Root da un numero sconosciuto. Radice quadrata. Teoria dettagliata con applicazioni. Radice quadrata, radice quadrata aritmetica

L'area di un appezzamento di terreno quadrato è di 81 dm2. Conosci il lato dello yoga. Supponiamo che la lunghezza del lato del quadrato sia buona X decimetri. La zona di Todi della casa è più costosa X² decimetri quadrati. Frammenti per la mente, l'area è di 81 dm², quindi X² \u003d 81. La lunghezza del lato del quadrato è un numero positivo. Un numero positivo, il cui quadrato è 81, є è il numero 9. Quando si risolvono problemi, è necessario conoscere il numero x, il cui quadrato è 81, per risolvere il problema X² \u003d 81. Il prezzo ha due radici: X 1 = 9 X 2 \u003d - 9, quindi 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. I numeri offensivi 9 і - 9 sono chiamati le radici quadrate del numero 81.

Caro, quello delle radici quadrate X= 9 є numero positivo. Yogo è chiamato la radice quadrata aritmetica del numero 81 e denota √81, tale rango √81 = 9.

La radice quadrata aritmetica di un numero UN si chiama un numero a me sconosciuto, la piazza di qualche vecchio UN.

Ad esempio, i numeri 6 i - 6 sono le radici quadrate del numero 36. Quando il numero 6 è la radice quadrata aritmetica del numero 36, i frammenti 6 non sono il numero i 62 = 36. Il numero - 6 non è la radice aritmetica.

Radice quadrata aritmetica di un numero UN significato così: √ UN.

Il segno è chiamato il segno della radice quadrata aritmetica; UN- è chiamato sub-radice viraz. Viraz √ UN Leggere così: radice quadrata aritmetica di un numero UN. Ad esempio, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In stati d'animo tranquilli, se è chiaro che c'è una radice aritmetica, sarà breve: “la radice quadrata di UN«.

Il valore della radice quadrata nel magazzino è chiamato valore della radice quadrata. Tsya diya є avvolto in un quadrato.

È possibile elevare al quadrato il quadrato se è un numero, ma per ottenere una radice quadrata è possibile non essere un numero. Ad esempio, non è possibile disegnare la radice quadrata del numero - 4. Avendo trovato una tale radice, quindi, dopo averla riconosciuta con una lettera X, Toglieremmo l'uguaglianza sbagliata x² = - 4, quindi vale il costo di un numero sconosciuto e, a destra, negativo.

Viraz √ UN maє sens tilki per un ≥ 0. Il valore della radice quadrata può essere scritto brevemente come segue: √ un ≥ 0, (√UN)² = UN. Equità (√ UN)² = UN giusto per un ≥ 0. In tale rango, per cambiare, che la radice quadrata di un numero incalcolabile UN dorivnyuє B, quindi in quella √ UN =B, è necessario riconsiderare, quali sono le seguenti due menti: b ≥ 0, B² = UN.

Radice quadrata di una frazione

Contiamo. Rispettosamente, che √25 = 5, √36 = 6, ed è reversibile che l'uguaglianza sia vittoriosa.

quindi yak i , allora l'equanimità è vera. Otzhe, .

Teorema: Yakscho UN≥ 0 e B> 0, quindi la radice della frazione è uguale alla radice del libro numerico, divisa per la radice del banner. È necessario portare che: .

Bo √ UN≥0ta √ B> 0, quindi .

Per la frazione yak_styu zvedennya nel piede e il segno della radice quadrata il teorema è stato completato. Diamo un'occhiata allo spratto delle applicazioni.

Calcola, per il teorema finito .

Un altro culo: porta cosa , Piace UN ≤ 0, B < 0. .

Un altro culo: Calcola.

.

Inversione della radice quadrata

La colpa del moltiplicatore z-pіd al segno della radice. Lascia che Viraz sia dato. Yakscho UN≥ 0 e B≥ 0, allora seguendo il teorema di creazione delle radici possiamo scrivere:

Tale trasformazione è chiamata colpa del moltiplicatore del segno z-pod della radice. Diamo un'occhiata al calcio;

Calcola a X= 2. Nessuna sostituzione centrale X= 2 alla radice del viraz per produrre un calcolo pieghevole. Il calcolo del Qi può essere perdonato, come per incolpare il segno z-pіd dei moltiplicatori di radice: . Sostituendo ora x = 2 prendiamo:.

Successivamente, con la colpa del moltiplicatore, il segno radice del segno della radice è un sottoradice del viraz nella visione della creazione, in cui vi è uno o più moltiplicatori nei quadrati dei numeri sconosciuti. Quindi elaboriamo il teorema sulla radice dall'estrazione ed estraiamo la radice dal moltiplicatore della pelle. Diamo un'occhiata al calcio: Perdono A \u003d √8 + √18 - 4√2 vini nei primi due moltiplicatori dodankіv del segno radice, otrimaєmo :. Ti incoraggio, quella gelosia giusto solo per UN≥ 0 e B≥ 0. bene UN < 0, то .

