Root s nepoznatog broja. Kvadratni korijen. Detaljna teorija sa aplikacijama. Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Površina kvadratne parcele je 81 dm2. Upoznajte stranu joge. Pretpostavimo da je dužina stranice kvadrata dobra X decimetrima. Todi dio kuće je skuplji X² kvadratnih decimetara. Krhotine za um, površina je 81 dm², dakle X² \u003d 81. Dužina stranice kvadrata je pozitivan broj. Pozitivan broj, čiji je kvadrat 81, ê je broj 9. Prilikom rješavanja zadataka potrebno je znati broj x, čiji je kvadrat 81, da bi se riješio zadatak X² \u003d 81. Cijena ima dva korijena: x 1 = 9 x 2 = - 9, pa 9² = 81 í (- 9) ² = 81. Uvredljivi brojevi 9 í - 9 nazivaju se kvadratni korijeni broja 81.

Dragi, to je jedan od kvadratnih korijena X= 9 ê pozitivan broj. Yogo se zove aritmetički kvadratni korijen broja 81 i označava √81, takav rang √81 = 9.

Aritmetički kvadratni korijen broja A se zove meni nepoznati broj, kvadrat nekog starog A.

Na primjer, brojevi 6 i - 6 su kvadratni korijeni iz broja 36. Kada je broj 6 aritmetički kvadratni korijen broja 36, dijelovi 6 nisu broj i 62 = 36. Broj - 6 nije aritmetički korijen.

Aritmetički kvadratni korijen broja A označeno ovako: √ A.

Znak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena; A- naziva se podkorijenski viraz. Viraz √ Ačitaj ovako: aritmetički kvadratni korijen broja A. Na primjer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. U tihim raspoloženjima, ako je jasno da postoji aritmetički korijen, bit će kratko: „kvadratni korijen od A«.

Vrijednost kvadratnog korijena u skladištu naziva se vrijednost kvadratnog korijena. Tsya diya je umotana do kvadrata.

Kvadrat je moguće kvadrirati bilo da je broj, ali da bi se dobio kvadratni korijen moguće je da ne bude broj. Na primjer, nije moguće nacrtati kvadratni korijen broja - 4. Nakon što smo pronašli takav korijen, onda, prepoznavši ga slovom X, Oduzeli bismo pogrešnu jednakost x² = - 4, tako da vrijedi trošak nepoznatog broja, a desno - negativan.

Viraz √ A maê sens tilki for a ≥ 0. Vrijednost kvadratnog korijena može se ukratko napisati na sljedeći način: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Vlasnički kapital (√ A)² = A pošteno za a ≥ 0. Na taj način da se promijeni u činjenicu da je kvadratni korijen negativnog broja A dorivnyuê b, onda u tom √ A =b, potrebno je preispitati, koja su sljedeća dva uma: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratni korijen iz razlomka

Hajde da brojimo. S poštovanjem, da je √25 = 5, √36 = 6, i reverzibilno je da je jednakost pobjednička.

so yak i , tada je smirenost istinita. otzhe, .

Teorema: Yakscho A≥ 0 i b> 0, tako da je korijen iz razlomka jednak korijenu iz knjige brojeva, podijeljen s korijenom iz banera. Potrebno je donijeti da: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, zatim .

Za yak_styu zvedennya razlomak u stopalu i znak kvadratnog korijena teorema je završena. Hajde da pogledamo sprat aplikacija.

Izračunajte za gotovu teoremu .

Druga guza: Donesi šta , like A ≤ 0, b < 0. .

Druga guza: Izračunaj.

Obrnuti kvadratni korijen

Krivica množitelja z-píd na znak korijena. Neka Viraz bude dat. Yakscho A≥ 0 i b≥ 0, onda prema teoremi o stvaranju korijena možemo napisati:

Takva transformacija naziva se krivnja množitelja znaka z-pod korijena. Pogledajmo zadnjicu;

Izračunajte u X= 2. Nema srednje zamjene X= 2 u korijenu viraza da bi se proizveo preklopni proračun. Qi proračun se može oprostiti, kao da se okrivljuje znak z-píd korijenskih množitelja: . Zamjenom sada x = 2 uzimamo:.

Kasnije, krivnjom množitelja, korijenski znak znaka korijena je podkorijen viraza u viziji stvaranja, u kojoj se nalazi jedan ili više množitelja u kvadratima nepoznatih brojeva. Zatim razradimo teoremu o korijenu iz ekstrakcije i izvadimo korijen iz množitelja kože. Pogledajmo zadnjicu: Oprost A \u003d √8 + √18 - 4√2 vina u prva dva dodankív množitelja korijenskog znaka, otrimaêmo:. Ohrabrujem te, tu ljubomoru pošteno samo za A≥ 0 i b≥ 0. dobro A < 0, то .

Pogledajmo poravnanje x 2 = 4. Razložimo ga grafički. Za cgo, u jednom koordinatnom sistemu, kreiraćemo parabolu y = x 2 i ravnu liniju y = 4 (slika 74). Smrad je zatamnjen na dvije tačke A (- 2; 4) i B (2; 4). Tačke apscise A i B jednake su korijenima x 2 = 4. Također, x 1 = 2, x 2 = 2.

Rozmírkovuyuchi upravo tako, znamo korijen jednak x 2 = 9 (div. Slika 74): x 1 = - 3, x 2 = 3.

