zonë paralelogrami, nxitur nga vektorët llogaritur si dobutok dozhin tsikh vectorіv në kutën e sinusit ndërmjet tyre. Nëse keni nevojë për më shumë se koordinata vektoriale, për llogaritjen është e nevojshme të përdorni metoda koordinative, zokrema dhe përcaktimi midis vektorëve.

ju duhet

• - Koncepti i vektorit;
• - dominimi i vektorëve;
• - Koordinatat karteziane;
• - Funksionet trigonometrike.

Udhëzim

• Nëse i njihni vektorët dhe preni ndërmjet tyre, atëherë në mënyrë që të njihni zonën paralelogrami, nxitur nga vektorët, gjeni më shumë module të moduleve їх (vektorë të dyfishtë), në sinusin e prerjes ndërmjet tyre S=│a│ │ b│ sin(α).
• Si dhe vektorët dhe detyrat në sistemin e koordinatave karteziane, për të njohur sipërfaqen paralelogrami, pobudovanogo mbi to, ndiqni këtë diї:
• Gjeni koordinatat e vektorëve, edhe pse era e keqe nuk jepet menjëherë, duke zgjedhur koordinatat përkatëse të skajeve të vektorëve, koordinatat e kallirit. Për shembull, nëse koordinatat e pikës kalli të vektorit (1;-3;2) dhe pikës fundore (2;-4;-5), atëherë koordinatat e vektorit do të jenë (2-1;- 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Jepni koordinatat e vektorit a(x1; y1; z1), vektorit b (x2; y2; z2).
• Zbuloni për vektorin e lëkurës. Merrni lëkurën nga koordinatat e vektorit y katror, ​​gjeni shumën x1²+y1²+z1². Nga rezultati, merrni rrënjën katrore. Për një vektor tjetër, përdorni të njëjtën procedurë. Në këtë renditje, shihni │a│і│ b│.
• Gjeni një rikthim skalar të vektorit. Për të cilat, shumëzoni їх vidpovіdnі koordinatat dhe mblidhni, krijoni │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Përcaktoni kosinusin e prerjes ndërmjet tyre për të cilin vektori shtesë skalar_v, i cili wiyshov në pikën 3 duhet të ndahet në vektorin shtesë vektori_v, për të cilin buli u shlyen në artikullin 2 (Cos(α)= │ab│/(│ a│ │ b│)).
• Sinusi i kutit të hequr do të jetë i barabartë me rrënjën katrore të diferencës së numrit 1, i të katrorit të kosinusit të të njëjtit kut, të vizatuar në paragrafin 4 (1-Cos² (α)).
• Rinovoni zonën paralelogrami, nxitur nga vektorët Duke ditur të ardhurat shtesë të dozhinëve të tyre, tarifat në paragrafin 2 dhe shumëzoni rezultatin me numrin që erdhi pas rozrakhunkiv në paragrafin 5.
• Po kështu, koordinatat e vektorit në caktimin në plan, kur zgjerohet, thjesht shfaqet koordinata z. Tsey rozrahunok є virase numerike e vektorit dobutku dy vector_v.

Zona e paralelogramit, bazuar në vektorë, lejon dobutku dozhin tsikh vectorіv në kut kuta, të cilat shtrihen midis tyre.

Mirë, nëse për mendjet e dhëna dozhini tsikh vectorіv. Sidoqoftë, mund të bëhet në atë mënyrë që formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në vektorë të mund të merret vetëm pasi të jenë vizatuar koordinatat.
Është një bekim, dhe për mendjet ka shumë vektorë, është e nevojshme thjesht të plotësoni formulën, siç e kemi analizuar tashmë në detaje në artikuj. Zona për shtimin e moduleve shtesë për prerjen e sinusit midis tyre:

Le të hedhim një vështrim në prapanicën e rozrahunka të zonës së paralelogramit, bazuar në vektorë.