Diamo un'occhiata all'allineamento x 2 = 4. Analizziamolo graficamente. Per cgo, in un sistema di coordinate, creeremo una parabola y \u003d x 2 i linea retta y \u003d 4 (Fig. 74). La puzza è colorata in due punti A (- 2; 4) e B (2; 4). I punti di ascissa A e B sono uguali alle radici x 2 \u003d 4. Inoltre, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmіrkovuyuchi proprio così, conosciamo la radice uguale x 2 \u003d 9 (div. Fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

E ora proviamo rozv'yazati uguale x 2 \u003d 5; le illustrazioni geometriche sono presentate in fig. 75. È chiaro che ci sono due radici x 1 e x 2, inoltre, q numeri, come i in due pendenze in avanti, sono uguali per valore assoluto e prolungamento per il segno (x 1 - x 2) - Ale sul davanti alle pendenze anteriori, si trovavano facilmente de root uguali (perché si possono conoscere senza sbucciare i grafici), con uguale x 2 \u003d 5 a destra non è così: dietro le poltrone non possiamo mostrare il significato delle radici, noi può solo impostare che una radice è radicata tre punti a sinistra - 2 e l'altra è tre volte a destra

Punti 2.

Qual è il numero (punto), in che modo i tre punti destrimani 2 e quanto al quadrato danno 5? Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, cioè uscire di più, abbassare è necessario (9\u003e 5).

Quindi, per noi, il numero è diviso tra i numeri 2 e 3. Ma tra i numeri 2 e 3 ci sono numeri razionali impersonali, per esempio e così via È possibile che ci sia un tale amico tra loro, cosa? Non avremo gli stessi problemi da uguale a x 2 - 5, possiamo scrivere cosa

Ale, eccoci qui per una sorpresa inaccettabile. Sembra che non esista una frazione del genere per la quale vince la gelosia
La dimostrazione dell'affermazione formulata è ripiegabile. Tim non è più piccolo, siamo guidati dallo yoga, i frammenti sono più belli e dietro, ancora meglio provare l'intelletto yoga.

È accettabile che un tale drіb di breve durata, sull'equanimità yak vykonuєtsya. Allora, allora m2 = 5n2. La restante uguaglianza significa che il numero naturale m 2 è divisibile senza eccessi per 5 (per vista privata n2).

Successivamente, il numero m 2 termina con il numero 5, il numero 0. Ma il numero naturale m termina con il numero 5, il numero 0, quindi. il numero m è divisibile per 5 senza eccessi. Diversamente, sembra che se il numero m è suddiviso per 5, allora il viide privato è un numero naturale k. Tse significa
che m = 5k.
E ora mi chiedo:
m 2 \u003d 5n 2;
Immagina 5k zam_st m per l'equanimità di pershu:

(5k) 2 = 5n 2, quindi 25k 2 = 5n 2 o n 2 = 5k 2 .
La gelosia rimanente significa che il numero. 5n 2 è divisibile per 5 senza eccessi. Rozmіrkovuchi, come ancora di più, arriviamo alla visnovka su quelli che il numero n è divisibile per 5 senza eccessi.
Inoltre, m è diviso per 5, n è diviso per 5, in seguito, drіb può essere breve (per 5). E poi abbiamo ammesso che il palleggio non fosse breve. Perché è sulla destra? Perché, giustamente mirkuyuchi, siamo arrivati ​​al punto di assurdità, o, come dicono spesso i matematici, abbiamo tolto la salvietta "!
Zvіdsi robimo visnovok: non esiste una tale frazione.
Il metodo di dimostrazione, in cui ci siamo imbattuti ostinatamente, è chiamato in matematica il metodo per dimostrare il protivolego. L'essenza dell'offensiva yoga. È necessario per noi portare fermezza al diacono, ma permettiamo che sia inaccettabile (i matematici sembrano: “tollerabilmente inaccettabile” - non in sensi “inaccettabile”, ma in sensi “per quanto è necessario”).
Se, come risultato del mirkuvan legale, arriviamo alla super precisione con la mente, allora veniamo derubati dei baffi: la nostra ammissione è sbagliata, quindi, quelli che dovevano essere portati a farlo avevano ragione.

Successivamente, sono possibili solo numeri razionali (e non conosciamo ancora altri numeri), uguale x 2 \u003d 5 non è possibile superare.
Avendo studiato in anticipo una situazione simile, i matematici si sono resi conto che era necessario trovare un modo per descrivere il mio linguaggio matematico. Hanno introdotto un nuovo simbolo al punto di vista, che hanno chiamato radice quadrata, e per il simbolo aggiuntivo della radice uguale x 2 \u003d 5 l'hanno scritto in questo modo:

è previsto: "la radice quadrata di z 5"). Ora, per qualsiasi tipo di mente uguale, x 2 \u003d a, de a\u003e O, puoi conoscere la radice - sono numeri , (Mal.76).

Più supporto celeste, scho il numero non è intero e nemmeno pari.
Significa che non è un numero razionale, ma il numero di una nuova natura, di tali numeri parleremo specialmente più avanti, diviso 5.
Per ora è meno significativo, ma il nuovo numero è compreso tra i numeri 2 e 3, i frammenti 2 2 = 4, e meno, 5 inferiore; Z 2 \u003d 9, e ce più in basso 5. Puoi specificare:

Vero, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Puoi
specificare:

in realtà, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
In pratica, è importante notare che il numero è più costoso 2.23, o è più costoso 2.24, ma non è solo gelosia, ma la gelosia è vicina, per il riconoscimento di un simbolo così vittorioso.
Otzhe,