A sada pokušajmo rozv'yazati jednako x 2 \u003d 5; geometrijske ilustracije prikazane su na sl. 75. Jasno je da postoje dva korijena x 1 i x 2, štaviše, q brojeva, kao i u dva nagiba naprijed, jednaki su za apsolutnu vrijednost i produženje za znak (x 1 - x 2) - Ale na ispred prednjih kosina, de root jednaki su se lako pronašli (jer se mogu znati bez ljuštenja grafova), sa jednakim x 2 = 5 na desnoj strani nije tako: iza fotelja ne možemo pokazati značenje korijena, mi može samo postaviti da je jedan korijen ukorijenjen tri lijeve tačke - 2, a drugi tri puta desno

Tačke 2.

Koliki je broj (tačka), kako tri desne tačke 2 i koliko na kvadrat daju 5? Zrozumílo, sho tse 3, oskílki Z 2 = 9, tj. izlazite više, niže je potrebno (9\u003e 5).

Dakle, za nas je broj raspoređen između brojeva 2 i 3. Ali između brojeva 2 i 3 postoje nelični racionalni brojevi, npr. i tako dalje.Moguće je da među njima postoji i takav prijatelj, šta? Nećemo imati iste probleme od jednakih x 2 - 5, možemo napisati šta

Ale, čeka nas neprihvatljivo iznenađenje. Čini se da ne postoji takav razlomak kod kojeg pobjeđuje ljubomora
Dokaz formulisane tvrdnje je sklopiv. Tim nije manji, vođeni smo jogom, krhotine su ljepše a pozadi još bolje probati joga intelekt.

Prihvatljivo je da je tako kratkotrajan dríb, na jaku vykonuêtsya smirenost. Tada je m2 = 5n2. Preostala jednakost znači da je prirodni broj m 2 bez viška djeljiv sa 5 (za privatni pogled n2).

Kasnije se broj m 2 završava brojem 5, brojem 0. Ali prirodni broj m završava se brojem 5, dakle brojem 0. broj m je djeljiv sa 5 bez viška. Inače, izgleda da ako je broj m podijeljen sa 5, onda je privatni broj prirodan broj k. Tse znači
da je m = 5k.
A sad se pitam:
m 2 \u003d 5n 2;
Zamislite 5k zam_st m za pershu smirenost:

(5k) 2 = 5n 2, zatim 25k 2 = 5n 2 ili n 2 = 5k 2 .
Preostala ljubomora znači da je broj. 5n 2 je djeljivo sa 5 bez viška. Rozmírkovuchi, kao i više, dolazimo do visnovke o onima da je broj n djeljiv sa 5 bez viška.
Takođe, m je podeljeno sa 5, n je podeljeno sa 5, kasnije, dríb može biti kratak (sa 5). A onda smo dozvolili da dribling nije bio kratak. Zašto je na desnoj strani? Zašto, s pravom mirkuyuchi, došli smo do tačke apsurda, ili, kako matematičari često kažu, oduzeli brisanje"!
Zvídsi robimo visnovok: ne postoji takav razlomak.
Metoda dokaza, na koju smo tvrdoglavo nailazili, u matematici se naziva metodom dokazivanja protivolega. Suština ofanzive joge. Neophodno je da unesemo čvrstinu đakonu, ali dopuštamo da to bude neprihvatljivo (matematičari izgledaju: „podnošljivo neprihvatljivo“ – ne u sensi „neprihvatljivo“, nego u sensi „koliko je potrebno“).
Ako, kao rezultat zakonskog mirkuvana, umom dođemo do super-preciznosti, onda smo lišeni brkova: naše priznanje je pogrešno, onda su bili u pravu oni koje je trebalo dovesti do toga.

Kasnije su mogući samo racionalni brojevi (a druge brojeve još ne znamo), jednako x 2 = 5 nije moguće prevladati.
Nakon što su unaprijed proučavali sličnu situaciju, matematičari su shvatili da je potrebno smisliti način da opišu moj matematički jezik. Uveli su novi simbol u tačku gledišta, koji su nazvali kvadratni korijen, a za dodatni simbol korijena jednak x 2 \u003d 5 zapisali su ga ovako:

očekuje se: "kvadratni korijen od z 5"). Sada, za bilo koju vrstu jednakog uma, x 2 \u003d a, de a\u003e O, možete znati korijen - to su brojevi , (Mal. 76).

Više nebeske podrške, scho broj nije cijeli niti paran.
To znači da to nije racionalan broj, već broj nove prirode, o takvim brojevima ćemo posebno govoriti kasnije, podijeljen na 5.
Za sada je manje značajan, ali je novi broj između brojeva 2 i 3, krhotine 2 2 = 4, a manje, niže 5; Z 2 \u003d 9, i ce više niže 5. Možete odrediti:

Istina, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Možete
odrediti:

stvarno, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
U praksi je važno napomenuti da je broj skuplji 2,23, odnosno skuplji 2,24, ali nije samo ljubomora, nego je ljubomora blizu, za prepoznavanje tako pobjedničkog simbola.
otzhe,

