Rrënjë nga një numër i panjohur. Rrenja katrore. Teori e detajuar me aplikime. Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike


Sipërfaqja e një trualli katror është 81 dm2. Njihni anën e jogës. Le të supozojmë se gjatësia e brinjës së katrorit është e mirë X decimetra. Zona Todi e shtëpisë është më e shtrenjtë X² decimetra katrore. Copa për mendjen, sipërfaqja është 81 dm², atëherë X² \u003d 81. Gjatësia e anës së katrorit është një numër pozitiv. Një numër pozitiv, katrori i të cilit është 81, є është numri 9. Gjatë zgjidhjes së problemeve, është e nevojshme të dihet numri x, katrori i të cilit është 81, për të zgjidhur problemin. X² \u003d 81. Çmimi ka dy rrënjë: x 1 = 9 x 2 \u003d - 9, pra 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. Numrat ofendues 9 і - 9 quhen rrënjët katrore të numrit 81.

E dashur, ajo një nga rrënjët katrore X= 9 є numër pozitiv. Yogo quhet rrënja katrore aritmetike e numrit 81 dhe shënon √81, një renditje e tillë √81 = 9.

Rrënja katrore aritmetike e një numri A quhet një numër i panjohur për mua, katrori i disa të vjetërve A.

Për shembull, numrat 6 i - 6 janë rrënjët katrore të numrit 36. Kur numri 6 është rrënja katrore aritmetike e numrit 36, copëzat 6 nuk janë numri i 62 = 36. Numri - 6 nuk është rrënja aritmetike.

Rrënja katrore aritmetike e një numri A nënkuptohet kështu: √ A.

Shenja quhet shenja e rrënjës katrore aritmetike; A- quhet nënrrënjë viraz. Viraz √ A lexoni si kjo: rrënja katrore aritmetike e një numri A. Për shembull, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Në gjendje të qetë, nëse është e qartë se ka një rrënjë aritmetike, ajo do të jetë e shkurtër: “rrënja katrore e A«.

Vlera e rrënjës katrore në magazinë quhet vlera e rrënjës katrore. Tsya diya є mbështjellë deri në një katror.

Është e mundur të vendosësh katrorin nëse është numër, por për të marrë një rrënjë katrore është e mundur të mos jetë numër. Për shembull, nuk është e mundur të vizatoni rrënjën katrore të numrit - 4. Pasi të keni gjetur një rrënjë të tillë, atëherë, duke e njohur atë me një shkronjë X, Ne do të hiqnim barazinë e gabuar x² = - 4, kështu që ia vlen kostoja e një numri të panjohur, dhe në të djathtë - negative.

Viraz √ A maє sens tilki për a ≥ 0. Vlera e rrënjës katrore mund të shkruhet shkurt si më poshtë: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Kapitali (√ A)² = A drejtë për a ≥ 0. Në mënyrë të tillë, për të ndryshuar në faktin se rrënja katrore e një numri negativ A dorivnyuє b, pastaj në atë √ A =b, është e nevojshme të rishikohet se cilat janë dy mendjet e mëposhtme: b ≥ 0, b² = A.

Rrënja katrore e një thyese

Le të numërojmë. Me respekt, që √25 = 5, √36 = 6, dhe është e kthyeshme që barazia të jetë fitimtare.

pra jak i , atëherë qetësia është e vërtetë. Otzhe, .

Teorema: Yakscho A≥ 0 dhe b> 0, pra rrënja nga thyesa është e barabartë me rrënjën nga libri numerik, e ndarë me rrënjën nga banderola. Është e nevojshme të sillni se: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, pastaj .

Për fraksionin yak_styu zvedennya në këmbë dhe shenjën e rrënjës katrore teorema është përfunduar. Le të hedhim një vështrim në grupin e aplikacioneve.

Llogaritni, për teoremën e përfunduar .

Një prapanicë tjetër: Sillni çfarë , si A ≤ 0, b < 0. .

Një prapanicë tjetër: Llogarit.

.

Kthimi i rrënjës katrore

Faji i shumëzuesit z-pіd në shenjën e rrënjës. Le të jepet Viraz. Yakscho A≥ 0 dhe b≥ 0, atëherë duke ndjekur teoremën e krijimit të rrënjës mund të shkruajmë:

Një transformim i tillë quhet faji i shumëzuesit të shenjës z-pod të rrënjës. Le të shohim prapanicën;

Llogaritni në X= 2. Asnjë zëvendësim në mes X= 2 në rrënjën e virazit për të prodhuar një llogaritje të palosshme. Llogaritja Qi mund të falet, sikur të fajësohet shenja z-pіd e shumëzuesve rrënjë: . Duke zëvendësuar tani x = 2 marrim:.