Discutendo la soluzione di uguale x 2 \u003d a; Trascorrendo del tempo in una situazione non standard, non standard (come amare gli astronauti) e non sapendo come uscirne per ulteriore aiuto, i matematici prevedono per un modello matematico, che era stato precedentemente utilizzato da lui, un nuovo termine e un nuovo significato (nuovo simbolo); in altre parole, puzza per introdurre una nuova comprensione, e quindi aumentarne il potere
concetti. Tim stesso, la nuova comprensione di questa comprensione dello yoga sta diventando il capo del Movimento Matematico. Lo abbiamo fatto allo stesso modo: hanno introdotto il termine "radice quadrata del numero a", introdotto un simbolo per il suo significato e tre anni per conquistare la forza di un nuovo concetto. Finora sappiamo solo una cosa: che a > 0,
quindi - un numero positivo che soddisfa l'uguaglianza x 2 \u003d a. In altre parole, questo è un numero positivo, al quadrato esce il numero a.
Oskilki uguale x 2 \u003d 0 maє radice x \u003d 0
Ora siamo pronti a dare una lettura dell'appuntamento.
Appuntamento. La radice quadrata di un numero sconosciuto è chiamata tale numero sconosciuto, il quadrato di un vecchio numero.

Si intende il numero Tse e il numero in cui viene chiamato il numero di radice.
Otzhe, come se a non fosse un numero, allora:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
In questo rango, viraz maє percepisce meno per a > 0.
Che cosa - uno e lo stesso modello matematico (una e la stessa obsolescenza tra numeri sconosciuti
(e quella b), ma solo un amico è descritto dal mio più semplice, prima inferiore (vittoria simboli semplici).

L'operazione per trovare la radice quadrata di un numero negativo si chiama variazione della radice quadrata. L'operazione Tsya è un'inversione che dà vita alla piazza. Livello:

Ancora una volta, rispetto: le tabelle hanno numeri meno positivi, gli shard non sono assegnati alla radice quadrata designata. Voglio, ad esempio, (- 5) 2 \u003d 25 - l'uguaglianza è corretta, vai alla voce successiva con la radice quadrata della variante (quindi scrivi cosa.)
non posso. Per le scuse, . - Un numero positivo significa .
Spesso non si dice "radice quadrata", ma "radice quadrata aritmetica". Il termine "aritmetica" è omesso per motivi di stile.

D) Sulla vista dei mozziconi anteriori, possiamo indicare il valore esatto del numero. Era meno chiaro che fosse più grande, inferiore 4, ale più piccolo, inferiore 5, oskolki

42 = 16 (più piccolo, più basso 17) e 52 = 25 (più alto, più basso 17).
Vtіm, il valore più vicino del numero può essere conosciuto per l'aiuto di un microcalcolatore, come vendicare l'operazione della radice quadrata; il valore è più costoso 4.123.
Otzhe,
Il numero, come e guarda il numero non è razionale.
e) Non è possibile calcolare, la radice quadrata di un numero negativo non può essere utilizzata; registro delle indulgenze al sens. L'ordine è stato proposto in modo errato.
e) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. In questi casi, puoi vincere la tabella dei quadrati dei numeri naturali e un microcalcolatore.
g), frammenti 75 > 0 e 75 2 = 5625.
Nei casi più semplici si contano di seguito i valori della radice quadrata: scarso. germoglio. In situazioni di piegatura, è necessario richiamare una tabella di quadrati di numeri chi ed eseguire calcoli con un microcalcolatore aggiuntivo. E come buti, come può una mano niente tabelle, niente calcolatrice? V_dpovіmo sulla catena del cibo, virіshivshi che attacca il sedere.

culo 2. Calcolare
Soluzione.
Primo stadio. Non importa se indovini che il vidpovid viide ha 50 іz "coda". Infatti, 50 2 = 2500, e 60 2 = 3600, e il numero 2809 viene cambiato tra i numeri 2500 e 3600.

Un'altra tappa. Conosciamo la "coda", tobto. Lascerò la cifra del numero stupido. Finché sappiamo che la radice sta crescendo, in futuro potrai avere 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 o 59. Devono essere controllati solo due numeri: 53 e 57 Il risultato è un numero diverso che termina con il numero 9, poi lo stesso numero che termina con il numero 2809.
Maєmo 532 = 2809 tse quelli di cui abbiamo bisogno (siamo stati fortunati, siamo stati sperperati nella "mela"). Otzhe, = 53.
Suggerimento:

53
esempio 3. Le gambe di un tricutnik a taglio dritto hanno uno spessore di 1 cm e 2 cm Perché l'ipotenusa del tricutnik? (Mal.77)

Soluzione.

Seguiamo rapidamente la geometria del teorema di Pitagora: la somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe di un tricot a taglio dritto è uguale al quadrato della lunghezza della sua ipotenusa, quindi a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - gambe, c - ipotenusa di un tricot a taglio dritto.