Menaxheri: paralelogrami i impulseve në vektorët ta . Njihni zonën, yakscho, dhe preni midis tyre 30 °.
Vektori Virazimo përmes vlerave їх:

Ndoshta, ju keni një dietë winiclo - yjet erdhën nga zero? Varto merr me mend se çfarë funksionon për vektorët dhe për ta . pra për të sjellë respekt, se si rezultat do të marrim viraz, pastaj do të konvertohet në. Tani po kryejmë shumën e shumave të parave:

Le t'i drejtohemi problemit, nëse nuk jepen më shumë vektorë për trurin. Nëse paralelogrami juaj shtrihet pranë sistemit të koordinatave karteziane, atëherë është e nevojshme ta bëni këtë.

Rozrahunok i dozhinit të anëve të figurës, të dhëna nga koordinatat

Për kalli, ne i dimë koordinatat e vektorëve dhe mund të shohim koordinatat e kallirit dhe koordinatat e kallirit. Është e mundur të koordinohet vektori a (x1; y1; z1) dhe vektori b (x3; y3; z3).
Tani e dimë gjatësinë e vektorit të lëkurës. Për këtë koordinatë të lëkurës, është e nevojshme të vendoset në katror y, pastaj të mblidhen rezultatet e zbritura nga numri fundor për të gjetur rrënjën. Pas vektorëve tanë do të vijnë trëndafila:


Tani është e nevojshme të dimë realitetin skalar të vektorëve tanë. Për secilën prej tyre, koordinatat shumëzohen dhe shtohen.

Ne mund të dimë kosinusin e coota-s që shtrihet midis tyre .
Tani mund ta dimë mirë kut sinusin:
Tani kemi të gjitha sasitë e nevojshme dhe mund të njohim lehtësisht sipërfaqen e paralelogramit, bazuar në vektorët për formulën tashmë të njohur.

Në këtë nivel, ne mund të shohim dy operacione të tjera me vektorë: kabinë vektoriale vector_vі Zmіshany tvіr vectorіv (Vіdrazu possilannya, i cili ka nevojë për atë gjë). Nuk është asgjë e tmerrshme, kështu që ndonjëherë është vetëm për lumturi totale, krim vektor krijues skalar, Nevojë gjithnjë e më shumë. Ky është boshti vektor i varësisë ndaj drogës. Mund t'i shtohet armikut, kështu që ne të ngjitemi në rrjetën e gjeometrisë analitike. Nuk është kështu. Në degën e matematikanëve, u gjuajt pak dru zjarri, është më mirë të rrish me Pinocchio. Në të vërtetë, materiali është më i gjerë dhe më i thjeshtë - vështirë se më i palosshëm, më i ulët se i njëjti skalar tvir, do të ketë më pak detyra tipike. Golovne në gjeometrinë analitike, si shumë njerëz që ndryshojnë mendje dhe tashmë janë ngatërruar, NUK KANE PARTY NË HIVISLE. Përsëriteni si një magji dhe do të jeni të lumtur =)

Si vektorë dhe vibrojnë këtu larg, si vezullime në horizont, mos u bëj, fillo nga mësimi Vektorë për çajnikët, për të mësuar ose për të fituar njohuri bazë për vektorët. Lexuesit mund të mësojnë më shumë rreth këtij informacioni, jam përpjekur të zgjedh koleksionin më të plotë të aplikacioneve, të cilat shpesh përdoren nga robotë praktikë

Çfarë do t'ju bëjë të lumtur? Nëse jam i vogël, atëherë kam mësuar të bëj xhonglimin me dy dhe t'i mbështjell tre në çanta. Ishte rrëqethëse. Në të njëjtën kohë, mashtrimi nuk do të ndodhë menjëherë, mund të shihen copat e syve tanë vetëm vektorët e hapësirës, dhe vektorët e sheshtë nga dy koordinata janë lënë pas. Pse? Të dhëna të tilla kanë lindur tashmë - vektori dhe zmіshany tvіr vektorіv është caktuar për t'u praktikuar në hapësirën trivimir. Tashmë më e lehtë!

Në këtë operacion, ashtu si në një krijim skalar, merrni pjesë dy vektorë. Le të ketë letra të padurueshme.

dija vetë të emërohet le të vijmë në rang: . Іsnuyut dhe variant іnshі, por unë do të përdor tingullin për të përcaktuar një vektor tvir në vetvete, pra, në krahët katrorë me një kryq.

