Изкореняване от неизвестно число. Корен квадратен. Подробна теория с приложения. Корен квадратен, корен квадратен аритметичен

Площта на квадратен парцел е 81 dm2. Познайте страната на йога. Да приемем, че дължината на страната на квадрата е добра хдециметри. Todi зоната на къщата е по-скъпа х² квадратни дециметра. Парчета за ума, тогава площта е 81 dm² х² \u003d 81. Дължината на страната на квадрата е положително число. Положително число, чийто квадрат е 81, е числото 9. При решаване на задачи е необходимо да се знае числото x, чийто квадрат е 81, за да се реши задачата х² \u003d 81. Цената има два корена: х 1 = 9 х 2 \u003d - 9, така че 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. Неправилните числа 9 і - 9 се наричат квадратни корени от числото 81.

Скъпи, това е един от квадратните корени х= 9 е положително число. Його се нарича аритметичен квадратен корен от числото 81 и обозначава √81, такъв ранг √81 = 9.

Аритметичният квадратен корен от число Асе нарича непознато за мен число, квадратът на някои стари А.

Например, числата 6 i - 6 са квадратни корени от числото 36. Когато числото 6 е аритметичен квадратен корен от числото 36, фрагментите 6 не са числото i 62 = 36. Числото - 6 не е аритметичният корен.

Аритметичен корен квадратен от число Аозначавано така: √ А.

Знакът се нарича знак на аритметичния корен квадратен; А- нарича се подкоренов вираз. Вираз √ АПрочети така: аритметичен квадратен корен от число А.Например √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. При спокойни настроения, ако е ясно, че има аритметичен корен, той ще бъде кратък: „корен квадратен от А«.

Стойността на корен квадратен в склада се нарича стойност на корен квадратен. Tsya diya е увит до квадрат.

Възможно е да се повдигне на квадрат независимо дали е число, но за да се получи квадратен корен е възможно да не е число. Например, не е възможно да се извлече корен квадратен от числото - 4. След като намерите такъв корен, тогава, като го разпознаете с буква х, Ще премахнем грешното равенство x² = - 4, така че си струва цената на неизвестно число, а отдясно - отрицателно.

Вираз √ А maє sens tilki за a ≥ 0. Стойността на квадратния корен може да се запише накратко по следния начин: √ a ≥ 0, (√А)² = А. Собствен капитал (√ А)² = Асправедливо за a ≥ 0. По такъв начин да се промени във факта, че корен квадратен от отрицателно число А dorivnyuє b, тогава в това √ А =b, е необходимо да преразгледаме какви са следните два ума: b ≥ 0, b² = А.

Корен квадратен от дроб

Да преброим. С уважение, че √25 = 5, √36 = 6 и е обратимо, че равенството побеждава.

така як i , тогава невъзмутимостта е вярна. Отже, .

Теорема:Якщо А≥ 0 и b> 0, така че коренът от дробта е равен на корена от книжката с номера, разделен на корена от банера. Необходимо е да се донесе, че: .

Бо √ А≥0 ta √ b> 0, тогава .

За yak_styu zvedennya фракция в крака и знака на квадратния корен теоремата е завършена. Нека да разгледаме много приложения.

Изчислете, за готовата теорема .

Друг задник: Донесете какво , като А ≤ 0, b < 0. .

Друг задник: Изчислете.

Обръщане на корен квадратен

Вината на множителя z-pіd към знака на корена. Нека се даде Вираз. Якщо А≥ 0 и b≥ 0, тогава следвайки теоремата за създаване на корен, можем да напишем:

Такава трансформация се нарича вина на множителя на знака z-pod на корена. Да погледнем дупето;

Изчислете при х= 2. Без средно заместване х= 2 в основата на viraz, за да се получи сгъваемо изчисление. Изчислението на Qi може да бъде простено, сякаш за обвиняване на знака z-pіd на коренните множители: . Замествайки сега x = 2, вземаме:.

По-късно, с вината на умножителя, коренният знак на знака на корена е подкорен на вираза във визията на творението, в който има един или повече умножители в квадратите на неизвестните числа. Тогава нека разработим теоремата за корена от извличането и да извлечем корена от умножителя на кожата. Нека да разгледаме задника: Прошка A \u003d √8 + √18 - 4√2 вина в първите два dodankív множители на коренния знак, otrimaêmo:. Насърчавам те, тази ревност справедливо само за А≥ 0 и b≥ 0. добре А < 0, то .