Per significare,

Questo mozzicone dimostra che l'introduzione della radice quadrata non è un bug matematico, ma una necessità oggettiva: nella vita reale esistono situazioni i cui modelli matematici possono superare l'operazione di forzatura della radice quadrata. Forse, la più importante di tali situazioni è legata a
piazza rozvyazannyam rivnyan. Dosi, usando quadrato uguale a ax 2 + bx + c \u003d 0, abbiamo disposto la parte sinistra in moltiplicatori (che si sono rivelati lontani dalla realtà), oppure hanno segnato metodi grafici (che non sono troppo fantasiosi, ma belli ). Veramente per la visualizzazione
radice x 1 e x 2 dell'equazione quadrata ax 2 + bx + c = 0

vendetta, come puoi vedere, il segno della radice quadrata. Qi formula zastosovuyutsya praticamente in un tale rango. Dai, ad esempio, devi dividere 2x 2 + bx - 7 = 0. Qui a = 2, b = 5, c = - 7. Successivamente,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dalì è noto. Per significare,

Più abbiamo designato, che non è un numero razionale.
I matematici chiamano tali numeri irrazionali. Irrazionale: si tratti di un numero, come se la radice quadrata non apparisse. Per esempio, e così via. - Numeri irrazionali. In 5 relazioni parleremo di numeri razionali e irrazionali. I numeri razionali e irrazionali diventano immediatamente numeri reali impersonali, cioè. numeri impersonali, con i quali possiamo operare nella vita reale (ad es
notizia). Ad esempio, tutti questi sono numeri validi.
Allo stesso modo, poiché abbiamo già designato il concetto di radice quadrata, possiamo assegnare il concetto di radice cubica: la radice cubica di un numero sconosciuto a è chiamata un numero a me sconosciuto, il cui cubo è un numero. Altrimenti, a quanto pare, la gelosia significa che b 3 \u003d a.

Tutto è possibile nel corso dell'algebra dell'undicesimo grado.

Il concetto di radice quadrata di un numero sconosciuto

Diamo un'occhiata all'allineamento x2 = 4. Analizziamolo graficamente. Per chi in un unico sistema coordinate zbuduєmo parabola y \u003d x2 i linea retta y \u003d 4 (Fig. 74). La puzza è colorata in due punti A (- 2; 4) e B (2; 4). I punti di ascissa A e B sono uguali alle radici x2 = 4. Inoltre, x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi così è, conosciamo la radice uguale x2 = 9 (div. fig. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

E ora proviamo rozv'yazati uguale a x2 = 5; le illustrazioni geometriche sono presentate in fig. 75. È chiaro che ci sono due radici x1 e x2, inoltre, il numero di numeri, come e in due pendenze in avanti, è uguale per il valore assoluto e la lunghezza dietro il segno (x1 - - x2) se si potesse facilmente trovale (perché potresti conoscerle senza essere imbranato con i grafici), se x2 = 5 a destra, non è così: non possiamo mostrare il significato delle radici dietro le poltrone, possiamo solo metterlo in una radice tre punti a sinistra del punto - 2 e l'altro - tre a destra del punto 2.

Ale, eccoci qui per una sorpresa inaccettabile. Appare, non esiste tale frazioni DIV_ADBLOCK32">

È accettabile che sia un drіb così breve, per il quale l'equanimità è vittoriosa https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, cioè m2 = 5n2. La gelosia rimanente significa questo numero naturale m2 può essere diviso senza eccessi per 5 (privato ampio ha n2).

Successivamente, il numero m2 termina con il numero 5, il numero 0. Ma il numero naturale m termina con il numero 5, il numero 0, cioè il numero m viene diviso per 5 senza eccessi. Diversamente, sembra che se il numero m è suddiviso per 5, allora il viide privato è un numero naturale k. Ze significa che m = 5k.

E ora mi chiedo:

Immagina 5k zam_st m per l'equanimità di pershu:

(5k) 2 = 5n2, quindi 25k2 = 5n2 o n2 = 5k2.

La gelosia rimanente significa che il numero. 5n2 è diviso per 5 senza eccessi. Rozmirkovuchi, come di più, arriviamo alla visnovka su quelli che il numero n è divisibile per 5 senza eccedenza.

Inoltre, m è diviso per 5, n è diviso per 5, in seguito, drіb può essere breve (per 5). E poi abbiamo ammesso che il palleggio non fosse breve. Perché è sulla destra? Perché, giustamente mirkuyuchi, siamo arrivati ​​al punto di assurdità, o, come dicono spesso i matematici, abbiamo tolto la salvietta "! ).

Se, come risultato del mirkuvan legale, arriviamo alla super precisione con la mente, allora veniamo derubati dei baffi: la nostra ammissione è sbagliata, quindi, quelli che dovevano essere portati a farlo avevano ragione.

Padre, fluttuando solo nel tuo ordine numeri razionali(E ancora non conosciamo gli altri numeri), pari a x2 = 5 e non possiamo batterlo.

Avendo studiato in anticipo una situazione simile, i matematici si sono resi conto che era necessario trovare un modo per descrivere il mio linguaggio matematico. Hanno introdotto un simbolo apparentemente nuovo, che hanno chiamato la radice quadrata, e per il simbolo aggiuntivo della radice uguale a x2 \u003d 5 l'hanno scritto in questo modo: ). Ora, per qualsiasi motivo, x2 = a, de a > Oh, puoi conoscere la radice - sono numerihttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} non sano e non secco.
Significa che non è un numero razionale, ma il numero di una nuova natura, di tali numeri parleremo specialmente più avanti, diviso 5.
Per ora è meno significativo, ma il nuovo numero è compreso tra i numeri 2 e 3, i frammenti 22 = 4, e meno, 5 inferiore; Z2 \u003d 9 e più inferiore a 5. È possibile specificare:

Ancora una volta, rispetto: le tabelle hanno meno numeri positivi, gli shard non sono assegnati alla radice quadrata designata. Se, ad esempio, = 25 - l'uguaglianza è corretta, vai alla voce successiva al record della radice quadrata (per scrivere cosa). .jpg" alt="(!ITA:.jpg" width="42" height="30">!}!}- Un numero positivo significa https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Era più ragionevole che fosse più grande, più basso 4, ale, più piccolo, più basso 5, 42 = 16 (più piccolo, più basso 17) e 52 = 25 (meno più grande, più basso 17).
Vtіm, il valore più vicino del numero può essere conosciuto per aiuto microcalcolatore come vendicare l'operazione radice quadrata; il valore è più costoso 4.123.