Unë menjëherë ushqim: yakscho in krijimi skalar i vektorëve merrni fatin e dy vektorëve, dhe këtu gjithashtu shumëzoni dy vektorë, pastaj Qfare eshte dallimi? Dallimi i qartë, së pari për gjithçka, si REZULTATE:

Rezultati i krijimit të vektorit skalar është NUMRI:

VEKTOR: , atëherë shumëzohet vektori dhe merret sërish vektori. Klubi i mbyllur. Vlasne, tingulli është emri i operacionit. Në literaturë të ndryshme parësore, kuptimi i së njëjtës mund të ndryshohet, unë zgjedh shkronjën .

Përcaktimi i krijimit të vektorit

Do të kthehem me një foto, pastaj komente.

Emërimi: Vektori krijues jo-kolineare vektoriv, marrë nga urdhri i dhënë, i quajtur VEKTOR, dozhina numerikisht zona më e mirë e paralelogramit frymëzuar nga këta vektorë; vektoriale vektor ortogonal, dhe drejtime në mënyrë që baza të ketë orientimin e duhur:

Takimin e zgjedhim me brushat, këtu ka shumë cikadë!

Gjithashtu, mund të shihni momentet e mëposhtme:

1) Vektorët e jashtëm, të shënuar me shigjeta të kuqe, për të caktuar jo kolinear. Vipadok kolіnearnyh vektorіv bude rozglyady vіznіshe para lumit.

2) Merrni vektorë në një rend të përcaktuar rreptësisht: – "a" shumëzuar me "be", dhe chi nuk është "be" në "a". Rezultati i shumëzimit të vektorëveє VECTOR, që do të thotë ngjyrë blu. Si vektor dhe shumëzojmë në rend të kundërt, marrim të barabartë për gjatësinë dhe zgjatjen për vektorin e drejtpërdrejtë (ngjyrë të kuqërremtë). Tobto xhelozi e ndershme .

3) Tani dallohet nga krijimi gjeometrik i vektorit zm_st. Kjo është një pikë e rëndësishme! Gjatësia e vektorit blu (dhe, gjithashtu, i i vektorit të kuq) është numerikisht më e madhe se sipërfaqja e paralelogramit, bazuar në vektorët. Në të voglin është një paralelogram i hijezimit me ngjyrë të zezë.

shënim : kolltuk є skematik, і, natyrisht, vlera nominale e krijimit të vektorit nuk është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit.

Ne supozojmë një nga formulat gjeometrike: sipërfaqja e paralelogramit është më e shtrenjtë për të shtuar shumën e anëve në sinusin e prerjes midis tyre. Prandaj, sipas asaj që u tha më lart, formula për llogaritjen e DOVZHINI-t të krijimit të vektorit është e vlefshme:

E ritheksoj se formulat kanë për DOWN-in e vektorit, dhe jo për vetë vektorin. Çfarë zmist praktik? Dhe kuptimi është i tillë që në problemet e gjeometrisë analitike zona e një paralelogrami njihet shpesh përmes konceptit të krijimit të vektorit:

Le të marrim një mik një formulë të rëndësishme. Diagonalja e paralelogramit (vija me pika e zezë) e ndan yogon në dy triko të barabarta. Më vonë, zona e mashtruesit, e frymëzuar nga vektorët (hije e zezë), mund të njihet me formulën:

4) Fakti jo më pak i rëndësishëm është se vektori është ortogonal me vektorët, që . Kuptohet se vektori i drejtimit (shigjeta e kuqe) është gjithashtu ortogonal me vektorët e jashtëm.

