bit će sretan s provedbom takvih nestandardnih zadataka, poput osi lanca:

Ne lakaêmos, nego diemo! Sastavili smo kožni multiplikator ispod korijena na okremi multiplikator:

A sada pokušajte sami (bez kalkulatora! Nećete moći spavati na jogi):

Hiba tse kinets? Neka vas ne zavara pivdoroz!

Axis i sve, ne tako sve i strašno, zar ne?

Wiishlo? Bravo, u pravu si!

A sada probajte ovaj virishiti:

A kundak je mitzny lonac, pa ga nećete moći odmah uzeti, kao da ćete zakoračiti u novi. Ale nam je vino, očito, u zubima.

Pa, što kažete na organiziranje množitelja? Vrlo je poštovanje što možete dodati broj (pogađamo znakove djeljivosti):

A sada, pokušajte sami (znam, bez kalkulatora!):

Pa scho, wiyshlo? Bravo, u pravu si!

P_vedemo p_bags

Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nepoznatog broja naziva se takav nepoznati broj, kvadrat nekog drugog broja.
.
Ako jednostavno iz svega izvadimo kvadratni korijen, tada uvijek uzimamo jedan nevidljiv rezultat.
Snaga aritmetičkog korijena:
Kada je kvadratni korijen jednak, potrebno je zapamtiti da što je veći broj ispod znaka korijena, to je veći i sam korijen.

Kakav je vaš kvadratni korijen? Je li sve imalo smisla?

Pokušali smo vam objasniti bez vožnje sve što je potrebno znati u snu o kvadratnom korijenu.

Sad tvoj vrag. Napišite nam temu koja vam odgovara.

Kad te sada prepoznajem, sve je bilo tako jasno.

Pišite u komentarima i sretno na spavanju!

At tsíy statti mi zaprovadimo razumjeti korijen broja. Dyatimemo sekvencijalno: počevši od kvadratnog korijena, prijeđimo na opis kubnog korijena, nakon čega možemo razumjeti korijen, označavajući korijen n-tog stupnja. Istodobno, uvodi naziv, znak, predlaže primjenu korijena i daje potrebna objašnjenja za taj komentar.

Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Za razumijevanje značenja korijena broja, i kvadratnog korijena zokrema potrebno je majci. U ovom trenutku mi često zishtovhuvatimosya s drugim korakom broja - kvadratom broja.

Pochnemo s nazivnik kvadratnog korijena.

Ugovoreni sastanak

Kvadratni korijen iz a- Tse broj, kvadrat nekog starog a.

Schob dovesti primijeniti kvadratni korijen, Uzmimo neke brojeve, na primjer, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Zatim, za zadane zadatke, broj 5 je kvadratni korijen iz broja 25, brojevi −0,3 i 0,3 su kvadratni korijen iz 0,09, a 0 je kvadratni korijen iz nule.

Označite, za bilo koji broj a ísnuê, kvadrat koho dorivnuê a. I za sebe, za bilo koji negativni broj a, nemojte koristiti isti decimalni broj b, kvadrat bilo kojeg drugog broja a. Istina, jednakost a=b 2 je nemoguća za bilo koje negativno a, krhotine b 2 - ne znam broj ni za jedno b. na takav način, na neosobnim realnim brojevima nema kvadratnog korijena negativnog broja. Drugim riječima, na bezličnim realnim brojevima kvadratni korijen negativnog broja ne ističe se i nema smisla.

Zvuči kao logična hrana: “A koji je kvadratni korijen iz a za to ima li puno a”? Vidpovid - dakle. Utemeljena na ovoj činjenici, važna je konstruktivna metoda kako bi se osvojila važnost vrijednosti kvadratnog korijena.

Zatim iznesite logičniji razlog: "Koji je broj svih kvadratnih korijena zadanog beskonačnog broja a - jedan, dva, tri, još više"? Os v_dpov_d na novom: ako je a jednako nuli, tada je jedan kvadratni korijen iz nule nula; na primjer, a je pozitivan broj, broj kvadratnih korijena iz broja a jednak je dva, štoviše, korijen je ê. Obguruntuemo tse.