Нека разгледаме подравняването x 2 = 4. Нека го разделим графично. За cgo, в една координатна система, ще създадем парабола y \u003d x 2 i права линия y \u003d 4 (фиг. 74). Вонята е оцветена в две точки A (- 2; 4) и B (2; 4). Точките на абсцисата A и B са равни на корените x 2 \u003d 4. Освен това x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmіrkovuyuchi точно така, ние знаем, че коренът е равен на x 2 \u003d 9 (div. Фиг. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

А сега нека се опитаме да развържем равно на x 2 \u003d 5; геометричните илюстрации са представени на фиг. 75. Ясно е, че има два корена x 1 и x 2, освен това q числа, като i в два предни склона, са равни по абсолютна стойност и удължение за знака (x 1 - x 2) - Ale на отпред на предните склонове, коренните равни бяха лесно намерени (защото те могат да бъдат известни без белене на графики), с равен x 2 \u003d 5 вдясно не е така: зад фотьойлите не можем да покажем значението на корените, ние може само да настрои, че единият корен се корени три леви точки - 2, а другият е три пъти надясно

Точки 2.

Кое е числото (точката), как трите десни точки 2 и как на квадрат дават 5? Zrozumílo, sho tse 3, oskílki Z 2 = 9, т.е. излиза повече, по-ниско е необходимо (9\u003e 5).

Така че за нас числото е разпръснато между числата 2 и 3. Но между числата 2 и 3 има безлични рационални числа, напр. и т.н.. Възможно е сред тях да има такъв приятел, какво? Няма да имаме същите проблеми от равни на x 2 - 5, можем да напишем какво

Але, тук ни очаква неприемлива изненада. Оказва се, че няма такава част, за която ревността да побеждава
Доказателството на формулираното твърдение е сгъваемо. Тим не е по-малък, ние се ръководим от йога, парчетата са по-красиви и отзад, още по-добре да опитате йога интелект.

Приемливо е, че такъв краткотраен drіb, на як vykonuєtsya спокойствие. Тогава, тогава m2 = 5n2. Оставащото равенство означава, че естественото число m 2 се дели без излишък на 5 (за частен изглед n2).

По-късно числото m 2 завършва с числото 5, числото 0. Но естественото число m завършва с числото 5, числото 0, тогава. числото m се дели на 5 без излишък. В противен случай изглежда, че ако числото m е подразделено на 5, тогава частното изображение е естествено число k. Tse означава
че m = 5k.
И сега се чудя:
m 2 \u003d 5n 2;
Представете си 5k zam_st m за pershu eanimity:

(5k) 2 = 5n 2, тогава 25k 2 = 5n 2 или n 2 = 5k 2 .
Останалата ревност означава, че броят. 5n 2 се дели на 5 без излишък. Rozmіrkovuchi, като още повече, стигаме до visnovka за тези, че числото n се дели на 5 без излишък.
Също така, m е разделено на 5, n е разделено на 5, по-късно drіb може да бъде кратко (с 5). И тогава позволихме дрибълът да не е къс. Защо е отдясно? Защо, правилно mirkuyuchi, ние стигнахме до точката на абсурда, или, както математиците често казват, отнеха изтриването "!
Zvídsi robimo visnovok: няма такава фракция.
Методът на доказателство, на който упорито сме се спъвали, се нарича в математиката метод за доказване на противолегото. Същността на йога офанзива. Необходимо е да внесем твърдост в дякона, но допускаме това да е неприемливо (математиците изглеждат: „допустимо неприемливо” - не in sensi „неприемливо”, а в sensi „доколкото е необходимо”).
Ако в резултат на законно миркуван ние стигнем до свръхточност с ума, тогава сме ограбени от мустаци: признанието ни е погрешно, тогава онези, които трябваше да бъдат доведени до него, бяха прави.

По-късно са възможни само рационални числа (и все още не знаем други числа), равно на x 2 \u003d 5 не е възможно да се преодолее.
Проучвайки предварително подобна ситуация, математиците осъзнаха, че е необходимо да измислят начин да опишат моя математически език. Те въведоха нов символ в гледната точка, който нарекоха квадратен корен, а за допълнителния символ на корена, равен на x 2 \u003d 5, го записаха така:

очаква се: "корен квадратен от z 5"). Сега, за всякакъв вид равен ум, x 2 \u003d a, de a\u003e O, можете да знаете корена - те са числа , (Mal. 76).

Още небесна подкрепа, че числото не е цяло и не е дори.
Това означава, че това не е рационално число, а число от нова природа, за такива числа ще говорим специално по-късно, разделени на 5.
За момента е по-малко значим, но новото число е между числата 2 и 3, фрагментите 2 2 = 4 и по-малко, по-ниско 5; Z 2 \u003d 9 и ce по-ниско 5. Можете да посочите:

Вярно, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Вие можете
посочете:

наистина, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
На практика е важно да се отбележи, че числото е по-скъпо 2.23 или е по-скъпо 2.24, но това не е просто ревност, но ревността е близо до разпознаването на такъв победоносен символ.
Отже,