Më vonë, me fajin e shumëzuesit, shenja rrënjësore e shenjës së rrënjës është një nënrrënjë e virazit në vizionin e krijimit, në të cilën ka një ose më shumë shumëzues në katrorët e numrave të panjohur. Pastaj le të përpunojmë teoremën për rrënjën nga nxjerrja dhe nxjerrim rrënjën nga shumëzuesi i lëkurës. Le të shohim prapanicën: Falja A \u003d √8 + √18 - 4√2 verëra në dy shumëzuesit e parë dodankіv të shenjës së rrënjës, otrimaєmo:. Unë ju inkurajoj, atë xhelozi drejtë vetëm për A≥ 0 dhe b≥ 0. mirë A < 0, то .

Le të shohim shtrirjen x 2 = 4. Le ta zbërthejmë grafikisht. Për cgo, në një sistem koordinativ, ne do të krijojmë një parabolë y \u003d x 2 i drejtëz y \u003d 4 (Fig. 74). Erë e keqe ngjyroset në dy pika A (- 2; 4) dhe B (2; 4). Pikat e abshisës A dhe B janë të barabarta me rrënjët x 2 \u003d 4. Gjithashtu, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmіrkovuyuchi ashtu si kjo, ne e dimë rrënjën e barabartë x 2 \u003d 9 (div. Fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Dhe tani le të provojmë rozv'yazati të barabartë x 2 \u003d 5; ilustrimet gjeometrike janë paraqitur në fig. 75. Është e qartë se ka dy rrënjë x 1 dhe x 2, për më tepër, numrat q, si i në dy pjerrësi përpara, janë të barabartë për vlerën absolute dhe zgjatjen për shenjën (x 1 - x 2) - Ale në pjesa e përparme e shpateve të përparme, të barabarta me rrënjë u gjetën lehtësisht (sepse ato mund të njihen pa grafikë të qëruar), me x 2 \u003d 5 të barabartë në të djathtë nuk është kështu: prapa kolltuqeve nuk mund të tregojmë kuptimin e rrënjëve, ne mund të vendosë vetëm që njëra rrënjë të jetë e rrënjosur me tre pika majtas - 2, dhe tjetra është tre herë djathtas

Pikat 2.

Sa është numri (pika), si japin 5 tre pikat e djathta 2 dhe sa në katror? Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, d.m.th. dilni më shumë, uleni është e nevojshme (9\u003e 5).

Pra, për ne, numri shpërndahet midis numrave 2 dhe 3. Por midis numrave 2 dhe 3, ka numra racional jopersonal, p.sh. e kështu me radhë.Mund të ketë një mik të tillë mes tyre, çfarë? Nuk do të kemi të njëjtat probleme nga barazimet x 2 - 5, mund të shkruajmë çfarë

Ale, ja ku jemi për një surprizë të papranueshme. Duket se nuk ka një fraksion të tillë, për të cilin fiton xhelozia
Prova e pohimit të formuluar është e palosshme. Tim nuk është më i vogël, ne udhëhiqemi nga joga, copat janë më të bukura dhe mbrapa, akoma më mirë të provojmë intelektin e jogës.

Është e pranueshme që një drіb të tillë jetëshkurtër, në qetësi jak vykonuєtsya. Pastaj, atëherë m2 = 5n2. Barazia e mbetur do të thotë që numri natyror m 2 është i pjesëtueshëm pa tepricë me 5 (për pamjen private n2).

Më vonë, numri m 2 përfundon me numrin 5, numrin 0. Por numri natyror m përfundon me numrin 5, numrin 0, pastaj. numri m plotpjesëtohet me 5 pa tepricë. Përndryshe, duket se nëse numri m nënpjestohet me 5, atëherë vida private është një numër natyror k. Tse do të thotë
që m = 5k.
Dhe tani pyes veten:
m 2 \u003d 5n 2;
Imagjinoni 5k zam_st m për qetësi pershu:

(5k) 2 = 5n 2, pastaj 25k 2 = 5n 2 ose n 2 = 5k 2 .
Xhelozia e mbetur do të thotë se numri. 5n 2 pjesëtohet me 5 pa tepricë. Rozmіrkovuchi, si edhe më shumë, ne vijmë te visnovka për ato që numri n është i pjesëtueshëm me 5 pa tepricë.
Gjithashtu, m ndahet me 5, n ndahet me 5, më vonë, drіb mund të jetë i shkurtër (me 5). Dhe më pas lejuam që dribi të mos ishte i shkurtër. Pse është në të djathtë? Pse, me të drejtë mirkuyuchi, erdhëm në pikën e absurditetit, ose, siç thonë shpesh matematikanët, hoqëm fshirjen "!
Zvіdsi robimo visnovok: nuk ka një fraksion të tillë.
Metoda e provës, në të cilën kemi ngecur me kokëfortësi, quhet në matematikë metoda e vërtetimit të protivolegos. Thelbi i ofensivës së yogës. Është e nevojshme që ne t'i sjellim qëndrueshmëri dhjakut, por ne e lejojmë atë të jetë e papranueshme (matematicienët duken: "tolerimisht i papranueshëm" - jo në sens "i papranueshëm", por në sens "për aq sa është e nevojshme").
Nëse, si rezultat i mirkuvanit ligjor, arrijmë te super-saktësia me mendjen, atëherë na grabiten mustaqet: pranimi ynë është i gabuar, atëherë, ata që duhej të silleshin tek ajo ishin të saktë.