Zbogom a=0 . S druge strane, kvadratnim korijenom iz nule pokazuje se da je nula istinita. Razlog očite ravnomjernosti 0 2 =0 0=0 je oznaka kvadratnog korijena.

Sada možemo reći da je 0 jedan kvadratni korijen iz nule. Ubrzavanje metodom viđenja neprihvatljivog. Pretpostavimo da je poznato da je broj b isti broj kao nula, ali je kvadratni korijen iz nule. Todi maê vykonuvatisya umova b 2 =0, što je nemoguće, krhotine za be-yakom vídminnym víd nula b vrijednost virazu b 2 ê pozitivno. Mi didshli super-oštrinu. Potrebno je dovesti da je 0 jedan kvadratni korijen iz nule.

Prelazimo na vipadkív, ako je a pozitivan broj. Još su nam rekli da morate upotrijebiti kvadratni korijen bilo kojeg broja, neka je kvadratni korijen a jednak broju b. Prihvatljivo je da je ê broj c, ali također je ê kvadratni korijen iz a. Tada je kvadratni korijen pravednosti b 2 \u003d a í c 2 \u003d a, njihovi sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, ali krhotine b 2 − c 2 = (b− c) ( b + c ) , tada je (b-c) · (b + c) = 0 . Ljubomora se oduzima od snage potencije díy íz díysnimi brojevima možda samo onda, ako je b-c=0 ili b+c=0. U ovom su redoslijedu brojevi b i c jednaki ili protivni.

Ako dopustimo da broj d, s još jednim kvadratnim korijenom u skladištu a, onda zrcaljenjem, sličnim onima koje smo već ukazali, treba dovesti da je d bliže broju b ili broju c . Također, broj kvadratnih korijena iz pozitivnog broja jednak je dva, štoviše, kvadratni korijen su suprotni brojevi.

Za učinkovitost rada s kvadratnim korijenima, negativni korijen je "pojačan" kao pozitivan. Z tíêyu metoda koju treba uvesti izvođenje aritmetičkog kvadratnog korijena.

Ugovoreni sastanak

Aritmetički kvadratni korijen negativnog broja a- Tse nevíd'êmne broj, čiji kvadrat dovnyuê a.

Za aritmetički kvadratni korijen skladišta a uzima se vrijednost. Znak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena. Yogo se naziva i znakom radikalnosti. Ovo može djelomično biti malo poput "korijena", a također i "radikala", što znači isti objekt.

Naziva se broj pod znakom aritmetičkog kvadratnog korijena korijenski broj, a viraz pod znakom korijena - podkorijenom virazom, u njihovom pojmu "podkorijenski broj" često se zamjenjuje s "podkorijenski broj viraz". Na primjer, u natuknici je broj 151 glavni korijenski broj, au natuknici viraz a korijen je viraz.

Prilikom čitanja često se izostavlja riječ "aritmetika", na primjer, zapis se čita kao "kvadratni korijen od sedam dvadeset devet centi". Riječ "aritmetika" koristi se samo jednom, ako želite biti posebno očigledni, možete ići oko pozitivnog kvadratnog korijena broja.

U svjetlu uvedene vrijednosti, aritmetički kvadratni korijen aritmetičkog kvadratnog korijena ima istu vrijednost kao bilo koji nenegativan broj a.

Kvadratni korijen pozitivnog broja a iza znaka dopune aritmetičkog kvadratnog korijena piše se kao i. Na primjer, kvadratni korijen broja 13 ê i. Aritmetički kvadratni korijen iz nule jednak je nuli, tada je . Za negativne brojeve a, unosi mi nisu predmet senzacije sve do događaja kompleksni brojevi. Na primjer, kako bi se oslobodio osjećaj izražavanja koji.

Za podbage od značaja kvadratnog korijena dolazi do izražaja snaga kvadratnog korijena, što je najvjerojatnije praktično.