Обсъждане на решението на равно x 2 \u003d a; Прекарвайки време в нестандартна, нестандартна (като любящи астронавти) ситуация и без да знаят как да излязат от нея за допълнителна помощ, математиците прогнозират за математически модел, който преди това е бил използван от него, нов термин и нов значение (нов символ); с други думи, смрад за въвеждане на ново разбиране и след това увеличаване на силата на това
концепции. Самият Тим, новото разбиране на това йога разбиране става глава на Математическото движение. Направихме го по същия начин: те въведоха термина „корен квадратен от числото a“, въведоха символ за неговото значение и три години, за да спечелят силата на нова концепция. Досега знаем само едно нещо: че a > 0,
след това - положително число, което удовлетворява равенството x 2 \u003d a. С други думи, това е положително число, когато се повдигне на квадрат, излиза числото a.
Oskilki е равно на x 2 \u003d 0 maє корен x \u003d 0
Сега сме готови да дадем прочит на назначението.
Назначаване. Корен квадратен от неизвестно число се нарича такова неизвестно число, квадрат на някое старо число.

Има се предвид това число, а числото, при което се нарича коренно число.
Otzhe, сякаш a не е число, тогава:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
В този ранг viraz има по-малък смисъл за a > 0.
Кажи какво - един и същи математически модел (една и съща застоя между неизвестни числа
(и това b), но само приятел се описва с по-прост мой, по-нисък първи (победа прости символи).

Операцията за намиране на корен квадратен от отрицателно число се нарича промяна на корен квадратен. Tsya операция е обръщане чрез оживяване на площада. Ниво:

Още веднъж, уважение: таблиците имат по-малко положителни числа, фрагментите не са присвоени на определения квадратен корен. Искам, например, (- 5) 2 \u003d 25 - равенството е правилно, отидете на следващия запис с квадратен корен от варианта (така че напишете какво.)
не мога. За извинението,. - Положително число означава .
Често казват не "квадратен корен", а "аритметичен квадратен корен". Терминът "аритметика" е пропуснат в името на стила.

Г) На изгледа на предните приклади можем да посочим точната стойност на номера. По-малко ясно беше, че е по-голям, по-нисък 4, але по-малък, по-нисък 5, oskolki

42 = 16 (по-малък, по-нисък 17) и 52 = 25 (по-висок, по-нисък 17).
Vtіm, най-близката стойност на числото може да бъде известна с помощта на микрокалкулатор, как да отмъсти за операцията на квадратния корен; стойността е по-скъпа 4.123.
Отже,
Числото, харесайте и вижте числото не е рационално.
д) Не е възможно да се изчисли, не може да се използва корен квадратен от отрицателно число; запис на индулгенции към сетивата. Заповедта е предложена неправилно.
д) , oskílki 31 > 0 і 31 2 = 961. В такива случаи можете да спечелите таблицата с квадрати на естествени числа и микрокалкулатор.
g), фрагменти 75 > 0 и 75 2 = 5625.
В най-простите случаи стойностите на квадратния корен се броят в ред: оскъдни. пъпка. В ситуации на сгъване е необходимо да се изведе таблица с квадрати на числа chi и да се извършат изчисления с допълнителен микрокалкулатор. И как buti, как една ръка няма таблици, няма калкулатор? V_dpovіmo на веригата на храна, virіshivshi атакува задника.

дупе 2.Изчисли
Решение.
Първи етап.Няма значение дали предполагате, че vidpovid viide има 50 іz "опашка". Всъщност 50 2 = 2500 и 60 2 = 3600, а числото 2809 се променя между числата 2500 и 3600.

Друг етап.Ние знаем "опашката", tobto. Ще оставя фигурата на глупавия номер. Докато знаем, че коренът расте, тогава в бъдеще можете да имате 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59. Трябва да се проверят само две числа: 53 и 57 Резултатът е различно число, което завършва с числото 9, след това същото число, което завършва с числото 2809.
Maєmo 532 = 2809 tse тези, от които се нуждаем (имахме късмет, бяхме пропилени в „ябълката“). Отже, = 53.
Внушение:

53
пример 3.Дебелината на катетите на правоскроен трикутник е 1 см и 2 см. Защо е хипотенузата на трикутника? (Mal.77)

Решение.

Бързо следваме геометрията на Питагоровата теорема: сумата от квадратите на дължините на краката на право изрязано трико е равна на квадрата на дължината на неговата хипотенуза, така че a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - крака, c - хипотенуза на трико с права кройка.