5) Vektori i drejtimit në mënyrë që bazë mund ligji orientim. Në mësimin rreth shkoni në një bazë të re Unë raportoj përsëri për orientimi në plan dhe menjëherë do të kuptojmë se çfarë lloj orientimi në hapësirë. Unë do të shpjegoj në gishtat tuaj dora e djathtë. Mendoni për këtë gisht që bie në sy me vektor i Gishti i mesem me një vektor. Gishti i unazës dhe gishti i vogël shtypni deri në luginë. Si rezultat gishtin e madh- Vector tvir do të mrekullohet përpjetë. Çmimi dhe baza e orientimit djathtas (në një shkallë të vogël vetë). Tani mbani mend vektorët ( gishtat shprehës dhe të mesëm) nga duart, si rezultat, gishti i madh do të ndizet dhe vektori tvir tashmë do të lëvizë poshtë. Kjo është gjithashtu një bazë e orientimit drejt së drejtës. Ndoshta, ju keni një sy të ushqimit: çfarë lloj baze mund të kem një orientim majtas? "Ftoni" të njëjtat gishta dora e majtë vektorët , dhe hiqni bazën e majtë dhe orientimin majtas të hapësirës (në rastin tim, gishti i madh shtrihet në vijën e drejtë të vektorit të poshtëm). Në mënyrë figurative, me sa duket, bazat "përdredhin" ose orientojnë hapësirën në anët e ndryshme. Dhe nëse nuk e kuptojmë, le të mendojmë për të në mënyrë abstrakte - kështu, për shembull, orientimi i hapësirës po ndryshon pasqyrën zvichaynisinke, dhe është si "të shtrish objektin nga pasqyra", atëherë yogo nuk mund të futet në "origjinali" me "origjinalin" Para fjalimit, vendosni tre gishtat në pasqyrë dhe analizoni përshtypjen;-)

... është ende mirë, për çfarë dini tani orientimi djathtas dhe majtas bazat, biseda më e frikshme e pedagogëve të tillë për ndryshimin e orientimit =)

Vektorë tvir vektorë kolinearë

Mësohet se takimi është çmontuar, nuk ka pasur më sqarime se çfarë duhet, nëse vektorët janë kolinear. Duke qenë se vektorët janë kolinearë, ata mund të ndahen në një vijë të drejtë dhe paralelogrami ynë gjithashtu mund të "palohet" në një vijë të drejtë. Një zonë e tillë, siç duket të jenë matematikanët, virogjene Paralelogrami është i barabartë me zero. Formulat Tse w vyplivaє i z - sinusi i zeros ose 180 gradë në zero, dhe për rrjedhojë, katrori i zeros

Në një gradë të tillë, yakscho, atëherë . Në mënyrë të rreptë, në dukje, vetë vektori dobutok është i barabartë me vektorin zero, por në praktikë shpesh është e vështirë të shkruhet, gjë që është thjesht e barabartë me zero.

Chastkovy vypadok - vektor shtesë në vetvete:

Për ndihmën e krijimit të vektorit, kolineariteti i vektorëve trivimer mund të ndryshohet dhe detyra e mesit të konflikteve të tjera mund të zgjidhet.

Për përsosjen e aplikimeve praktike, mund t'ju duhet tabelë trigonometrike, për të ditur kuptimin e sinuseve.

Epo, le të ndezim zjarrin:

prapanicë 1

a) Dijeni vlerën e krijimit të vektorit të vektorëve, pra

b) Gjeni sipërfaqen e paralelogramit bazuar në vektorë, si p.sh

Zgjidhje: Hі, tse jo një drukarska falje, vihіdnі danі në pikat e mendjes, unë navmisno zrobiv njëjtë. Kjo është arsyeja pse vendimi i projektimit është marrë me kujdes!

a) Është e nevojshme që mendja të dijë dozhina vektor (vektor krijues). Për një formulë specifike:

Vidpovid:

Nëse keni ngrënë për dovzhina, atëherë është e qartë se jeni të qetë - vetëm.

b) Është e nevojshme që mendja të dijë zonë një paralelogram i bazuar në vektorë. Zona e këtij paralelogrami është numerikisht më e avancuar se ajo vektoriale:

Vidpovid:

Ne u pyetëm për të treguar respekt, se nuk ka rrugëdalje nga televizioni vektorial figura katrore vіdpovіdno rozmіrnіst – njësi katrore.