Rasprava o rješenju jednakog x 2 \u003d a; Provodeći vrijeme u nestandardnoj, nestandardnoj (poput zaljubljenih astronauta) situaciji i ne znajući kako da se izvuče iz nje za dodatnu pomoć, matematičari predviđaju za matematički model, koji je ranije koristio, novi termin i novi značenje (novi simbol); drugim riječima, smrdi da uvedeš novo razumijevanje, a zatim povećaš moć toga
koncepti. Sam Tim, novo shvatanje ovog razumevanja joge postaje vođa Matematičkog pokreta. Uradili smo to na isti način: uveli su pojam „kvadratni korijen iz broja a“, uveli simbol za njegovo značenje i tri godine kako bi osvojili snagu novog koncepta. Do sada znamo samo jednu stvar: da je a > 0,
zatim - pozitivan broj koji zadovoljava jednakost x 2 \u003d a. Drugim riječima, ovo je pozitivan broj, kada se kvadrira, izlazi broj a.
Oskilki jednak x 2 \u003d 0 maê korijen x \u003d 0
Sada smo spremni da pročitamo termin.
Imenovanje. Kvadratni korijen nepoznatog broja naziva se takav nepoznati broj, kvadrat nekog starog broja.

Misli se na Tse broj, a broj na kojem se naziva korijenski broj.
Otzhe, kao da a nije broj, onda:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
U ovom rangu, viraz ima manje smisla za a > 0.
Reci šta - jedan te isti matematički model (jedna te ista ustajalost između nepoznatih brojeva
(i to b), ali samo prijatelja opisuje jednostavniji moj, niži prvi (pobjednički jednostavni simboli).

Operacija pronalaženja kvadratnog korijena negativnog broja naziva se promjena kvadratnog korijena. Tsya operacija je preokret oživljavanjem na trgu. Nivo:

Još jednom, poštovanje: tabele imaju manje pozitivnih brojeva, dijelovi nisu dodijeljeni određenom kvadratnom korijenu. Želim, na primjer, (- 5) 2 \u003d 25 - jednakost je tačna, idite na sljedeći unos s kvadratnim korijenom varijante (pa napišite šta.)
ne mogu. Za izvinjenje,. - Pozitivan broj znači .
Često se kaže ne "kvadratni korijen", već "aritmetički kvadratni korijen". Termin "aritmetika" je izostavljen zbog stila.

D) Na pogledu prednjih kundaka možemo naznačiti tačnu vrijednost broja. Manje je bilo jasno da je veći, niži 4, ale manji, niži 5, oskolki

42 = 16 (manji, manji 17), i 52 = 25 (više, niži 17).
Vtím, najbliža vrijednost broja može se znati uz pomoć mikrokalkulatora, kako se osvetiti operacija kvadratnog korijena; vrijednost je skuplja 4.123.
otzhe,
Broj, lajk i pogled na broj nije racionalan.
e) Nije moguće izračunati, kvadratni korijen negativnog broja se ne može koristiti; zapis o prepuštanju razumu. Naredba je pogrešno predložena.
e) , oskílki 31 > 0 í 31 2 = 961. U takvim slučajevima možete osvojiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva i mikrokalkulator.
g), krhotine 75 > 0 i 75 2 = 5625.
U najjednostavnijim slučajevima, vrijednosti kvadratnog korijena se broje u nizu: oskudne. bud. U situacijama preklapanja potrebno je donijeti tablicu kvadrata brojeva chi i izvršiti proračune s dodatnim mikrokalkulatorom. A kako buti, kako jednom rukom nema tablica, nema kalkulatora? V_dpovímo na lancu hrane, viríshivshi napadaju zadnjicu.

guza 2. Izračunati
Rješenje.
Prva faza. Nije bitno ako pogodite da vidpovid viide ima 50 íz "repa". U stvari, 50 2 = 2500, i 60 2 = 3600, a broj 2809 se mijenja između brojeva 2500 i 3600.

Druga faza. Znamo "rep", tobto. Ostaviću cifru glupog broja. Sve dok znamo da korijen raste, onda u budućnosti možete imati 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ili 59. Potrebno je provjeriti samo dva broja: 53 i 57 Rezultat je drugi broj koji se završava brojem 9, zatim isti broj koji se završava brojem 2809.
Maêmo 532 = 2809 tse onih koji su nam potrebni (imali smo sreće, protraćeni smo u "jabuci"). Otzhe, = 53.
prijedlog:

53
primjer 3. Noge pravorezanog trikutnika su debljine 1 cm i 2 cm.Zašto je hipotenuza trikutnika? (Mal.77)

Rješenje.

Brzo slijedimo geometriju Pitagorine teoreme: zbir kvadrata dužina nogu ravnog trikota jednak je kvadratu dužine njegove hipotenuze, pa je a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - krakovi, c - hipotenuza pravorezanog trikota.

Misliti,

Ova stražnjica pokazuje da uvođenje kvadratnog korijena nije matematička greška, već objektivna nužnost: u stvarnom životu postoje situacije čiji matematički modeli mogu prevazići operaciju forsiranja kvadratnog korijena. Možda je najvažnija od takvih situacija vezana za
rozvyazannyam trg rivnyan. Dosi, koristeći kvadrat jednak ax 2 + bx + c \u003d 0, ili smo lijevi dio rasporedili u množitelje (što se pokazalo daleko od stvarnosti), ili su postigli grafičke metode (koje nisu previše fensi, ali lijepe ). Zaista za vizualizaciju
korijen x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0

osveta, kao što vidite, znak kvadratnog korijena. Qi formule zastosovuyutsya praktično u takvom rangu. Hajde, na primjer, trebaš podijeliti 2x 2 + bx - 7 = 0. Ovdje a = 2, b = 5, c = - 7. Kasnije,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali je poznat. Misliti,