да означава,

Този задник показва, че въвеждането на квадратния корен не е грешка на математика, а обективна необходимост: в реалния живот има ситуации, чиито математически модели могат да преодолеят операцията за принудително извличане на квадратен корен. Може би най-важната от подобни ситуации е свързана с
rozvyazannyam площад rivnyan. Dosi, използвайки квадрат, равен на ax 2 + bx + c \u003d 0, ние или поставихме лявата част в умножители (което се оказа далеч от реалността), или те отбелязаха графични методи (които не са твърде фантастични, но красиви ). Наистина за визуализация
корен x 1 и x 2 от квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0

отмъщение, както можете да видите, знакът за корен квадратен. Qi формулите се използват практически в такъв ранг. Хайде, например, трябва да разделите 2x 2 + bx - 7 = 0. Тук a = 2, b = 5, c = - 7. По-късно,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Дали е известен. да означава,

Още сме посочили, което не е рационално число.
Математиците наричат такива числа ирационални. Ирационално - било то число ум, сякаш корен квадратен не се появява. Например, и т.н. - Ирационални числа. В 5 доклада ще говорим за рационални и ирационални числа. Рационалните и ирационалните числа едновременно стават безлични реални числа, т.е. безлични числа, с които можем да оперираме в реалния живот (напр
Новини). Например, всичко това са валидни числа.
По същия начин, както вече обозначихме понятието квадратен корен, можем да присвоим понятието кубичен корен: кубичният корен на неизвестно число a се нарича число, което не ми е известно, чийто куб е число. В противен случай, очевидно, ревността означава, че b 3 \u003d a.

Всичко е възможно в курса по алгебра за 11 клас.

Концепцията за корен квадратен от неизвестно число

Нека разгледаме подравняването x2 = 4. Нека го разделим графично. За кого в една система координати zbuduєmo парабола y \u003d x2 i права линия y \u003d 4 (фиг. 74). Вонята е оцветена в две точки A (- 2; 4) и B (2; 4). Точките на абсцисата A и B са равни на корените x2 = 4. Освен това x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi така е, знаем, че коренът е равен на x2 = 9 (div. фиг. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

А сега нека опитаме rozv'yazati равно x2 = 5; геометричните илюстрации са представени на фиг. 75. Ясно е, че има два корена x1 и x2, освен това броят на числата, като и в два предни наклона, е равен на абсолютната стойност и дължината зад знака (x1 - - x2), ако можете лесно намерете ги (защото бихте могли да ги знаете, без да се занимавате с графики), ако x2 = 5 вдясно, не е така: не можем да покажем значението на корените зад креслата, можем да го поставим само в едно корентри точки вляво от точката - 2, а другата - три вдясно от точка 2.

Але, тук ни очаква неприемлива изненада. Явно няма такова дроби DIV_ADBLOCK32">

Допустимо е това да е толкова краткотраен drіb, за който спокойствието е победоносно https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, т.е. m2 = 5n2. Оставащата ревност означава това естествено число m2 може да се раздели без излишък на 5 (частната ширина има n2).

По-късно числото m2 завършва с числото 5, числото 0. Но естественото число m завършва с числото 5, числото 0, т.е. числото m се дели на 5 без излишък. В противен случай изглежда, че ако числото m е подразделено на 5, тогава частното изображение е естествено число k. Ze означава, че m = 5k.

И сега се чудя:

Представете си 5k zam_st m за pershu eanimity:

(5k) 2 = 5n2, тогава 25k2 = 5n2 или n2 = 5k2.

Останалата ревност означава, че броят. 5n2 се дели на 5 без излишък. Rozmirkovuchi, като повече, стигаме до visnovka за тези, че числото n се дели на 5 без излишък.

Също така, m е разделено на 5, n е разделено на 5, по-късно drіb може да бъде кратко (с 5). И тогава позволихме дрибълът да не е къс. Защо е отдясно? Защо, правилно mirkuyuchi, ние стигнахме до точката на абсурда, или, както математиците често казват, отнеха изтриването "! ).

Ако в резултат на законно миркуван ние стигнем до свръхточност с ума, тогава сме ограбени от мустаци: признанието ни е погрешно, тогава онези, които трябваше да бъдат доведени до него, бяха прави.

Татко, плаващ само в твоя ред рационални числа(И все още не знаем другите числа), равно на x2 = 5 и не можем да го победим.

Проучвайки предварително подобна ситуация, математиците осъзнаха, че е необходимо да измислят начин да опишат моя математически език. Те въведоха привидно нов символ, който нарекоха квадратен корен, а за допълнителния символ на корена, равен на x2 \u003d 5, го записаха така: ). Сега, независимо от причината, x2 = a, de a > О, можете да знаете корена - те са числа https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!}не е здрав и не е сух.
Това означава, че това не е рационално число, а число от нова природа, за такива числа ще говорим специално по-късно, разделени на 5.
Засега е по-малко значимо, но новото число е между числата 2 и 3, фрагментите 22 = 4 и по-малко, по-ниско 5; Z2 \u003d 9 и повече от 5. Можете да посочите:

Още веднъж, уважение: таблиците имат по-малко положителни числа, фрагментите не са присвоени на определения квадратен корен. Ако например = 25 - равенството е правилно, преминете към следващия запис на квадратния корен (за да напишете какво). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- Положително число означава https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. По-разумно беше да е по-голям, по-нисък 4, ейл, по-малък, по-нисък 5, 42 = 16 (по-малък, по-нисък 17) и 52 = 25 (по-малък, по-нисък 17).
Освен това, най-близката стойност на числото може да бъде известна за помощ микрокалкулаторкак да отмъстим за операцията за корен квадратен; стойността е по-скъпа 4.123.