Il numero, come e guarda il numero non è razionale.
e) Non è possibile calcolare, la radice quadrata di un numero negativo non può essere utilizzata; registro delle indulgenze al sens. L'ordine è stato proposto in modo errato.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} frammenti 75 > 0 in 752 = 5625.

Nei casi più semplici i valori della radice quadrata si contano in multipli:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Soluzione.
Primo stadio. Non importa se indovini che il vidpovid viide ha 50 іz "coda". Infatti, 502 = 2500 e 602 = 3600, e il numero 2809 viene cambiato tra i numeri 2500 e 3600.

Guardando ancora una volta il cartello... E andiamo!

Partiamo da uno semplice:

Khvilinka. tse, e tse significa che possiamo scriverlo così:

Conquistato? L'asse della tua avanzata:

La radice dei numeri, cosa è successo, non si distingue davvero? Non bida - l'asse di te quindi applica:

E quanti moltiplicatori non sono due, ma di più? Stesso! La formula per la moltiplicazione delle radici funziona con l'eventuale presenza di un numero qualsiasi di moltiplicatori:

Ora lo farò da solo:

Suggerimenti: Ben fatto! Aspetta, tutto è facile, conosci la tavola pitagorica!

Rozpodіl koreniv

Abbiamo messo molte radici, ora passiamo al potere.

Immagino che la formula per il famigerato assomigli a questa:

Cosa significa root da una parte di una radice privata.

Bene, diamo un'occhiata ai mozziconi:

Asse i tutta la scienza. E l'asse è un tale esempio:

Non tutto è così liscio, come un primo calcio, birra, come un bachish, non c'è niente di pieghevole.

E cosa, come ubriacarsi un tale viraz:

È necessario semplicemente formula zastosuvat al cancello direttamente:

E l'asse è un tale esempio:

Riesci a vedere un tale viraz:

Tuttavia, solo qui devi indovinare, come spostare le frazioni (se non ricordi, guarda l'argomento e girati!). Indovinare? Ora lo vediamo!

Estasiati, che tu sei con noi, ci siamo imbattuti, ora cercheremo di radicare il mondo.

Zvedennya nel piede

E cosa farai, come una radice quadrata al quadrato? È semplice, indoviniamo il senso della radice quadrata di un numero - il numero intero, la radice quadrata di qualche tipo.

Quindi da come creiamo un numero, la radice quadrata di un certo numero, un quadrato, poi cosa viene preso?

Beh, è ​​fantastico!

Diamo un'occhiata agli esempi:

Tutto è semplice, vero? E quale sarà la radice di un altro mondo? Niente di terribile!

Cerca quelle logiche e ricorda il potere e la capacità di procedere passo dopo passo.

Leggi la teoria sull'argomento "" e diventerai estremamente chiaro.

Axis, ad esempio, un tale viraz:

Quale culo avrà piedi maschili, ma quale sarà il vino spaiato? Bene, lo so, ferma il livello di potere e diffondi tutto in moltiplicatori:

Da questo punto tutto è chiaro, ma come vincere la radice del numero nel mondo? Asse, ad esempio:

Facile da bere, vero? E che dire di più di due passaggi? Dorimuёmosya ієї logica zh, passaggi di potenza vikoristuyuyuchi:

Bene, come hanno capito tutti? Applica tu stesso questi stessi versetti:

Un asse che ho visto:

Introdotto segno radice pid

Perché non abbiamo imparato a lavorare con le radici! Ci è voluto solo un po' di tempo per cercare di inserire il numero di radici!

È troppo facile!

Supponiamo di avere un numero

Cosa possiamo fare con lui? Ebbene, zvichayno, chiudi la trinità sotto la radice, ricordando allo stesso tempo che la terzina è la radice quadrata!

Cos'altro ci serve? È così semplice espandere le nostre possibilità con applicazioni perfette:

Com'è quel potere della radice? È davvero una questione di vita? Su di me, è vero! Tilki Tieni presente che possiamo solo aggiungere un segno di radice quadrata a un numero positivo.

Virish indipendentemente l'asse del calcio -
Affrettato? Meravigliamoci, cosa puoi vedere in te:

Ben fatto! Hai abbastanza lontano per inserire il numero con il segno della radice! Passiamo a qualcosa di non meno importante: diamo un'occhiata a come correggere i numeri per vendicarsi della radice quadrata!

Riparazione della radice

Che ne dici di imparare a capire i numeri, come vendicare la radice quadrata?

Tipo di semplice. Spesso, ai grandi e banali viraza, che parlano nel sonno, prendiamo prove irrazionali (ricordati, com'è? Stavamo già parlando di te oggi!)

Otrimani vіdpovіdі dobbiamo stenderci sulla linea delle coordinate, ad esempio, per determinare quale intervallo è adatto per rozvyazuvannya rivnyannya. Il primo asse qui incolpa lo zakovik: non c'è calcolatrice in uso, ma senza di essa, come rivelare, quale numero è più grande e quale è più piccolo? Otozh sono fuori!

Ad esempio, vyznach, per di più: chi?

Non lo dirai subito. Ebbene, cosa, è veloce disegnare la potenza del numero introdotto sotto il segno della radice?