Više smo odredili, što nije racionalan broj.
Matematičari takve brojeve nazivaju iracionalnim. Iracionalno - bilo da se radi o broju uma, kao da se kvadratni korijen ne pojavljuje. Na primjer, i sl. - Iracionalni brojevi. U 5 izvještaja govorit ćemo o racionalnim i iracionalnim brojevima. Racionalni i iracionalni brojevi odjednom postaju bezlični realni brojevi, tj. bezlični brojevi, sa kojima možemo da operišemo u stvarnom životu (za
vijesti). Na primjer, sve su to važeći brojevi.
Isto tako, kako smo već označili koncept kvadratnog korijena, možemo dodijeliti koncept kubnog korijena: kubni korijen nepoznatog broja a naziva se meni nepoznat broj, čija je kocka broj. Inače, očigledno, ljubomora znači da b 3 \u003d a.

U kursu algebre 11. razreda sve je moguće.

Koncept kvadratnog korijena nepoznatog broja

Pogledajmo poravnanje x2 = 4. Razložimo ga grafički. Za koga u jednom sistemu koordinate zbuduêmo parabolu y = x2 i prava linija y = 4 (sl. 74). Smrad je zatamnjen na dvije tačke A (- 2; 4) i B (2; 4). Tačke apscise A i B jednake su korijenima x2 = 4. Također, x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovujuči tako je, znamo da je korijen jednak x2 = 9 (razd. sl. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

A sada pokušajmo rozv'yazati jednako x2 = 5; geometrijske ilustracije prikazane su na sl. 75. Jasno je da postoje dva korijena x1 i x2, štaviše, broj brojeva, kao i u dva nagiba naprijed, jednak je za apsolutnu vrijednost i dužinu iza znaka (x1 - - x2) ako možete lako pronađi ih (jer bi ih mogao znati a da se ne zamaraš grafovima), ako je x2 = 5 desno, to nije tako: ne možemo pokazati značenje korijena iza fotelja, možemo ga staviti samo u jedan root tri tačke levo od tačke - 2, a druga - tri desno od tačke 2.

Ale, čeka nas neprihvatljivo iznenađenje. Čini se, ne postoji takav razlomci DIV_ADBLOCK32">

Prihvatljivo je da je to tako kratkotrajan dríb, za koji je smirenost pobjednička https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, tj. m2 = 5n2. Preostala ljubomora to znači prirodni broj m2 se može podijeliti bez viška sa 5 (privatni široki ima n2).

Kasnije se broj m2 završava brojem 5, brojem 0. Ali prirodni broj m završava se brojem 5, brojem 0, tj. broj m se dijeli sa 5 bez viška. Inače, izgleda da ako je broj m podijeljen sa 5, onda je privatni broj prirodan broj k. Ze znači da je m = 5k.

A sad se pitam:

Zamislite 5k zam_st m za pershu smirenost:

(5k) 2 = 5n2, zatim 25k2 = 5n2 ili n2 = 5k2.

Preostala ljubomora znači da je broj. 5n2 je podijeljeno sa 5 bez viška. Rozmirkovuchi, kao i više, dolazimo do visnovke o onima da je broj n djeljiv sa 5 bez višak.

Takođe, m je podeljeno sa 5, n je podeljeno sa 5, kasnije, dríb može biti kratak (sa 5). A onda smo dozvolili da dribling nije bio kratak. Zašto je na desnoj strani? Zašto, s pravom mirkuyuchi, došli smo do tačke apsurda, ili, kako matematičari često kažu, oduzeli brisanje"! ).

Ako, kao rezultat zakonskog mirkuvana, umom dođemo do super-preciznosti, onda smo lišeni brkova: naše priznanje je pogrešno, onda su bili u pravu oni koje je trebalo dovesti do toga.

Oče, lebdi samo po tvom redu racionalni brojevi(A ostale brojeve još uvijek ne znamo), jednako x2 = 5 i ne možemo ga pobijediti.

Nakon što su unaprijed proučavali sličnu situaciju, matematičari su shvatili da je potrebno smisliti način da opišu moj matematički jezik. Uveli su naizgled novi simbol, koji su nazvali kvadratni korijen, a za dodatni simbol korijena jednak x2 = 5 zapisali su ga ovako: ). Sada, iz bilo kojeg razloga, x2 = a, de a > Oh, možete znati korijen - to su brojevi https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} nije zdrava i nije suva.
To znači da to nije racionalan broj, već broj nove prirode, o takvim brojevima ćemo posebno govoriti kasnije, podijeljen na 5.
Za sada je manje značajan, ali je novi broj između brojeva 2 i 3, krhotine 22 = 4, a manje, niže 5; Z2 \u003d 9, i više niže od 5. Možete odrediti:

Još jednom, poštovanje: tabele imaju manje pozitivnih brojeva, dijelovi nisu dodijeljeni određenom kvadratnom korijenu. Ako je, na primjer, = 25 - jednakost tačna, prijeđite na sljedeći unos u zapis kvadratnog korijena (da napišete šta). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- Pozitivan broj znači https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Bilo je razumnije da je veći, niži 4, ale, manji, niži 5, 42 = 16 (manji, niži 17) i 52 = 25 (manje veći, manji 17).
Vtím, najbliža vrijednost broja može biti poznata za pomoć mikrokalkulator kako osvetiti operaciju kvadratnog korijena; vrijednost je skuplja 4.123.