Числото, харесайте и вижте числото не е рационално.
д) Не е възможно да се изчисли, не може да се използва корен квадратен от отрицателно число; запис на индулгенции към сетивата. Заповедта е предложена неправилно.
д) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Завданя" width="80" height="33 id=">!}!}фрагменти 75 > 0 і 752 = 5625.

В най-простите случаи стойностите на квадратния корен се броят кратно:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Завданя" width="65" height="42 id=">!}!}
Решение.
Първи етап.Няма значение дали предполагате, че vidpovid viide има 50 іz "опашка". Всъщност 502 = 2500 и 602 = 3600, а числото 2809 се променя между числата 2500 и 3600.

Още веднъж поглед към табелата... И да тръгваме!

Нека започнем от едно просто:

Хвилинка. tse и tse означава, че можем да го напишем така:

Завладян? Оста на вашия аванс:

Коренът на числата, какво се случи, наистина не се откроява? Не bіda - оста на вас така се прилага:

И колко множители не са два, а повече? Един и същ! Формулата за умножение на корени работи с това дали има някакъв брой множители:

Сега ще го направя сам:

Предложения:Много добре! Чакай, всичко е лесно, знаеш таблицата за умножение!

Розподил коренив

Пуснахме много корени, сега да преминем към властта.

Предполагам, че формулата за скандалния изглежда така:

Какво означава корен от част от частен корен.

Е, нека да разгледаме задниците:

Ос i цялата наука. И оста е такъв пример:

Всичко не е толкова гладко, като първи задник, ейл, като бачиш, няма нищо сгъване.

И какво, как да се напие такъв вираз:

Необходимо е просто да застосувате формула на портата директно:

И оста е такъв пример:

Можете ли да видите такъв вираз:

Все едно, само тук трябва да познаете как да преместите дробите (ако не си спомняте, погледнете темата и се обърнете!). Отгатване? Сега го виждаме!

Възхитени, че сте с нас, ние се натъкнахме, сега ще се опитаме да изкореним света.

Zvedennya в крака

И какво ще направите, като корен квадратен на квадрат? Просто е, отгатваме смисъла на корен квадратен от число - цялото число, корен квадратен от някакъв вид.

И така, от това как създаваме число, корен квадратен от определено число, квадрат, тогава какво се взема?

Е, страхотно е!

Нека да разгледаме примерите:

Всичко е просто, нали? И какъв ще бъде коренът на друг свят? Нищо страшно!

Потърсете тези логики и помнете силата и способността да правите стъпка по стъпка.

Прочетете теорията по темата "" и ще ви стане пределно ясно.

Ос, например, такъв вираз:

Чие дупе ще има мъжки крака, но какво ще бъде виното без чифт? Е, знам, спрете нивото на мощност и разпределете всичко в умножители:

От тук нататък всичко е ясно, но как да спечелим корена на числото в света? Ос, например:

Лесно се пие, нали? А какво ще кажете за повече от две стъпки? Dorimuёmosya ієї zh логика, vikoristuyuyuchi мощност стъпки:

Е, как всички разбраха? Приложете същите тези стихове сами:

A ос i vіdpovіdі:

Въведен знак за корен pid

Защо не се научихме как да работим с корени! Отне само малко време, за да се опитате да въведете броя на корените!

Твърде лесно е!

Да предположим, че имаме число

Какво можем да направим с него? Е, zvichayno, затворете тройката под корена, като си спомняте в същото време, че тройката е корен квадратен!

Какво друго ни трябва? Толкова е просто да разширим нашите възможности с перфектни приложения:

Каква е тази сила на корена? Наистина ли е въпрос на живот? При мен, точно така! Тилки Имайте предвид, че можем да добавим само квадратен корен към положително число.

Virish независимо оста на дупето -
Прибързано? Нека се чудим какво виждаш в себе си:

Много добре! Имате достатъчно далеч, за да въведете числото píd знак на корена! Нека да преминем към нещо, което е не по-малко важно - нека да разгледаме как да коригираме числата, за да отмъстим на квадратния корен!

Коренов ремонт

Какво ще кажете да се научим да намираме числата, как да отмъстим за квадратния корен?

Някак просто. Често при големите и тривиални вирази, които говорят насън, ние вземаме ирационални доказателства (помнете, какво е това? Днес вече говорихме за вас!)