Gjithmonë duke u mrekulluar me atë që është e nevojshme të dihet përtej mendjes, qartë provë. Mund ta bëni me shkronja, shkronja ale në mes të vikladachiv vistacha dhe me shanse të mira për t'u kthyer për punë shtesë. Megjithëse arsyetimi nuk është veçanërisht i tendosur - nëse nuk është i saktë, atëherë ka një reagim që personi nuk e kupton në fjalime të thjeshta dhe / ose nuk gërmohet në thelbin e detyrës. Në këtë moment, ju duhet të provoni kontrollin, virishuyuchi të jetë si zavdannya z matematikan dhe z іnshih subjektet tezh.

Ku shkoi shkronja e madhe "en"? Në parim, її ishte e mundur t'i përmbahesha vendimit, por me metodën e përshpejtimit të regjistrimit, nuk e vrava. Unë spodіvayus, të gjitha zrozumіlo, scho dhe tse kuptimi i një dhe të njëjtës.

Një prapanicë popullore për vizion të pavarur:

prapanicë 2

Njihni zonën e trikutnikut, të frymëzuar nga vektorët, yakscho

Formula për sipërfaqen e trikove përmes vektorit dobutok është dhënë në komentet para takimit. Zgjidhja është ndjekja e shembullit të mësimit.

Në praktikë, kokat janë në të vërtetë më të gjera, ato mund të mbështillen me triko.

Për realizimin e detyrave të tjera na duhen:

Fuqia e vektorit krijues të vektorit

Ne kemi parë tashmë drejtuesit e autoritetit të krijimit të vektorit, unë do t'i përfshij ata në listë.

Për më shumë vektorë dhe një numër më të madh, fuqitë e mëposhtme janë të vlefshme:

1) Në burime të tjera informacioni, ky artikull nuk dëgjohet nga autoritetet, por është ende i rëndësishëm në aspektin praktik. Pra le të jetë.

2) - power tezh rozіbrana more, іnоdі її emri antikomutative. Përndryshe, me sa duket, rendi i vektorit mund të jetë i rëndësishëm.

3) asociative ligjet e praktikës vektoriale. Konstanti fajëson pa probleme për krijimtarinë ndërvektor. Vërtet, çfarë duhet të bëjnë?

4) - rozpodіlnі abo shpërndarës ligjet e praktikës vektoriale. Gjithashtu nuk ka probleme për hapjen e prangave.

Si demonstrim, shihet një prapanicë e shkurtër:

prapanicë 3

Njih Yakscho

Zgjidhja: Për mendjen, është e nevojshme të dihet sfera e krijimit të vektorit. Le të shkruajmë miniaturën tonë:

(1) Vіdpovіdno për associativnyh zakonіv, duke fajësuar konstanten për krijimin e ndërvektorit.

(2) Ne fajësojmë konstanten ndër-module, moduli i tij ka një shenjë "minus". Dovzhina mund të jetë negative.

(3) Kuptova më tej.

Vidpovid:

Është koha për të shtuar dru zjarri në zjarr:

prapanicë 4

Llogaritni zonën e mashtruesit, të frymëzuar nga vektorët, si

Zgjidhje: Zona e trikutnikut njihet me formulën . Kapja është se vetë vektorët "ce" dhe "de" përfaqësohen si një shumë vektorësh. Algoritmi këtu është standard dhe mendoni se çfarë, aplikoni nr. 3 dhe 4 në mësim Scalar doboot vector_v. Për qartësi, zgjidhja ndahet në tre faza:

1) Në thurin e parë, ne mund të shohim vektorin tvir përmes vektorit tvir, në fakt, virazimo vektor përmes vektorit. Për dozhinin ende nuk ka fjalë!

(1) Përfaqësohet nga një numër vektorësh.

(2) Vikoristovuyuchi ligjet shpërndarëse, duke hapur harqet për rregullin e shumëzimit të termave të pasur.

(3) Ligji asociativ Vikoristovuyuchi, ne fajësojmë të gjitha konstantet për krijimet ndërvektoriale. Me një dosvіdі dії të vogël 2 і 3 është e mundur të rrihni një orë.

(4) Shtesat e para dhe të fundit janë të barabarta me pika zero (zero vektoriale) të fuqisë marrëse. Një shtesë tjetër ka fuqinë e antikomutativitetit të krijimit të vektorit:

(5) Sugjeroni dodanki të ngjashme.