Broj, lajk i pogled na broj nije racionalan.
e) Nije moguće izračunati, kvadratni korijen negativnog broja se ne može koristiti; zapis o prepuštanju razumu. Naredba je pogrešno predložena.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} krhotine 75 > 0 í 752 = 5625.

U najjednostavnijim slučajevima, vrijednosti kvadratnog korijena se broje višestruko:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Rješenje.
Prva faza. Nije bitno ako pogodite da vidpovid viide ima 50 íz "repa". U stvari, 502 = 2500, i 602 = 3600, a broj 2809 se mijenja između brojeva 2500 i 3600.

Pogledom još jednom u znak... I idemo!

Počnimo od jednostavnog:

Khvilinka. tse, a tse znači da to možemo napisati ovako:

Osvojen? Osa vašeg napredovanja:

Korijen brojeva, šta se dogodilo, ne ističe se? Nemojte bída - osovina vas tako primijeniti:

I koliko množitelja nisu dva, već više? Isto! Formula za množenje korijena funkcionira s tim da li postoji bilo koji broj množitelja:

Sada ću to sam uraditi:

Prijedlozi: Dobro urađeno! Čekaj, sve je lako, znaš tablicu množenja!

Rozpodíl koreniv

Puno smo ukorijenili, sad idemo na vlast.

Pretpostavljam da formula za zloglasne izgleda ovako:

Šta to znači root iz dijela privatnog korijena.

Pa, hajde da pogledamo zadnjice:

Axis i all science. A os je takav primjer:

Nije sve tako glatko, kao prvi guz, ale, kao bačiš, nema ničeg preklapanja.

I šta, kako se napiti takav viraz:

Potrebno je jednostavno zastosuvat formulu na kapiji direktno:

A os je takav primjer:

Da li mozete da vidite ovakav viraz:

Svejedno, samo ovdje trebate pogoditi kako pomaknuti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i okrenite se!). Pogađate? Sada to vidimo!

Zaneseni, što ste sa nama, naleteli smo, sada ćemo pokušati da iskorenimo svet.

Zvedennya u stopalu

I šta ćete učiniti, kao kvadratni korijen na kvadrat? Jednostavno je, pogađamo smisao kvadratnog korijena broja - cijeli broj, kvadratni korijen neke vrste.

Dakle, kako da kreiramo broj, kvadratni koren određenog broja, kvadrat, šta se onda uzima?

Pa, to je super!

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A šta će biti korijen drugog svijeta? Ništa strašno!

Potražite tu logiku i zapamtite snagu i sposobnost korak po korak.

Pročitajte teoriju na temu "" i bit će vam krajnje jasno.

Os, na primjer, takav viraz:

Čija će guza imati muška stopala, a šta će vino biti nespareno? Pa, znam, zaustavi nivo moći i raširi sve u množitelje:

Od ove tačke sve je jasno, ali kako osvojiti korijen broja na svijetu? Osa, na primjer:

Lako se pije, zar ne? A šta je sa više od dva koraka? Dorimuëmosya íêí̈ zh logika, vikoristuyuyuchi stepene snage:

Pa, kako su svi razumjeli? I sami primijenite ove iste stihove:

Os i vídpovídí:

Uveden znak korijena pid

Zašto nismo naučili kako raditi s korijenima! Trebalo je samo malo vremena da pokušamo unijeti broj korijena!

Previše je lako!

Pretpostavimo da imamo broj

Šta možemo s njim? Pa, zvichayno, zatvori trojstvo pod korijen, sjećajući se istovremeno da je trojka kvadratni korijen!

Šta nam još treba? Tako je jednostavno da proširimo naše mogućnosti savršenim aplikacijama:

Kakva je ta moć korijena? Da li je to zaista pitanje života? Na meni, tako je! Tilki Imajte na umu da pozitivnom broju možemo dodati samo kvadratni korijen.

Virish nezavisno os zadnjice -
Požurio? Hajde da se začudimo, šta se vidi u sebi:

Dobro urađeno! Imate dovoljno daleko da unesete broj píd znak korijena! Pređimo na nešto što nije manje važno - pogledajmo kako ispraviti brojeve da bismo se osvetili kvadratnom korijenu!

Popravak korijena

Kako bi bilo da naučimo odgonetati brojeve, kako se osvetiti kvadratnom korijenu?

Nekako jednostavno. Često kod velikih i trivijalnih viraza, koji govore u snu, uzimamo iracionalne dokaze (zapamtite, šta je to? Danas smo već pričali o vama!)

Otrimani vídpovídí moramo se raširiti na koordinatnoj liniji, na primjer, da odredimo koji je interval prikladan za rozvyazuvannya rivnyannya. Prva osovina ovdje krivi zakovik: nema kalkulatora u upotrebi, ali bez njega, kako otkriti koji je broj veći, a koji manji? Otozh i out!

Na primjer, vyznach, šta je više: chi?

Nećete odmah reći. Pa, šta, da li je brzo izvući stepen uvedenog broja pod znakom korena?

Nastavi:

Pa, očigledno, što je veći broj pod znakom korena, veći je i sam koren!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi čvrsto robimo visnovok, scho. I niko nas ne može promijeniti sa druge strane!