Më vonë, vetëm numrat racionalë janë të mundshëm (dhe ne nuk dimë ende numra të tjerë), e barabartë x 2 \u003d 5 nuk është e mundur të kapërcehet.
Pasi kishin studiuar përpara me një situatë të ngjashme, matematikanët kuptuan se ishte e nevojshme të gjenin një mënyrë për të përshkruar gjuhën time matematikore. Ata prezantuan një simbol të ri në këndvështrimin, të cilin e quajtën rrënjë katrore, dhe për simbolin shtesë të rrënjës të barabartë x 2 \u003d 5, ata e shkruajtën atë si kjo:

pritet: "rrënja katrore e z 5"). Tani, për çdo lloj mendjeje të barabartë, x 2 \u003d a, de a\u003e O, mund ta dini rrënjën - ato janë numra , (Mal. 76).

Mbështetje më qiellore, scho numri nuk është i plotë dhe as madje.
Do të thotë që nuk është një numër racional, por një numër i një natyre të re, për numra të tillë do të flasim posaçërisht më vonë, të ndarë 5.
Për momentin, është më pak domethënës, por numri i ri është midis numrave 2 dhe 3, copëzave 2 2 = 4 dhe më pak, më i ulët 5; Z 2 \u003d 9, dhe ce më i ulët 5. Mund të specifikoni:


E vërtetë, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Ju mundeni
specifikoni:

me të vërtetë, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Në praktikë, është e rëndësishme të theksohet se numri është më i shtrenjtë 2.23, ose është më i shtrenjtë 2.24, por nuk është vetëm xhelozi, por xhelozia është afër, për njohjen e një simboli të tillë fitimtar.
Otzhe,

Diskutimi i zgjidhjes së barabartë x 2 \u003d a; Duke kaluar kohë në një situatë jo standarde, jo standarde (si dashuria ndaj astronautëve) dhe duke mos ditur se si të dilni prej saj për ndihmë shtesë, matematikanët parashikojnë për një model matematikor, i cili ishte përdorur më parë prej tij, një term të ri dhe një të ri. kuptimi (simbol i ri); me fjalë të tjera, erë e keqe për të futur një kuptim të ri, dhe pastaj për të rritur fuqinë e kësaj
konceptet. Vetë Tim, kuptimi i ri i këtij kuptimi joga po bëhet kreu i Lëvizjes Matematikore. Ne e bëmë atë në të njëjtën mënyrë: ata prezantuan termin "rrënja katrore e numrit a", prezantuan një simbol për kuptimin e tij dhe tre vjet për të fituar fuqinë e një koncepti të ri. Deri më tani, ne dimë vetëm një gjë: se a > 0,
atëherë - një numër pozitiv që plotëson barazinë x 2 \u003d a. Me fjalë të tjera, ky është një numër pozitiv, kur në katror del numri a.
Oskilki e barabartë x 2 \u003d 0 maє rrënjë x \u003d 0
Tani jemi gati të japim një lexim të takimit.
Emërimi. Rrënja katrore e një numri të panjohur quhet një numër i tillë i panjohur, katrori i një numri të vjetër.

Kuptohet numri Tse, dhe numri në të cilin quhet numër rrënjë.
Otzhe, sikur a nuk është një numër, atëherë:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Në këtë renditje, viraz ka kuptim më pak për një > 0.
Thuaj çfarë - një dhe i njëjti model matematikor (një dhe e njëjta ngecje midis numrave të panjohur
(dhe atë b), por vetëm një mik përshkruhet nga imja më e thjeshtë, së pari më e ulët (simbolet e thjeshta të fitores).

Veprimi i gjetjes së rrënjës katrore të një numri negativ quhet ndryshimi i rrënjës katrore. Operacioni Tsya është një përmbysje duke sjellë në jetë në shesh. Niveli:


Edhe një herë, respekt: ​​tabelat kanë më pak numra pozitivë, copëzat nuk i caktohen rrënjës katrore të caktuar. Unë dua, për shembull, (- 5) 2 \u003d 25 - barazia është e saktë, shkoni në hyrjen tjetër me rrënjën katrore të variantit (pra, shkruani çfarë.)
nuk mundem. Për faljen,. - Një numër pozitiv do të thotë .
Shpesh thuaj jo "rrënjë katrore", por "rrënjë katrore aritmetike". Termi "aritmetikë" është lënë jashtë për hir të stilit.