Andare avanti:

Beh, ovviamente, più grande è il numero sotto il segno della radice, più grande è la radice stessa!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi fermamente robimo visnovok, scho. E nessuno può cambiarci dall'altra parte!

Prefigurazione delle radici dei grandi numeri

Davanti a chi abbiamo introdotto il moltiplicatore sotto il segno della radice, ma come dargli torto? Devi solo disporre lo yogo sui moltiplicatori e tirare quelli che stanno tirando!

Era possibile bere con un modo diverso e spargerlo su altri moltiplicatori:

Non male, vero? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy come te facilmente.

La disposizione per i moltiplicatori sarà fortunata con l'implementazione di tali compiti non standard, come l'asse della catena:

Non lakaєmos, ma diemo! Mettiamo insieme un moltiplicatore di cuoio sotto la radice su un moltiplicatore okremi:

E ora provalo da solo (senza calcolatrice! Non sarai in grado di dormire con lo yoga):

Hiba tse kinet? Non lasciarti ingannare da pivdoroz!

Asse e tutto, non così tutto e spaventoso, giusto?

Wiishlo? Bravo, hai ragione!

E ora prova questo culo di virishiti:

E il calcio è un mitzny pot, quindi non sarai in grado di prenderlo subito, come se ne passassi uno nuovo. Ale noi vini, ovviamente, nei denti.

Bene, che ne dici di organizzare i moltiplicatori? È molto rispettoso che tu possa aggiungere il numero a (immaginiamo i segni di divisibilità):

E ora prova tu stesso (lo so, senza calcolatrice!):

Bene scho, wiyshlo? Bravo, hai ragione!

P_vedi p_bags

1. La radice quadrata (radice quadrata aritmetica) di un numero sconosciuto è chiamata tale numero sconosciuto, il quadrato di qualche altro numero.
   .
2. Se prendiamo semplicemente la radice quadrata di tutto, prendiamo sempre un risultato invisibile.
3. Potenza della radice aritmetica:
4. Quando la radice quadrata è uguale, è necessario ricordare che maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa.

Com'è la tua radice quadrata? Tutto ha avuto un senso?

Abbiamo cercato di spiegarti senza guidare tutto ciò che è necessario sapere nel sonno sulla radice quadrata.

Ora il tuo diavolo. Scrivici un argomento adatto a te.

Riconoscendoti ora, tutto era così chiaro.

Scrivi nei commenti e buona fortuna per il tuo sonno!

A tsіy statti mi zaprovadimo capire la radice del numero. Dyatimemo in sequenza: partendo dalla radice quadrata, passiamo alla descrizione della radice cubica, dopodiché possiamo capire la radice, che denota la radice dell'ennesimo grado. Allo stesso tempo, introduce un nome, un segno, suggerisce un'applicazione di radici e dà le spiegazioni necessarie per quel commento.

Radice quadrata, radice quadrata aritmetica

Per capire il significato della radice del numero, e la radice quadrata dello zokrem è necessaria per la madre. A questo punto, mi spesso zishtovhuvatimosya con un altro gradino del numero: il quadrato del numero.

Pochnemo s denominatore radice quadrata.

Appuntamento

Radice quadrata di a- Numero Tse, il quadrato di qualche vecchio a.

Piombo Schob applicare la radice quadrata, Prendiamo alcuni numeri, ad esempio 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 = 0.3 0.3 = 0.09 io 2 = 0 0 = 0). Quindi, per assegnazioni date, il numero 5 è la radice quadrata del numero 25, i numeri −0,3 e 0,3 sono le radici quadrate di 0,09 e 0 è la radice quadrata di zero.

Slid designa, per qualunque numero a іsnuє, il quadrato di koho dorivnuє a. E per se stesso, per qualsiasi numero negativo a, non utilizzare lo stesso numero decimale b, il quadrato di qualsiasi altro numero a. È vero, l'uguaglianza a=b 2 è impossibile per qualsiasi negativo a , frammenti b 2 - non conosco il numero per qualsiasi b . In modo tale, sui numeri reali impersonali non esiste la radice quadrata di un numero negativo. In altre parole, sui numeri reali impersonali, la radice quadrata di un numero negativo non risalta e non ha senso.

Sembra un cibo logico: "E qual è la radice quadrata di a se c'è molto di a"? Vidpovid - così. Sulla base di questo fatto, un metodo costruttivo è importante per vincere la significatività del valore della radice quadrata.

Quindi avanza una ragione più logica: "Qual è il numero di tutte le radici quadrate di un dato numero infinito a - uno, due, tre, più ancora"? Asse v_dpov_d su new: se a è uguale a zero, allora la singola radice quadrata di zero è zero; ad esempio a è un numero positivo, il numero di radici quadrate dal numero a è uguale a due, inoltre la radice è є. Obguruntuemo tse.

Arrivederci a=0 . D'altra parte, si dimostra che zero è vero dalla radice quadrata di zero. La ragione dell'ovvia uniformità 0 2 =0 0=0 è la designazione della radice quadrata.

Ora possiamo dire che 0 è la radice quadrata singola di zero. Accelerare con il metodo di vedere l'inaccettabile. Supponiamo che il numero b sia noto per essere lo stesso numero di zero, ma è la radice quadrata di zero. Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, il che è impossibile, frammenti per be-yakom vіdminnym con valore zero b virazu b 2 є positivo. Abbiamo realizzato super-nitidezza. È necessario portare che 0 è la singola radice quadrata di zero.