Predviđanje korijena velikih brojeva

Pred kim smo uveli množilac pod znakom korena, ali kako da mu zamerim? Samo treba da položite jogo na multiplikatore i povucite one koji vuku!

Bilo je moguće piti na drugačiji način i širiti ga na druge multiplikatore:

Nije loše, zar ne? Be-yaky íz tsikh podkhodív vírniy, viríshuy kao ti zgodno.

Aranžman za multiplikatore će biti na sreću sa implementacijom takvih nestandardnih zadataka, poput osovine lanca:

Ne lakaêmos, ali diemo! Sastavili smo kožni multiplikator ispod korena na okremi multiplikator:

A sada probajte sami (bez kalkulatora! Na jogi nećete moći spavati):

Hiba tse kinets? Neka vas pivdoroz ne zavara!

Axis i sve, ne tako sve i strašno, zar ne?

Wiishlo? Bravo, u pravu si!

A sada probajte ovu guzicu virishiti:

A zadnjica je mitzny lonac, tako da ga nećete moći odmah podići, kao da ćete zakoračiti u novi. Ale nam vina, očito, u zube.

Pa, kako bi bilo da se dogovorimo za množitelje? Veoma je poštovanje što možete dodati broj (pretpostavljamo znakove djeljivosti):

A sada, probajte sami (znam, bez kalkulatora!):

Pa scho, wiyshlo? Bravo, u pravu si!

P_vedemo p_bags

Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nepoznatog broja naziva se takav nepoznati broj, kvadrat nekog drugog broja.
.
Ako jednostavno uzmemo kvadratni korijen svega, onda uvijek uzimamo jedan nevidljivi rezultat.
Moć aritmetičkog korijena:
Kada je kvadratni korijen jednak, potrebno je zapamtiti da što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen.

Kako vam je kvadratni korijen? Je li sve imalo smisla?

Pokušali smo vam bez vožnje objasniti sve što je potrebno znati u snu o kvadratnom korijenu.

Sada tvoj đavo. Napišite nam odgovarajuću temu za vas.

Prepoznavši te sada, sve je bilo tako jasno.

Pišite u komentarima i sretno na spavanju!

At tsíy statti mi zaprovadimo razumjeti korijen broja. Dyatimemo sekvencijalno: počevši od kvadratnog korijena, prijeđimo na opis kubnog korijena, nakon čega možemo razumjeti korijen koji označava korijen n-tog stepena. Istovremeno uvodi ime, znak, predlaže primjenu korijena i daje potrebna objašnjenja za taj komentar.

Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Za razumijevanje značenja korijena iz broja i kvadratnog korijena iz zokrema neophodna je majka. U ovom trenutku, mi često zishtovhuvatimosya s drugim korakom broja - kvadratom broja.

Pochnemo s kvadratni korijen nazivnik.

Imenovanje

Kvadratni korijen od a- Tse broj, kvadrat nekog starog a.

Schob vodi primijeniti kvadratni korijen, Uzmimo neke brojeve, na primjer, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Zatim, za date zadatke, broj 5 je kvadratni korijen broja 25, brojevi −0,3 i 0,3 su kvadratni korijeni od 0,09, a 0 je kvadratni korijen iz nule.

Klizač označi, za bilo koji broj a ísnuê, kvadrat koho dorivnuê a. I za sebe, za bilo koji negativan broj a, nemojte koristiti isti decimalni broj b, kvadrat bilo kojeg drugog broja a. Istina, jednakost a=b 2 je nemoguća za bilo koji negativ a, krhotine b 2 - ne znam broj za bilo koje b. na takav način, na bezličnim realnim brojevima ne postoji kvadratni korijen negativnog broja. Drugim riječima, na bezličnim realnim brojevima, kvadratni korijen negativnog broja se ne ističe i nema smisla.

Zvuči kao logična hrana: “A koliki je kvadratni korijen od a da li ima puno a”? Vidpovid - tako. Na osnovu ove činjenice, važna je konstruktivna metoda kako bi se dobila značajnost vrijednosti kvadratnog korijena.

Zatim iznesite logičniji razlog: "Koji je broj svih kvadratnih korijena datog beskonačnog broja a - jedan, dva, tri, više"? Osa v_dpov_d na novom: ako je a jednako nuli, tada je jedan kvadratni korijen od nule nula; na primjer, a je pozitivan broj, broj kvadratnih korijena iz broja a jednak je dva, štoviše, korijen je ê. Obguruntuemo tse.

Zbogom a=0 . S druge strane, pokazuje se da je nula istinita kvadratnim korijenom od nule. Razlog očigledne jednakosti 0 2 =0 0=0 je oznaka kvadratnog korijena.

Sada možemo reći da je 0 jedan kvadratni korijen od nule. Ubrzavanje metodom uviđanja neprihvatljivog. Pretpostavimo da je broj b poznat kao isti broj kao nula, ali je kvadratni korijen od nule. Todi maê vykonuvatisya umova b 2 =0, što je nemoguće, krhotine za be-yakom vídminnym víd nula b vrijednost virazu b 2 ê pozitivno. Došli smo do super oštrine. Potrebno je donijeti da je 0 jedan kvadratni korijen od nule.