D) Në pamjen e prapanicës së përparme, mund të tregojmë vlerën e saktë të numrit. Ishte më pak e qartë se ishte më e madhe, më e ulët 4, ale më e vogël, më e ulët 5, oskolki

42 = 16 (më e vogël, më e ulët 17) dhe 52 = 25 (më e lartë, më e ulët 17).
Vtіm, vlera më e afërt e numrit mund të njihet për ndihmën e një mikrollogaritësi, si të hakmerret për funksionimin e rrënjës katrore; vlera është më e shtrenjtë 4.123.
Otzhe,
Numri, pëlqeni dhe shikoni numrin nuk është racional.
e) Nuk është e mundur të llogaritet, rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të përdoret; një rekord indulgjencash ndaj sensit. Urdhri u propozua gabimisht.
e) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. Në raste të tilla, ju mund të fitoni tabelën e katrorëve të numrave natyrorë dhe një mikrollogaritëse.
g), copëza 75 > 0 dhe 75 2 = 5625.
Në rastet më të thjeshta, vlerat e rrënjës katrore numërohen me radhë: të pakta. syth. Në situatat e palosjes, është e nevojshme të paraqitet një tabelë e katrorëve të numrave chi dhe të kryhen llogaritjet me një mikrollogaritës shtesë. Dhe si buti, si mundet një dorë pa tavolina, pa kalkulator? V_dpovіmo në zinxhirin e ushqimit, virіshivshi duke sulmuar prapanicën.

prapanicë 2. Llogaritni
Zgjidhje.
Faza e parë. Nuk ka rëndësi nëse mendoni se vidpovid viide ka "bisht" 50 іz. Në fakt, 50 2 = 2500, dhe 60 2 = 3600, dhe numri 2809 ndryshohet midis numrave 2500 dhe 3600.

Një fazë tjetër. Ne e dimë "bishtin", tobto. Unë do të lë figurën e numrit budalla. Për sa kohë që ne e dimë se rrënja po rritet, atëherë në të ardhmen mund të keni 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ose 59. Duhet të kontrollohen vetëm dy numra: 53 dhe 57 Rezultati është një numër tjetër që përfundon me numrin 9, pastaj i njëjti numër që përfundon me numrin 2809.
Maєmo 532 = 2809 tse ato që na duhen (ishim me fat, u shpërdoruam në "mollë"). Otzhe, = 53.
Sugjerim:

53
shembulli 3. Këmbët e trikutnikut me prerje të drejtë janë 1 cm dhe 2 cm të trasha Pse është hipotenuza e trikutnikut? (Mal.77)

Zgjidhje.

Ne ndjekim shpejt gjeometrinë e teoremës së Pitagorës: shuma e katrorëve të gjatësisë së këmbëve të një triko të prerë drejt është e barabartë me katrorin e gjatësisë së hipotenuzës së saj, kështu që a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - këmbët, c - hipotenuza e një triko me prerje të drejtë.

të thotë,


Kjo prapanicë tregon se futja e rrënjës katrore nuk është një gabim i matematikanit, por një domosdoshmëri objektive: në jetën reale, ka situata, modelet matematikore të të cilave mund të kapërcejnë operacionin e detyrimit të rrënjës katrore. Ndoshta, më e rëndësishmja prej situatave të tilla lidhet me
sheshi rozvyazannyam rivnyan. Dosi, duke përdorur katrorin e barabartë me sëpatë 2 + bx + c \u003d 0, ne ose shtruam pjesën e majtë në shumëzues (që doli të ishte larg realitetit), ose ata shënuan metoda grafike (të cilat nuk janë shumë të zbukuruara, por të bukura ). Vërtetë për vizualizim
rrënja x 1 dhe x 2 e ekuacionit katror ax 2 + bx + c = 0

hakmarrja, siç mund ta shihni, shenja e rrënjës katrore. Formulat Qi zastosovuyutsya praktikisht në një gradë të tillë. Hajde, për shembull, duhet të ndash 2x 2 + bx - 7 = 0. Këtu a = 2, b = 5, c = - 7. Më vonë,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali është i njohur. të thotë,

Ne kemi caktuar më shumë, që nuk është një numër racional.
Matematikanët i quajnë numra të tillë joracionalë. Irracionale - qoftë ajo një mendje me numra, sikur rrënja katrore të mos shfaqet. Për shembull, dhe etj. - Numrat irracionalë. Në 5 raporte do të flasim për numra racionalë dhe irracionalë. Numrat racional dhe irracional menjëherë bëhen numra realë jopersonalë, domethënë. numra jopersonale, me të cilët mund të operojmë në jetën reale (për
Lajme). Për shembull, të gjitha këto janë numra të vlefshëm.
Po kështu, siç e kemi përcaktuar tashmë konceptin e rrënjës katrore, mund të caktojmë konceptin e rrënjës kubike: rrënja kubike e një numri të panjohur a quhet një numër i panjohur për mua, kubi i të cilit është një numër. Përndryshe, me sa duket, xhelozia do të thotë që b 3 \u003d a.