Otrimani vіdpovіdі трябва да се разпространи върху координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за rozvyazuvannya rivnyannya. Първата ос тук обвинява заковика: не се използва калкулатор, но без него как да разкрия кое число е по-голямо и кое по-малко? Otozh i out!

Например, vyznach, какво е повече: чи?

Няма да кажете веднага. Е, какво, бързо ли е да изтеглите степента на въведеното число под знака на корена?

Продължавай:

Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!

Tobto. якщо, отже, .

Zv_dsi твърдо robimo visnovok, scho. И никой не може да ни промени от другата страна!

Предсказване на корените на големите числа

Пред кого въведохме множителя под знака на корена, но как да го виня? Просто трябва да поставите його на умножители и да издърпате тези, които дърпат!

Възможно е да се пие по различен начин и да се разпространява върху други множители:

Не е лошо, нали? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vírniy, virіshuy като теб удобно.

Подредбата за множители ще бъде в добро състояние с изпълнението на такива нестандартни задачи, като оста на веригата:

Не lakaєmos, но diemo! Сглобяваме кожен множител под корена на okremi множител:

А сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да можете да спите на йога):

Hiba tse kinets? Не се заблуждавайте от pivdoroz!

Ос и всичко, не толкова всичко и страшно, нали?

Wiishlo? Браво, прав си!

А сега опитайте този задник на virishiti:

И дупето е мицни гърне, така че няма да можете да го вземете веднага, сякаш ще преминете към нов. Але ни вина, очевидно, в зъбите.

Е, какво ще кажете за организиране на умножители? Голямо уважение е, че можете да добавите числото към (предполагаме знаците за делимост):

А сега опитайте сами (знам, без калкулатор!):

Добре, що, wiyshlo? Браво, прав си!

P_vedemo p_bags

Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неизвестно число се нарича такова неизвестно число, квадрат на някое друго число.
.
Ако просто вземем корен квадратен от всичко, тогава винаги вземаме един невидим резултат.
Сила на аритметичния корен:
Когато квадратният корен е равен, трябва да запомните, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.

Какъв е твоят корен квадратен? Има ли смисъл всичко?

Опитахме се да ви обясним, без да караме, всичко, което трябва да знаете насън за корен квадратен.

Сега вашият дявол. Напишете ни подходяща тема за вас.

Като те разпознах сега, всичко беше толкова ясно.

Пишете в коментарите и успех в съня ви!

At tsіy statti mi zaprovadimo разберете корена на числото. Dyatimemo последователно: започвайки от квадратния корен, нека да преминем към описанието на кубичния корен, след което можем да разберем корена, обозначаващ корена на n-та степен. В същото време той въвежда име, знак, предлага приложение на корени и дава необходимите обяснения за този коментар.

Корен квадратен, корен квадратен аритметичен

За да разбере значението на корена на числото и квадратния корен на зокрема, е необходимо на майката. В този момент mi често zishtovhuvatimosya с друга стъпка на числото - квадрат на числото.

Почнем с корен квадратен знаменател.

Назначаване

Корен квадратен от a- Tse номер, квадратът на някои стари a.

Schob олово приложете корен квадратен, Да вземем някои числа, например 5 , −0,3 , 0,3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Тогава за дадени задания числото 5 е корен квадратен от числото 25, числата −0,3 и 0,3 са корен квадратен от 0,09, а 0 е корен квадратен от нула.

Плъзгащи се обозначават, за какъвто и да е номер a isnuê, квадратът на koho dorivnuê a. И за себе си, за всяко отрицателно число a, не използвайте същото десетично число b, квадрат на всяко друго число a. Вярно е, че равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a , парчета b 2 - не знам числото за всяко b . по такъв начин, върху безличните реални числа няма корен квадратен от отрицателно число. С други думи, върху безличните реални числа квадратният корен от отрицателно число не се откроява и няма смисъл.

Звучи като логична храна: „И какъв е квадратният корен от a за това дали има много a“? Vidpovid - така. Въз основа на този факт е важен конструктивен метод, за да се спечели значимостта на стойността на квадратния корен.

След това изложете по-логична причина: „Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено безкрайно число a - едно, две, три, още повече“? Ос v_dpov_d на нов: ако a е равно на нула, тогава единичният корен квадратен от нула е нула; например a е положително число, броят на квадратните корени от числото a е равен на две, освен това коренът е є. Обгурунтуемо це.

Довиждане a=0. От друга страна е показано, че нулата е вярна чрез корен квадратен от нула. Причината за очевидната четност 0 2 =0 0=0 е обозначението на квадратния корен.

Сега можем да кажем, че 0 е единичен квадратен корен от нула. Ускоряване чрез метода на виждане на неприемливото. Да приемем, че е известно, че числото b е същото число като нула, но е квадратен корен от нула. Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, което е невъзможно, парчета за be-yakom vіdminnym от нула b стойност virazu b 2 е положителна. Ние направихме супер острота. Необходимо е да се докаже, че 0 е единичен квадратен корен от нула.