Prelazimo na vipadkív, ako je a pozitivan broj. Rečeno nam je više, da morate koristiti kvadratni korijen bilo kojeg broja, neka je kvadratni korijen a jednak broju b. Prihvatljivo je da je ê broj c, ali i ê je kvadratni korijen od a. Tada je kvadratni korijen pravednosti b 2 = a í c 2 = a, njih sli, sho b 2 − c 2 = a−a = 0, ali krhotine b 2 − c 2 = (b− c) ( b + c ) , tada (b-c) · (b + c) = 0 . Ljubomora je oduzeta snazi moći díy íz díysnimi brojevima možda samo tada, ako je b-c=0 ili b+c=0. Ovim redoslijedom, brojevi b i c su jednaki ili protilegirani.

Ako dozvolimo da je broj d, sa još jednim kvadratnim korijenom na skladištu a, onda zrcaljenjem, slično onima koje smo već ukazali, treba dovesti do toga da je d bliži broju b ili broju c . Također, broj kvadratnih korijena iz pozitivnog broja jednak je dva, štoviše, kvadratni korijen je suprotan brojevima.

Za efikasnost rada s kvadratnim korijenima, negativni korijen se „pojačava“ kao pozitivan. Z tíêyu metodu treba uvesti izvođenje aritmetičkog kvadratnog korijena.

Imenovanje

Aritmetički kvadratni korijen negativnog broja a- Tse nevíd'êmne broj, kvadrat koji dovnyuê a.

Za aritmetički kvadratni korijen skladišta a uzima se vrijednost. Znak se naziva aritmetički znak kvadratnog korijena. Yogo se takođe naziva znakom radikala. Ovo može djelomično biti kao „korijen“, a također i „radikal“, što znači isti objekat.

Broj pod znakom aritmetičkog kvadratnog korijena naziva se korijenski broj, a viraz pod znakom korijena - subroot virazom, u njihovom terminu "podkorijenski broj" se često zamjenjuje sa "podkorijenski broj viraz". Na primjer, u unosu je broj 151 glavni korijenski broj, au unosu viraz a korijen je viraz.

Prilikom čitanja često se izostavlja riječ "aritmetika", na primjer, zapis se čita kao "kvadratni korijen od sedam dvadeset devet centi". Riječ "aritmetika" se koristi samo jednom, ako želite biti posebno očigledni, možete ići oko pozitivnog kvadratnog korijena broja.

U svjetlu uvedene vrijednosti, aritmetički kvadratni korijen aritmetičkog kvadratnog korijena ima istu vrijednost kao i svaki nenegativni broj a.

Kvadratni korijen pozitivnog broja a iza dodatnog znaka aritmetičkog kvadratnog korijena zapisuje se kao i. Na primjer, kvadratni korijen broja 13 ê i. Aritmetički kvadratni korijen od nule jednak je nuli, a zatim . Za negativne brojeve a, unosi mi nisu podložni senzaciji do događaja kompleksni brojevi. Na primjer, da se oslobodi osjećaj izražavanja koji.

Za podvreće od značaja kvadratnog korena u prvi plan se stavlja snaga kvadratnog korena, što je najverovatnije praktično.

Na kraju ove točke, vrijedno je poštovati da je kvadratni korijen broja a ê rješenja oblika x 2 \u003d bolja promjena x.

Kubični korijen broja

Definicija kubnog korijena skladište a je dato na isti način kao i kvadratni korijen. Zasnovan je samo na razumijevanju kocke broja, ali ne i kvadrata.

Imenovanje

Kubni korijen broja a naziva se broj čija je kocka jednaka a.

Navigable primijeniti kubni korijen. Za koji broj brojeva, na primjer, 7 , 0 , −2/3 znam njihovu y kocku: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Dakle, na osnovu oznake kubnog korijena, možete potvrditi da je broj 7 kubni korijen od 343, 0 je kubni korijen od nule, a -2/3 je kubni korijen od -8/27.

Možete pokazati da je kubni korijen skladišta a, na kvadratnom korijenu, zavzhdi ísnuê, štaviše, za nenegativan a , ali za bilo koji realan broj a. Za koga možete pobijediti na isti način, o čemu smo pogodili kvadratni korijen.

Štaviše, više ne postoji ni jedan kubni korijen za dati broj a. Donosimo ostatak čvrstine. U ovom kontekstu, možemo vidjeti tri vipada: a je pozitivan broj, a=0 i a je negativan broj.

Lako je pokazati da ako je kubni korijen od a pozitivan, ne može biti ni negativan broj ni nula. Istina, neka je b ê kubni korijen za a, tada za isto možemo napisati jednakost b 3 \u003d a. Očigledno, sigurnost može biti tačna za minus b í za b=0 , šiljci za negative b 3 =b·b će očito biti negativan broj chi nula. Također, kubni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj.

Sada je prihvatljivo da broj b ima jedan kubni korijen više od broja a, značajno jedan c. Tada je c 3 = a. Kasnije, b 3 −c 3 =a−a=0 , ali b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(formula za kratko množenje razlika kockica), zvijezde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Otrimanova ljubomora je moguća samo ako je b−c=0 ili b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve jednakosti moguće je b=c, a drugog rješenja nema, jer je lijevi dio pozitivan broj za bilo koji pozitivan broj b í c kao zbir tri pozitivna sabirka b 2 , b c í c 2 . Cim je donio jedinstvo kubnog korijena pozitivnog broja a.

Kada je a=0, kubni korijen skladišta aê je veći od broja nula. Jasno je da ako pretpostavite da se koristi broj b, ako vidite nulu kao kubni korijen od nule, onda je kriva jednakost b 3 = 0, jer je to moguće samo s b = 0.