Gjithçka është e mundur në kursin e algjebrës së klasës së 11-të.

Koncepti i rrënjës katrore të një numri të panjohur

Le të shohim shtrirjen x2 = 4. Le ta zbërthejmë grafikisht. Për kë në një sistem koordinatat zbuduєmo parabola y \u003d x2 i drejtëza y \u003d 4 (Fig. 74). Erë e keqe ngjyroset në dy pika A (- 2; 4) dhe B (2; 4). Pikat e abshisave A dhe B janë të barabarta me rrënjët x2 = 4. Gjithashtu, x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi kështu është, ne e dimë rrënjën e barabartë x2 = 9 (div. fig. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Dhe tani le të provojmë rozv'yazati të barabartë x2 = 5; ilustrimet gjeometrike janë paraqitur në fig. 75. Është e qartë se ka dy rrënjë x1 dhe x2, për më tepër, numri i numrave, si dhe në dy pjerrësi përpara, është i barabartë për vlerën absolute dhe gjatësinë pas shenjës (x1 - - x2) nëse mund të lehtë gjeni (sepse mund t'i njihni pa u gërvishtur me grafikët), nëse x2 = 5 djathtas nuk është kështu: nuk tregojmë dot kuptimin e rrënjëve pas kolltuqeve, mund ta vendosim vetëm në një. rrënjë tre pika në të majtë të pikës - 2, dhe tjetra - tre në të djathtë të pikës 2.

Ale, ja ku jemi për një surprizë të papranueshme. Duket, nuk ka të tillë thyesat DIV_ADBLOCK32">


Është e pranueshme që është një drіb kaq jetëshkurtër, për të cilën qetësia është fitimtare https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, pra m2 = 5n2. Të mbetesh xhelozi do të thotë këtë numri natyror m2 mund të ndahet pa tepricë me 5 (gjerësia private ka n2).

Më vonë, numri m2 përfundon me numrin 5, numrin 0. Por numri natyror m përfundon me numrin 5, numrin 0, pra numri m pjesëtohet me 5 pa tepricë. Përndryshe, duket se nëse numri m nënpjestohet me 5, atëherë vida private është një numër natyror k. Ze do të thotë se m = 5k.

Dhe tani pyes veten:

Imagjinoni 5k zam_st m për qetësi pershu:

(5k) 2 = 5n2, pastaj 25k2 = 5n2 ose n2 = 5k2.

Xhelozia e mbetur do të thotë se numri. 5n2 ndahet me 5 pa tepricë. Rozmirkovuchi, si më shumë, ne vijmë te visnovka për ato që numri n pjesëtohet me 5 pa tepricë.

Gjithashtu, m ndahet me 5, n ndahet me 5, më vonë, drіb mund të jetë i shkurtër (me 5). Dhe më pas lejuam që dribi të mos ishte i shkurtër. Pse është në të djathtë? Pse, me të drejtë mirkuyuchi, erdhëm në pikën e absurditetit, ose, siç thonë shpesh matematikanët, hoqëm fshirjen "! ).

Nëse, si rezultat i mirkuvanit ligjor, arrijmë te super-saktësia me mendjen, atëherë na grabiten mustaqet: pranimi ynë është i gabuar, atëherë, ata që duhej të silleshin tek ajo ishin të saktë.

Baba, lundrues vetëm sipas porosisë tënde numrat racionalë(Dhe ne ende nuk i dimë numrat e tjerë), të barabartë x2 = 5 dhe nuk mund ta mposhtim atë.

Pasi kishin studiuar përpara me një situatë të ngjashme, matematikanët kuptuan se ishte e nevojshme të gjenin një mënyrë për të përshkruar gjuhën time matematikore. Ata prezantuan një simbol në dukje të ri, të cilin e quajtën rrënjë katrore, dhe për simbolin shtesë të rrënjës të barabartë x2 \u003d 5, e shkruajtën kështu: ). Tani, për çfarëdo arsye, x2 = a, de a > Oh, ju mund ta dini rrënjën - ato janë numrahttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} jo të shëndetshme dhe jo të thata.
Do të thotë që nuk është një numër racional, por një numër i një natyre të re, për numra të tillë do të flasim posaçërisht më vonë, të ndarë 5.
Për momentin, është më pak i rëndësishëm, por numri i ri është midis numrave 2 dhe 3, copëzat 22 = 4 dhe më pak, 5 më i ulët; Z2 \u003d 9 dhe më e ulët se 5. Mund të specifikoni:

Edhe një herë, respekt: ​​tabelat kanë më pak numra pozitivë, copëzat nuk i caktohen rrënjës katrore të caktuar. Nëse, për shembull, = 25 - barazia është e saktë, shkoni te hyrja tjetër në rekordin e rrënjës katrore (për të shkruar çfarë). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- Një numër pozitiv do të thotë https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Ishte më e arsyeshme që ishte më e madhe, më e ulët 4, ale, më e vogël, më e ulët 5, 42 = 16 (më e vogël, më e ulët 17) dhe 52 = 25 (më pak më e madhe, më e ulët 17).
Vtіm, vlera më e afërt e numrit mund të njihet për ndihmë mikrollogaritëse si të hakmerret operacioni i rrënjës katrore; vlera është më e shtrenjtë 4.123.