Na kraju ove točke, vrijedi poštovati da je kvadratni korijen broja a ê rješenja oblika x 2 \u003d bolja promjena x.

Kubični korijen broja

Definicija kubnog korijena skladište a daje se na isti način kao kvadratni korijen. Temelji se samo na razumijevanju kuba broja, ali ne i kvadrata.

Ugovoreni sastanak

Kubni korijen broja a naziva se broj čiji je kub jednak a.

Plovna primijeniti kubični korijen. Za koji broj brojeva, na primjer, 7 , 0 , −2/3 znam njihovu y kocku: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Dakle, na temelju oznake kubnog korijena, možete potvrditi da je broj 7 kubni korijen od 343, 0 je kubni korijen od nule, a −2/3 je kubni korijen od −8/27.

Možete pokazati da kubni korijen skladišta a, na kvadratni korijen, zavzhdi ísnuê, štoviše, za nenegativan a , ali za bilo koji realni broj a. Za koje možete osvojiti na isti način, o čemu smo pogađali kvadratni korijen.

Štoviše, više ne postoji niti jedan kubni korijen za dati broj a. Donosimo ostatak čvrstoće. U ovom kontekstu možemo vidjeti tri vipada: a je pozitivan broj, a=0 i a je negativan broj.

Lako je pokazati da ako je kubni korijen od a pozitivan, ne može biti niti negativan broj niti nula. Istina, neka je b ê kubični korijen za a, tada za isto možemo napisati jednakost b 3 \u003d a. Očigledno, pouzdanost može biti točna za negativne b í za b=0, skokovi za negativne b 3 =b·b očito će biti negativan broj hi nula. Također, kubični korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj.

Sada je prihvatljivo da broj b ima jedan kubični korijen više od broja a, što znači jedan c. Tada je c 3 = a. Kasnije je b 3 −c 3 =a−a=0 , ali b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(formula za kratko množenje razlika kocki), zvijezde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Otrimanova ljubomora moguća je samo ako je b−c=0 ili b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve jednakosti je moguće b=c, a drugog rješenja nema, jer je lijevi dio pozitivan broj za bilo koje pozitivne brojeve b í c kao zbroj tri pozitivna zbrojka b 2 , b c í c 2 . Cim je donio jedinicu kubnog korijena pozitivnog broja a.

Kada je a=0, kubni korijen skladišta a ê je veći od broja nula. Jasno je da ako pretpostavite da se koristi broj b, ako vidite nulu kao kubni korijen iz nule, onda je kriva jednakost b 3 \u003d 0, jer je to moguće samo s b \u003d 0.

Za negativno a, možete inducirati zrcaljenje, slično pozitivnom a. Prvo, pokazuje se da kubni korijen negativnog broja ne može biti jednak pozitivnom broju, niti nuli. Na drugi način, pretpostavimo da postoji još jedan kubični korijen iz negativnog broja i pokazano je da su vina jezika spojena s prvim.

Otzzhe, zavzhd ísnuíê koríních s bilo kojeg decimalnog broja a, štoviše, jedan.

Damo oznaka aritmetičkog kubnog korijena.

Ugovoreni sastanak

Aritmetički kubni korijen beskonačnog broja a zove se broj meni nepoznat, kocka nekog starog a.

Aritmetički kubni korijen nepoznatog broja a označava se znakom koji se naziva predznak aritmetičkog kubnog korijena, a broj 3 u ovom zapisu naziva se indikator korijena. Broj pod znakom korijena - tse korijenski broj, viraz pod znakom korijena - tse potkorijenski viraz.

Ako želite da aritmetičkom kubnom korijenu budu dodijeljeni samo negativni brojevi a, možete i ručno osvojiti unose, za koje znak aritmetičkog kubnog korijena mijenja negativne brojeve. Sažmimo to ovako: , de a je pozitivan broj. Na primjer, .

O moći kubičnog korijena govorit ćemo u glavnom članku o moći korijena.