Passiamo a vipadkіv, se a è un numero positivo. Ci è stato detto di più, che devi usare la radice quadrata di qualsiasi numero, lascia che la radice quadrata a sia uguale al numero b. È accettabile che є sia il numero c, ma anche є sia la radice quadrata di a. Quindi la radice quadrata dell'equità b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, їх sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, ma i frammenti b 2 − c 2 \u003d (b− c) ( b + c ) , quindi (b-c) · (b + c) = 0 . La gelosia è tolta alla forza poteri fatti con numeri dіysnimi forse solo allora, se b-c=0 o b+c=0. In questo ordine, i numeri b e c sono uguali o protilege.

Se ammettiamo che il numero d, con una radice quadrata in più al magazzino a, allora per specularità, simili a quelle che abbiamo già indicato, si dovrebbe portare che d è più vicino al numero b o al numero c . Inoltre, il numero di radici quadrate da un numero positivo è uguale a due, inoltre, la radice quadrata è numeri opposti.

Per l'efficienza del lavoro con radici quadrate, la radice negativa è "rinforzata" come positiva. Metodo Z tієyu da introdurre derivazione della radice quadrata aritmetica.

Appuntamento

La radice quadrata aritmetica di un numero negativo a- Tse nevіd'єmne numero, il cui quadrato dovnyuє a.

Per la radice quadrata aritmetica del magazzino a, viene preso il valore. Il segno è chiamato il segno della radice quadrata aritmetica. Yogo è anche chiamato il segno del radicale. Questo può essere in parte un po' come una “radice”, e anche un “radicale”, che significa lo stesso oggetto.

Viene chiamato il numero sotto il segno della radice quadrata aritmetica numero di radice, e viraz sotto il segno della radice - sottoradice virazom, nel loro termine "numero di sottoradice" è spesso sostituito da "numero di sottoradice viraz". Ad esempio, nella voce, il numero 151 è il numero radice principale, e nella voce viraz a, la radice è viraz.

Durante la lettura, la parola "aritmetica" viene spesso omessa, ad esempio, il record viene letto come "radice quadrata di sette ventinove cent". La parola "aritmetica" è usata solo una volta, se vuoi essere particolarmente sfacciato, puoi andare sulla radice quadrata positiva del numero.

Alla luce del valore introdotto, la radice quadrata aritmetica della radice quadrata aritmetica ha lo stesso valore di un qualsiasi numero non negativo a.

La radice quadrata di un numero positivo a dietro il segno aggiuntivo della radice quadrata aritmetica è scritta come i. Ad esempio, la radice quadrata del numero 13 є i. La radice quadrata aritmetica di zero è uguale a zero, quindi . Per i numeri negativi a, le voci mi non sono soggette a sensazione fino all'evento numeri complessi. Ad esempio, per alleviare il senso dell'espressione che.

Per i sottosacchi del significato della radice quadrata, viene messo in primo piano il potere delle radici quadrate, il che è molto probabilmente pratico.

Alla fine di questo punto, vale la pena rispettare che la radice quadrata del numero a є soluzioni alla forma x 2 \u003d un cambiamento migliore x.

Radice cubica del numero

Definizione della radice cubica il magazzino a è dato allo stesso modo della radice quadrata. Si basa solo sulla comprensione del cubo del numero, ma non del quadrato.

Appuntamento

La radice cubica del numero a viene chiamato il numero, il cui cubo è uguale a a.

Navigabile applicare una radice cubica. Per quale numero di numeri, ad esempio, 7 , 0 , −2/3 conosco їх y cubo: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Quindi, in base alla designazione della radice cubica, puoi confermare che il numero 7 è la radice cubica di 343, 0 è la radice cubica di zero e −2/3 è la radice cubica di −8/27.

Puoi mostrare che la radice cubica del magazzino a, sulla radice quadrata, zavzhdi іsnuє, inoltre, per a non negativo , ma per qualsiasi numero reale a. Per chi puoi vincere allo stesso modo, di cui abbiamo indovinato la radice quadrata.

Inoltre, non esiste più una singola radice cubica per un dato numero a. Portiamo il resto della fermezza. In questo contesto, possiamo vedere tre vipadas: a è un numero positivo, a=0 e a è un numero negativo.

È facile dimostrare che se la radice cubica di a è positiva, non può essere né un numero negativo né zero. È vero, lascia b є una radice cubica per a, quindi per lo stesso possiamo scrivere l'uguaglianza b 3 \u003d a. Apparentemente, la certezza può essere corretta per b і negativo per b=0 , i picchi per i negativi b 3 =b·b saranno ovviamente un numero negativo chi zero. Inoltre, la radice cubica di un numero positivo a è un numero positivo.

Ora è accettabile che il numero b abbia una radice cubica in più dal numero a, significativamente una c. Allora c 3 = a. Successivamente, b 3 −c 3 =a−a=0 , ma b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(la formula per la moltiplicazione breve differenza di cubi), stelle (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . La gelosia di Otriman è possibile solo se b−c=0 o b 2 +b c+c 2 =0 . Dalla prima uguaglianza, b=c è possibile, e non c'è altra soluzione, perché la parte sinistra è un numero positivo per qualsiasi numero positivo b і c come somma di tre addizioni positive b 2 , b c і c 2 . Cim ha portato l'unità della radice cubica di un numero positivo a.