Numri, pëlqeni dhe shikoni numrin nuk është racional.
e) Nuk është e mundur të llogaritet, rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të përdoret; një rekord indulgjencash ndaj sensit. Urdhri u propozua gabimisht.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} copëza 75 > 0 і 752 = 5625.

Në rastet më të thjeshta, vlerat e rrënjës katrore numërohen në shumëfish:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Zgjidhje.
Faza e parë. Nuk ka rëndësi nëse mendoni se vidpovid viide ka "bisht" 50 іz. Në fakt, 502 = 2500, dhe 602 = 3600, dhe numri 2809 ndryshohet midis numrave 2500 dhe 3600.

Duke parë edhe një herë shenjën... Dhe le të shkojmë!

Le të fillojmë nga një e thjeshtë:

Khvilinka. tse, dhe tse do të thotë që ne mund ta shkruajmë kështu:

E pushtuar? Boshti i përparimit tuaj:

Rrënja e numrave, çfarë ndodhi, nuk bien në sy? Mos bіda - boshti juaj kështu që aplikoni:

Dhe sa shumëzues nuk janë dy, por më shumë? Njësoj! Formula për shumëzimin e rrënjëve funksionon nëse ka ndonjë numër shumëzuesish:

Tani do ta bëj vetë:

Sugjerime: Te lumte! Prisni, gjithçka është e lehtë, ju e dini tabelën e shumëzimit!

Rozpodіl koreniv

Kemi hedhur shumë rrënjë, tani të zbresim në pushtet.

Unë do të mendoj se formula për famëkeqin duket si kjo:

Çfarë do të thotë rrënjë nga një pjesë e një rrënjë private.

Epo, le t'i hedhim një sy të pasmeve:

Boshti i gjithë shkencës. Dhe boshti është një shembull i tillë:

Gjithçka nuk është aq e qetë, si një prapanicë e parë, ale, si një bachish, nuk ka asgjë të palosshme.

Dhe çfarë, si të dehesh një viraz i tillë:

Është e nevojshme që thjesht të zastosuvat formulën në portë direkt:

Dhe boshti është një shembull i tillë:

A mund ta shihni një viraz të tillë:

E njëjta gjë, vetëm këtu ju duhet të merrni me mend se si të zhvendosni thyesat (nëse nuk mbani mend, shikoni temën dhe kthehuni!). Duke supozuar? Tani e shohim!

Të magjepsur, që je me ne, jemi përplasur, tani do të përpiqemi të çrrënjosim botën.

Zvedennya në këmbë

Dhe çfarë do të bëni, si një rrënjë katrore në katror? Është e thjeshtë, ne hamendësojmë kuptimin e rrënjës katrore të një numri - numri i plotë, rrënja katrore e një lloji.

Pra, nga, si krijojmë një numër, rrënjën katrore të një numri të caktuar, një katror, ​​atëherë çfarë merret?

Epo, është e mrekullueshme!

Le të hedhim një vështrim në shembujt:

Gjithçka është e thjeshtë, apo jo? Dhe cila do të jetë rrënja e një bote tjetër? Asgjë e tmerrshme!

Kërkoni ato logjika dhe mbani mend fuqinë dhe aftësinë për të bërë hap pas hapi.

Lexoni teorinë në temën "" dhe do të bëheni jashtëzakonisht të qartë.

Aksi, për shembull, një viraz i tillë:

Prapa e kujt do të ketë këmbë mashkullore, por çfarë do të jetë vera e paçiftuar? Epo, e di, ndaloni nivelin e fuqisë dhe shpërndani gjithçka në shumëzues:

Nga kjo pikë gjithçka është e qartë, por si të fitoni rrënjën e numrit në botë? Boshti, për shembull:

Lehtë për t'u pirë, apo jo? Po më shumë se dy hapa? Dorimuёmosya ієї zh logjika, hapat e fuqisë vikoristuyuyuchi:

Epo, si e kuptuan të gjithë? Zbatoni të njëjtat vargje vetë:

Një bosht i vіdpovіdі:

Prezantoi shenjën e rrënjës pid

Pse nuk kemi mësuar si të punojmë me rrënjë! U desh vetëm pak kohë për të provuar të futni numrin e rrënjëve!