Izračun vrijednosti kubnog korijena naziva se izračun kubnog korijena, razlog je preuzet iz članka heroja korijena: načini, primjena, rješenja.

Na kraju ovog paragrafa, recimo da je kubni korijen skladišta a ê rješenja oblika x 3 =a.

Korijen n-tog stupnja, aritmetički korijen stupnja n

Lako je razumjeti korijen broja - predstavljamo oznaka korijena n-tog stupnja za n.

Ugovoreni sastanak

Korijen n-tog stupnja broja a- Tse broj, n-ti korak onoga što je skuplje a.

Iz kojeg se imenovanja shvatilo da je korijen prve faze broja a broj a, krhotine iste faze s prirodnim pokazateljem uzete su 1 \u003d a.

Pobliže smo pogledali nagibe korijena n-tog stupnja na n=2 i n=3 – kvadratni i kubni korijen. Dakle, kvadratni korijen je korijen druge razine, a kubni korijen je korijen treće razine. Da biste izdvojili korijene n-tog koraka s n=4, 5, 6, ... njih ručno podijelite u dvije skupine: prva skupina je korijen parnih koraka (tobto, s n=4, 6, 8, ...), druga grupa je korijen neuparenih koraka (tobto, na n=5, 7, 9, …). Stoga je korijen parnih koraka sličan kvadratnom korijenu, a korijen nesparenih koraka je kubičan. Razvrstajmo ih s njima.

Pogledajmo korijene, čiji su koraci dečki broja 4, 6, 8, ... Kao što smo već rekli, smrad je sličan kvadratnom korijenu broja a. To je korijen bilo kojeg koraka u paru od broja a ísnuê samo za malo a. Štoviše, ako je a=0, tada je korijen a jednostruk i jednak nuli, a ako je a>0, tada postoje dva korijena parnog koraka iz broja a, štoviše, oni su suprotni brojevi.

Obguruntuemo ostaje stvrdnuto. Neka je b korijen uparenog stupnja (što znači da je 2m, de m je prirodan broj) iz broja a. Pretpostavimo da je broj c još jedan korijen koraka 2·m u skladištu a. Tada je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Poznat nam je oblik b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) zatim (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z íêí̈ ííí̈ íí̈ víplivaêê, scho b−c=0 , ili b+c=0 , ili b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prva dva jednakosti znače da su brojevi b i c jednaki ili da su b i c protivnici. A ostatak jednakosti je pravedan samo za b = c = 0, krhotine lijevog dijela lijevog dijela su virazirane, jer je nenegativan za bilo koje b i kao zbroj nenegativnih brojeva.

Što se tiče korijena n-tog stupnja s neuparenim n, tada je smrad sličan kubičnom korijenu. Dakle, korijen bilo kojeg neuparenog stupnja iz broja a koristi se za bilo koji decimalni broj a, štoviše, za dati broj a vín ê êdine.

Jedinica korijena nesparenog koraka 2 m+1 u skladištu a donosi se analogijom s dokazom o jedinici kubnog korijena iz a. Samo je ovdje zamjenik ljubomore a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) pobjedonosnost oblika b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz u ostatku luka može se prepisati kao b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primjer, pri m=2 možda b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Ako su a i b uvredljivi pozitivni, a negativni negativni pozitivni brojevi, tada je viraz b 2 +c 2 +b·c, koji je u okrilju najviše razine ulaganja, pozitivan kao zbroj pozitivnih brojeva. Sada, stršeći uzastopno do viraza na lukovima prednjih koraka ulaganja, prelazimo, da je smrad također pozitivan kao zbroj pozitivnih brojeva. Za rezultat je potrebno da vrijedi jednakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 Moguće je samo jednom, ako je b−c=0, tada ako je broj b jednak broju c.

Došlo je vrijeme za istraživanje korijena n-te razine. Za koga se daje oznaka aritmetičkog korijena n-tog stupnja.

Ugovoreni sastanak

Aritmetički korijen n-tog stupnja beskonačnog broja a broj se zove meni nepoznat, n-ti korak neke vrste a.