Преминаваме към vipadkіv, ако a е положително число. Казаха ни още, че трябва да използвате корен квадратен от произволно число, нека корен квадратен a е равен на числото b. Приемливо е є да е числото c, но също така є да е корен квадратен от a. Тогава квадратният корен от справедливостта b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, техните sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, но парчетата b 2 − c 2 = (b− c) ( b + c ), тогава (b-c) · (b + c) = 0 . Ревността се отнема от силата правомощия dіy із dіysnimi числаможе би само тогава, ако b-c=0 или b+c=0. В този ред числата b и c са равни или противоположни.

Ако допуснем, че числото d, с още един квадратен корен в склада a, то чрез огледално отразяване, подобно на тези, които вече посочихме, трябва да се доведе, че d е по-близо до числото b или до числото c . Освен това броят на квадратните корени от положително число е равен на две, освен това квадратният корен е противоположни числа.

За ефективност на работата с квадратни корени, отрицателният корен е „подсилен“ като положителен. Z tієyu метод, който трябва да бъде въведен извличане на аритметичния квадратен корен.

Назначаване

Аритметичният корен квадратен от отрицателно число a- Tse nevіd'êmne число, квадратът на който dovnyuê a.

За аритметичен корен квадратен от склад a се взема стойността. Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен. Його се нарича още знакът на радикала. Това може да бъде отчасти малко като „корен“, а също и „радикал“, което означава същия обект.

Числото под знака на аритметичния корен квадратен се нарича корен номер, и вираз под знака на корена - подкорен виразом, в техния термин "подкоренно число" често се заменя с "подкоренно число viraz". Например в записа числото 151 е основното коренно число, а в записа viraz a коренът е viraz.

При четене думата "аритметика" често се пропуска, например записът се чете като "корен квадратен от седем двадесет и девет цента". Думата "аритметика" се използва само веднъж, ако искате да бъдете особено крещящи, можете да използвате положително квадратния корен от числото.

В светлината на въведената стойност, аритметичният корен квадратен от аритметичния корен квадратен има същата стойност като всяко неотрицателно число a.

Квадратният корен от положително число a зад допълнителния знак на аритметичния квадратен корен се записва като i. Например корен квадратен от числото 13 є i. Аритметичният корен квадратен от нула е равен на нула, тогава . За отрицателни числа a, записите mi не са обект на усещане до събитието комплексни числа. Например, за облекчаване на чувството за изразяване, че.

За подсумите със значението на квадратния корен силата на квадратния корен е изведена на преден план, което е най-вероятно да бъде практично.

В края на тази точка си струва да се има предвид, че квадратният корен от числото a е решения на формата x 2 \u003d по-добра промяна x.

Кубичен корен от число

Дефиниция на кубичния коренсклад a се дава по същия начин като корен квадратен. Тя се основава само на разбирането на куба на числото, но не и на квадрата.

Назначаване

Корен кубичен от числото aсе нарича числото, чийто куб е равен на а.

Плавателна приложете кубичен корен. За кой брой числа, например 7 , 0 , −2/3 знам техния y куб: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . И така, въз основа на обозначението на кубичния корен, можете да потвърдите, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула и −2/3 е кубичен корен от −8/27.

Можете да покажете, че кубичният корен от склада a, върху корен квадратен, zavzhdi іsnuє, освен това, за неотрицателно a , но за всяко реално число a. За кого можете да спечелите по същия начин, за който познахме корен квадратен.

Освен това вече няма нито един кубичен корен за дадено число a. Внасяме останалата твърдост. В този контекст можем да видим три вида: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.

Лесно е да се покаже, че ако кубичният корен на a е положителен, той не може да бъде нито отрицателно число, нито нула. Вярно, нека b е кубичен корен за a, тогава за същото можем да напишем равенство b 3 \u003d a. Очевидно, сигурността може да бъде правилна за отрицателно b і за b=0, пиковете за отрицателните стойности b 3 =b·b очевидно ще бъдат отрицателно число чи нула. Също така кубичният корен от положително число a е положително число.

Сега е приемливо числото b да има още един кубичен корен от числото a, значително едно c. Тогава c 3 = a. По-късно b 3 −c 3 =a−a=0 , но b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(формулата за кратко умножение разлика от кубчета), звезди (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Ревността на Отриман е възможна само ако b−c=0 или b 2 +b c+c 2 =0 . От първото равенство е възможно b=c и няма друго решение, тъй като лявата част е положително число за всякакви положителни числа b і c като сбор от три положителни събирания b 2 , b c і c 2 . Cim донесе единството на кубичния корен на положително число a.