Është shumë e lehtë!

Supozoni se kemi një numër

Çfarë mund të bëjmë me të? Epo, zvichayno, mbylle trinitetin nën rrënjë, duke kujtuar në të njëjtën kohë se treshja është rrënja katrore!

Çfarë tjetër na duhet? Është kaq e thjeshtë, të zgjerojmë mundësitë tona me aplikacione të përsosura:

Si është ajo fuqia e rrënjës? A është vërtet një çështje jete? Për mua, kjo është e drejtë! Tilki Mbani në mend se një numër pozitiv mund t'i shtojmë vetëm një shenjë rrënjë katrore.

Virish në mënyrë të pavarur boshtin e prapanicës -
Nxituan? Le të mrekullohemi, çfarë mund të shihni tek ju:

Te lumte! Keni mjaft larg për të futur shenjën e numrit pіd të rrënjës! Le të kalojmë në diçka që nuk është më pak e rëndësishme - le të shohim se si të korrigjojmë numrat për të hakmarrë rrënjën katrore!

Riparimi i rrënjëve

Po të mësojmë të kuptojmë numrat, si të hakmerremi për rrënjën katrore?

Disi e thjeshtë. Shpesh, te virazët e mëdhenj dhe të parëndësishëm, që flasin në gjumë, marrim prova të paarsyeshme (kujtoni, çfarë është kështu? Ne po flisnim tashmë për ju sot!)

Otrimani vіdpovіdі ne duhet të shtrihemi në vijën e koordinatave, për shembull, për të përcaktuar se cili interval është i përshtatshëm për rozvyazuvannya rivnyannya. Boshti i parë këtu fajëson zakovikun: nuk ka makinë llogaritëse në përdorim, por pa të, si të zbulohet, cili numër është më i madh dhe cili është më i vogël? Otozh i dalë!

Për shembull, vyznach, çfarë është më shumë: chi?

Ju nuk do të tregoni menjëherë. Epo, çfarë, a është e shpejtë të vizatoni fuqinë e numrit të futur nën shenjën e rrënjës?

Shkoni përpara:

Epo, padyshim, sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja!

Tobto. yakscho, otzhe,.

Zv_dsi fort robimo visnovok, karrierës. Dhe askush nuk mund të na ndryshojë nga ana tjetër!

Parashikimi i rrënjëve të numrave të mëdhenj

Para kujt e kemi futur shumëzuesin nën shenjën e rrënjës, por si mund ta fajësoj? Ju vetëm duhet të vendosni yogo në shumëzues dhe të tërheqni ata që po tërheqin!

Ishte e mundur të pihej në një mënyrë tjetër dhe të përhapej në shumëzues të tjerë:

Jo keq, apo jo? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy si ju me dorë.

Marrëveshja për shumëzuesit do të jetë me fat me zbatimin e detyrave të tilla jo standarde, si boshti i zinxhirit:

Mos lakaєmos, por diemo! Ne vendosim një shumëzues lëkure nën rrënjë në një shumëzues okremi:

Dhe tani provojeni vetë (pa kalkulator! Nuk do të mund të flini me joga):

Hiba tse kinets? Mos u mashtroni nga pivdoroz!

Boshti dhe gjithçka, jo aq gjithçka dhe e frikshme, apo jo?

Wiishlo? Bravo, ke te drejte!

Dhe tani provoni këtë prapanicë të virishiti:

Dhe prapanica është një tenxhere mitzny, kështu që ju nuk do të jeni në gjendje ta merrni atë menjëherë, sikur do të hapni një të re. Ale ne verëra, padyshim, në dhëmbë.

Epo, si thua për rregullimin e shumëzuesve? Është shumë e respektueshme që ju mund të shtoni numrin në (ne marrim me mend shenjat e pjesëtueshmërisë):

Dhe tani, provojeni vetë (e di, pa një kalkulator!):

Mirë shko, wiyshlo? Bravo, ke te drejte!

P_vedemo p_bags

  1. Rrënja katrore (rrënja katrore aritmetike) e një numri të panjohur quhet një numër i tillë i panjohur, katrori i një numri tjetër.
    .
  2. Nëse thjesht marrim rrënjën katrore të gjithçkaje, atëherë marrim gjithmonë një rezultat të padukshëm.
  3. Fuqia e rrënjës aritmetike:
  4. Kur rrënja katrore është e barabartë, është e nevojshme të mbani mend se sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja.

Si është rrënja juaj katrore? A ka kuptim gjithçka?

Jemi munduar t'ju shpjegojmë pa e drejtuar gjithçka që duhet të dini në gjumë për rrënjën katrore.

Tani djalli juaj. Na shkruani një temë të përshtatshme për ju.

Duke ju njohur tani, gjithçka ishte kaq e qartë.