Za negativno a, možete izazvati zrcaljenje, slično pozitivnom a. Prvo, pokazano je da kubni korijen negativnog broja ne može biti jednak pozitivnom broju, niti nuli. Na drugačiji način, pretpostavimo da postoji još jedan kubni korijen iz negativnog broja i pokazano je da su vina jezika u kombinaciji s prvim.

Otzzhe, zavzhd ísnuíê koríních s bilo kojeg datog decimalnog broja a, štoviše, jedan.

Damo oznaka aritmetičkog kubnog korijena.

Imenovanje

Aritmetički kubni korijen beskonačnog broja a meni se zove nepoznat broj, kocka nekog starog a.

Aritmetički kubni korijen nepoznatog broja a označen je kao znak koji se zove znak aritmetičkog kubnog korijena, a broj 3 u ovom zapisu se zove korijenski indikator. Broj pod znakom korijena - tse korijenski broj, viraz pod znakom korijena - tse subroot viraz.

Ako želite da se aritmetičkom kockom korijenu dodijele samo negativni brojevi a, možete i ručno osvojiti unose, za koje znak aritmetičkog kubnog korijena mijenja negativne brojeve. Hajde da to sumiramo ovako: , de a je pozitivan broj. Na primjer, .

Govorit ćemo o snazi kubnog korijena u glavnom članku o moći korijena.

Izračun vrijednosti kubnog korijena naziva se izračun kubnog korijena, razlog je preuzet iz članka heroja korijena: načini, primjena, rješenja.

Na kraju ovog pasusa, recimo da je kubni korijen skladišta a ê rješenja oblika x 3 =a.

Korijen n-te faze, aritmetički korijen faze n

Lako je razumjeti korijen broja - predstavljamo oznaka korijena n-te faze za n.

Imenovanje

Koren n-tog stepena broja a- Tse broj, n-ti korak onoga što je skuplje a.

Iz kojeg se imenovanja shvatilo da je korijen prve faze broja a broj a, uzete su krhotine iste faze s prirodnim indikatorom a 1 \u003d a.

Pažljivije smo pogledali nagibe korijena n-tog stepena pri n=2 i n=3 – kvadratni korijen i kubni korijen. Dakle, kvadratni korijen je korijen drugog nivoa, a kubni korijen je korijen trećeg nivoa. Da biste izdvojili korijene n-tog koraka sa n=4, 5, 6, ... ih ručno podijelite u dvije grupe: prva grupa je korijen uparenih koraka (tobto, sa n=4, 6, 8, ...), druga grupa je korijen nesparenih koraka (tobto, na n=5, 7, 9, …). Stoga je korijen uparenih koraka sličan kvadratnom korijenu, a korijen nesparenih koraka je kubičan. Hajde da ih sredimo sa njima.

Pogledajmo korijene, čiji su koraci tipovi broja 4, 6, 8, ... Kao što smo već rekli, smrad je sličan kvadratnom korijenu broja a. To je korijen svakog uparenog koraka od broja a ísnuê samo za ne mnogo a. Štaviše, ako je a=0, tada je korijen a jedan i jednak nuli, a ako je a>0, tada postoje dva korijena uparenog koraka iz broja a, štoviše, oni su suprotni brojevi.

Obguruntuemo ostaje stvrdnut. Neka je b korijen uparenog stepena (značajno í̈í̈ yak 2m, de m je prirodan broj) iz broja a. Pretpostavimo da je broj c još jedan korijen koraka 2·m u skladištu a. Tada je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Znamo oblik b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) onda (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z íêí̈ íí̈ íí̈ víplivaêê, scho b−c=0 , ili b+c=0 , ili b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prva dva jednaka znače da su brojevi b i c jednaki ili su b i c protilegiji. A ostatak jednakosti je pravedan samo za b = c = 0, krhotine lijevog dijela lijevog dijela su virizirane, jer je nenegativna za bilo koje b i kao zbir nenegativnih brojeva.

Što se tiče korijena n-tog stepena sa nesparenim n, onda je smrad sličan kubnom korijenu. Dakle, korijen svakog nesparenog stepena iz broja a koristi se za bilo koji decimalni broj a, štaviše, za dati broj a vín ê êdine.

Jedinstvo korijena nesparenog koraka 2 m+1 u skladištu a dovodi se po analogiji sa dokazom jedinstva kubnog korijena a. Samo ovde je zamenik ljubomore a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) pobjednost oblika b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz u ostatku luka može se prepisati kao b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primjer, pri m=2 možda b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Ako su a i b uvredljivi pozitivni, a negativni negativni pozitivni broj, tada je viraz b 2 +c 2 +b·c, koji je u okrilju najvišeg nivoa ulaganja, pozitivan kao zbir pozitivnih brojeva. Sada, stršeći uzastopno do viraza na lukovima prednjih stepenica ulaganja, prelazimo na to da je i smrad pozitivan kao zbir pozitivnih brojeva. Za rezultat je neophodno da je jednakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 Moguće je samo jednom, ako je b−c=0, onda ako je broj b jednak broju c.

Došlo je vrijeme da istražimo korijene n-tog nivoa. Za koga se daje oznaka aritmetičkog korena n-tog stepena.

Imenovanje

Aritmetički korijen n-tog stepena beskonačnog broja a broj se zove meni nepoznat, n-ti korak nekakvog a.