Si rezultat, vektori u shfaq përmes vektorit, i cili është i nevojshëm për të arritur:

2) Në një fazë tjetër, ne do të dimë gjatësinë e krijimit të vektorit që na nevojitet. Tsya deya duke marrë me mend prapanicën 3:

3) Ne e dimë zonën e shukan tricutnikut:

Fazat 2-3 zgjidhjet mund të plotësohen në një rresht.

Vidpovid:

Hidhini një sy detyrës për ta bërë atë më të gjerë në robotët e kontrollit, boshti i prapanicës për një variancë të pavarur:

prapanicë 5

Njih Yakscho

Shkurtimisht, zgjidhja është ilustrimi i mësimit. Çuditërisht, sa i respektonit të pasmet e përparme ;-)

Koordinatat e vektorit tvіr vectorіv y

, dhënë në bazë ortonormale , shprehur me formulë:

Formula është me të vërtetë e thjeshtë: vektorët e koordinatave shkruhen në rreshtin e sipërm të shenjuesit, vektorët e koordinatave "vendosen" në rreshtin tjetër dhe të tretë, dhe në mënyrë strikte- Së pari koordinatat e vektorit "ve", pastaj koordinatat e vektorit "double-ve". Nëse vektorët duhet të shumëzohen në një rend të ndryshëm, atëherë rreshtat duhet të mbahen mend si hapësira:

prapanicë 10

Verifikoni, cilët janë vektorët dhe hapësira e ardhshme:
a)
b)

Zgjidhje: Rishikimi bazohet në një nga parimet e këtij mësimi: meqenëse vektorët janë kolinear, atëherë komplementi i tyre vektorial është i barabartë me zero (vektor zero): .

a) Ne e njohim vektorin TV:

Në këtë mënyrë, vektorët nuk janë kolinear.

b) Ne e njohim vektorin TV:

Vidpovid: a) jo kolinear, b)

Boshti, ndoshta, dhe i gjithë informacioni kryesor në lidhje me prodhimin vektorial të vektorëve.

Danimarka nuk do të ishte e madhe, copat e kokës, de fitimtare zmіshane tvіr vectorіv, jo e pasur. Në fakt, gjithçka merret parasysh nga emërimi, ndryshimi gjeometrik dhe disa formula pune.

Vektori i TV Zmishany:

Boshti qelben aq shume si tren dhe kontrollo, mos kontrollo, nese jane te karikuara.

Në anën e pasme të kokës sime, do ta rizbuloj atë foto:

Emërimi: Krijuar me kreativitet jokomplanare vektoriv, marrë nga urdhri i dhënë, thirri vëllimi kuboid, bazuar në këta vektorë, me shenjën “+”, pra baza është e drejtë, dhe shenja “–”, pra baza është lënë.

Ne shohim të vegjlit. Linjat e padukshme për ne kryqëzohen me një vijë me pika:

Porinaemo në takim:

2) Merrni vektorë sipas rendit të këngës, kështu që ndërrimi i vektorëve në krijim, siç e merrni me mend, nuk kalon pa gjurmë.

3) Para kësaj, si një koment për një ndryshim gjeometrik, do të them një fakt të qartë: zmіshany dobutok vector_v: . Në literaturën fillestare, dizajni mund të jetë disi i ndryshëm, dua të them se tingulli është zmishane tvir përmes, dhe rezultati llogaritet me shkronjën "ne".

Për takim zmіshany tvіr - tse obsyag paralelepiped, bazuar në vektorë (figura kryqëzohet me vektorë të kuq dhe vija me ngjyrë të zezë). Ky është numri i obyagut të vjetër të këtij paralelepipedi.

shënim : karriget janë të skicuara.

4) Të mos shqetësohemi për të kuptuar sërish orientimin e bazës dhe hapësirës. Ndjenja e pjesës fundore të atij që mund të marrë shenjën e detyrueshme është minus. Me fjalë të thjeshta zmishane tvir mund të jetë negative: .

Më poshtë është një formulë për llogaritjen e vëllimit të një paralelipipedi bazuar në vektorë.