Quando a=0, la radice cubica del magazzino a є è maggiore del numero zero. È chiaro che se si presume che venga utilizzato il numero b, se si vede zero come radice cubica da zero, la colpa è dell'uguaglianza di b 3 \u003d 0, poiché è possibile solo con b \u003d 0.

Per a negativo, puoi indurre un mirroring, simile al positivo a. Innanzitutto, viene mostrato che la radice cubica di un numero negativo non può essere uguale a un numero positivo, né a zero. In modo diverso, supponiamo che esista un'altra radice cubica da un numero negativo e si dimostri che i vini della lingua sono abbinati al primo.

Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s di un dato numero decimale a, inoltre, uno.

Damo designazione della radice cubica aritmetica.

Appuntamento

La radice cubica aritmetica di un numero infinito a si chiama un numero a me sconosciuto, un cubo di qualche vecchia a.

La radice cubica aritmetica del numero sconosciuto a è indicata come un segno chiamato segno della radice cubica aritmetica, il numero 3 in questo record è chiamato indicatore di radice. Il numero sotto il segno della radice - tse numero di radice, viraz sotto il segno della radice - tse sottoradice viraz.

Se vuoi che alla radice cubica aritmetica vengano assegnati solo numeri negativi a, puoi anche vincere manualmente le voci, per le quali il segno della radice cubica aritmetica cambia i numeri negativi. Riassumiamo così: , de a è un numero positivo. Per esempio, .

Parleremo del potere della radice cubica nell'articolo principale del potere delle radici.

Il calcolo del valore della radice cubica si chiama calcolo della radice cubica, il motivo è tratto dall'articolo dell'eroe delle radici: modi, applicazione, soluzioni.

Alla fine di questo paragrafo, diciamo che la radice cubica del magazzino è una є soluzioni della forma x 3 =a.

Radice dell'ennesimo stadio, radice aritmetica dello stadio n

È facile capire la radice del numero: introduciamo designazione della radice dell'n-esimo stadio per n.

Appuntamento

La radice dell'ennesimo grado del numero a- Numero Tse, n-esimo passo di ciò che è più costoso a.

Da quale appuntamento si è capito che la radice del primo stadio del numero a è il numero a, i frammenti dello stesso stadio con l'indicatore naturale sono stati presi a 1 \u003d a.

Abbiamo esaminato più da vicino le pendenze della radice di n-esimo grado in n=2 en=3 – la radice quadrata e la radice cubica. Quindi la radice quadrata è la radice di un altro livello, e la radice cubica è la radice del terzo livello. Per estrarre le radici dell'n-esimo passo con n=4, 5, 6, ... їх dividerle manualmente in due gruppi: il primo gruppo è la radice dei passi accoppiati (tobto, con n=4, 6, 8, ...), l'altro gruppo è la radice dei passi spaiati (tobto, in n=5, 7, 9, ...). Pertanto, la radice dei passaggi accoppiati è simile alla radice quadrata e la radice dei passaggi non accoppiati è cubica. Risolviamoli con loro.

Cominciamo con le radici, i cui gradini sono i ragazzi del numero 4, 6, 8, ... Come abbiamo già detto, la puzza è simile alla radice quadrata del numero a. Questa è la radice di ogni passo accoppiato dal numero a іsnuє solo per poco a. Inoltre, se a=0, allora la radice a è singola e uguale a zero, e se a>0, allora ci sono due radici del passo accoppiato dal numero a, inoltre, sono numeri opposti.

Obguruntuemo rimane indurito. Sia b la radice del grado accoppiato (significativamente її yak 2m, de m è un numero naturale) dal numero a. Supponiamo che il numero c sia una radice in più del passo 2·m nel magazzino a. Allora b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Conosciamo la forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) allora (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 , o b+c=0 , o b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. I primi due uguali significano che i numeri b e c sono uguali o b e c sono protilegi. E il resto dell'uguaglianza è giusto solo per b = c = 0, i frammenti della parte sinistra della parte sinistra sono virati, poiché non è negativo per qualsiasi b e come somma di numeri non negativi.

Per quanto riguarda le radici dell'ennesimo grado con n spaiato, allora il fetore è simile alla radice cubica. Quindi la radice di qualsiasi grado spaiato dal numero a viene utilizzata per qualsiasi numero decimale a, inoltre, per un dato numero a vіn є єdine.

L'unità della radice del passo spaiato 2 m+1 nel magazzino a è portata per analogia con la dimostrazione dell'unità della radice cubica di a. Solo qui è il deputato della gelosia un 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) vittoria della forma b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz nel resto dell'arco può essere riscritto come b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Ad esempio, a m=2 forse b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Se aeb sono positivi offensivi e negativi negativi sono un numero positivo, allora viraz b 2 +c 2 +b·c, che è tra le braccia del più alto livello di investimento, è positivo come somma di numeri positivi. Ora, sporgendo in sequenza fino al viraz agli archi dei gradini in avanti dell'investimento, cambiamo, che la puzza è anche positiva come somma di numeri positivi. È necessario per il risultato che l'uguaglianza b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0È possibile solo una volta, se b−c=0, allora se il numero b è uguale al numero c.

È giunto il momento di esplorare le radici dell'ennesimo livello. Per chi è dato designazione della radice aritmetica dell'ennesimo grado.

Appuntamento

La radice aritmetica dell'ennesimo grado di un numero infinito a il numero si chiama a me sconosciuto, l'ennesimo passo di una specie di a.