Когато a=0, кубичният корен на склад a є е по-голям от числото нула. Ясно е, че ако приемете, че се използва числото b, ако видите нула като кубичен корен от нула, тогава вината е равенството на b 3 \u003d 0, тъй като е възможно само с b \u003d 0.

За отрицателно a можете да предизвикате огледално отразяване, подобно на положителното a. Първо, показва се, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен на положително число, нито на нула. По различен начин, нека приемем, че има друг кубичен корен от отрицателно число и е показано, че вината на езика се комбинират с първия.

Otzzhe, zavzhd іsnuіê korіnіch s на всяко дадено десетично число a, освен това, едно.

Дамо обозначение на аритметичния кубичен корен.

Назначаване

Аритметичният кубичен корен на безкрайно число aчисло се нарича непознато за мен, куб от някакво старо а.

Аритметичният кубичен корен на неизвестното число a е посочен като знак, наречен знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в този запис се нарича индикатор за корен. Числото под знака на корена - це корен номер, вираз под знака на корена - це подкорен вираз.

Ако искате на аритметичния кубичен корен да се присвояват само отрицателни числа a, можете също ръчно да спечелите записите, за които знакът на аритметичния кубичен корен променя отрицателните числа. Нека го обобщим така: , de a е положително число. Например, .

Ще говорим за степента на кубичния корен в основната статия за степента на корените.

Изчисляването на стойността на кубичния корен се нарича изчисляване на кубичния корен, причината е взета от статията на героя на корените: начини, прилагане, решения.

В края на този параграф да кажем, че кубичният корен на склада е a е решения на формата x 3 =a.

Корен на n-ти етап, аритметичен корен на етап n

Лесно е да разберете корена на числото - въвеждаме обозначение на корена на n-тия етапза n.

Назначаване

Коренът на n-та степен на числото a- Tse номер, n-та стъпка от това, което е по-скъпо a.

От което назначение се разбра, че коренът на първия етап на числото a е числото a, парчетата от същия етап с естествения индикатор бяха взети 1 \u003d a.

Разгледахме по-отблизо наклоните на корен от n-та степен при n=2 и n=3 – корен квадратен и корен кубичен. Така че квадратният корен е коренът от друго ниво, а кубичният корен е коренът от третото ниво. За да извлечете корените на n-тата стъпка с n=4, 5, 6, ... ги разделете ръчно на две групи: първата група е коренът на сдвоените стъпки (tobto, с n=4, 6, 8, ...), другата група е коренът на несдвоените стъпки (tobto, при n=5, 7, 9, …). Следователно коренът на сдвоените стъпки е подобен на квадратния корен, а коренът на несдвоените стъпки е кубичен. Нека ги подредим с тях.

Нека да разгледаме корените, стъпките на които са момчетата на числото 4, 6, 8, ... Както вече казахме, вонята е подобна на корен квадратен от числото a. Това е коренът на всяка сдвоена стъпка от числото a isnuє само за не много a. Освен това, ако a=0, тогава коренът a е единичен и е равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена на сдвоената стъпка от числото a, освен това те са противоположни числа.

Obguruntuemo остава втвърдено. Нека b е коренът на сдвоената степен (по-значимо, че е 2m, de m е естествено число) от числото a. Да приемем, че числото c е още един корен от стъпката 2·m в склад a. Тогава b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Познаваме формата b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)тогава (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 , или b+c=0 , или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противолегии. И останалата част от равенството е справедливо само за b = c = 0, фрагментите от лявата част на лявата част са виразирани, тъй като е неотрицателно за всяко b и като сбор от неотрицателни числа.

Що се отнася до корените на n-та степен с несдвоен n, тогава вонята е подобна на кубичния корен. Така че коренът на всяка несдвоена степен от числото a се използва за всяко десетично число a, освен това за дадено число a е vín êdine.

Единството на корена на несдвоената стъпка 2 m+1 в склад a се извежда по аналогия с доказателството за единството на кубичния корен на a. Само тук е заместникът на ревността a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)победоносност на формата b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz в останалата част от дъгата може да бъде пренаписан като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например при m=2 може би b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Ако a и b са обидни положителни, а отрицателните отрицателни са положително число, тогава viraz b 2 +c 2 +b·c, който е в ръцете на най-високото ниво на инвестиция, е положителен като сбор от положителни числа. Сега, изпъквайки последователно до вираза в арките на предните стъпала на инвестицията, превключваме, че вонята също е положителна като сбор от положителни числа. За резултата е необходимо равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0Възможно е само веднъж, ако b−c=0, тогава ако числото b е равно на числото c.

Дойде време да изследваме корените на n-то ниво. За кого се дава обозначение на аритметичния корен на n-та степен.

Назначаване

Аритметичният корен на степен n от безкрайно число aномерът се нарича неизвестен за мен, n-тата стъпка на някакъв вид a.