Shkruani në komente dhe fat të mirë në gjumë!

Në tsіy statti mi zaprovadimo kuptojnë rrënjën e numrit. Dyatimemo në mënyrë sekuenciale: duke filluar nga rrënja katrore, le të kalojmë në përshkrimin e rrënjës kubike, pas së cilës mund të kuptojmë rrënjën, duke treguar rrënjën e shkallës së n-të. Në të njëjtën kohë, ai prezanton një emër, një shenjë, sugjeron një aplikim të rrënjëve dhe jep shpjegimet e nevojshme për atë koment.

Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike

Për të kuptuar kuptimin e rrënjës së numrit, dhe rrënjës katrore të zokremit është e nevojshme për nënën. Në këtë pikë, mi shpesh zishtovhuvatimosya me një hap tjetër të numrit - katrorin e numrit.

Pochnemo s emëruesi i rrënjës katrore.

Emërimi

Rrënja katrore e a- Numri Tse, katrori i ndonjë a të vjetër.

Plumbi Schob aplikoni rrënjën katrore, Le të marrim disa numra, për shembull, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Pastaj, për detyrat e dhëna, numri 5 është rrënja katrore e numrit 25, numrat -0.3 dhe 0.3 janë rrënjët katrore të 0.09 dhe 0 është rrënja katrore e zeros.

Përcaktoni rrëshqitje, për cilindo numër një іsnuє, katrorin e koho dorivnuє a. Dhe për vete, për çdo numër negativ a, mos përdorni të njëjtin numër dhjetor b, katrorin e çdo numri tjetër a. Vërtetë, barazia a=b 2 është e pamundur për çdo negativ a , copëza b 2 - Nuk e di numrin për asnjë b . në një mënyrë të tillë, në numra realë jopersonalë nuk ka rrënjë katrore të një numri negativ. Me fjalë të tjera, në numra realë jopersonalë, rrënja katrore e një numri negativ nuk bie në sy dhe nuk ka kuptim.

Tingëllon si një ushqim logjik: “Dhe sa është rrënja katrore e a-së nëse ka shumë a”? Vidpovid - kështu. Bazuar në këtë fakt, një metodë konstruktive është e rëndësishme për të fituar rëndësinë e vlerës së rrënjës katrore.

Pastaj parashtroni një arsye më logjike: "Sa është numri i të gjitha rrënjëve katrore të një numri të dhënë të pafund a - një, dy, tre, më shumë"? Boshti v_dpov_d në të re: nëse a është e barabartë me zero, atëherë rrënja e vetme katrore e zeros është zero; për shembull, a është një numër pozitiv, numri i rrënjëve katrore nga numri a është i barabartë me dy, për më tepër, rrënja është є. Obguruntuemo tse.

Mirupafshim a=0 . Nga ana tjetër, tregohet se zero është e vërtetë nga rrënja katrore e zeros. Arsyeja e barazisë së dukshme 0 2 =0 0=0 është përcaktimi i rrënjës katrore.

Tani mund të themi se 0 është rrënja e vetme katrore e zeros. Përshpejtimi me metodën e shikimit të të papranueshmes. Le të supozojmë se numri b dihet se është i njëjti numër me zeron, por është rrënja katrore e zeros. Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, që është e pamundur, copëza për be-yakom vіdminnym vіd zero b vlera virazu b 2 є pozitive. Ne didshli super-mprehtësi. Është e nevojshme të sillni se 0 është rrënja e vetme katrore e zeros.

Kalojmë në vipadkіv, nëse a është një numër pozitiv. Na thanë më shumë, se duhet të përdorni rrënjën katrore të çdo numri, le të jetë rrënja katrore a e barabartë me numrin b. Është e pranueshme që є është numri c, por edhe є është rrënja katrore e a. Pastaj rrënja katrore e drejtësisë b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, їх sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, por copat b 2 − c 2 \u003d (b− c) ( b + c ) , pastaj (b-c) · (b + c) = 0 . Xhelozisë i hiqet fuqia fuqitë dіy іz dіysnimi numrat ndoshta vetëm atëherë, nëse b-c=0 ose b+c=0. Në këtë renditje, numrat b dhe c janë të barabartë ose protilegj.

Nëse lejojmë që numri d, me një rrënjë katrore më shumë në magazinë a, atëherë me pasqyrim, të ngjashëm me ato që kemi theksuar tashmë, duhet të sillet se d është më afër numrit b ose numrit c. . Gjithashtu, numri i rrënjëve katrore nga një numër pozitiv është i barabartë me dy, për më tepër, rrënja katrore është numra të kundërt.

Për efikasitetin e punës me rrënjë katrore, rrënja negative "përforcohet" si pozitive. Metoda Z tієyu do të prezantohet nxjerrja e rrënjës katrore aritmetike.

Emërimi

Rrënja katrore aritmetike e një numri negativ a- Numri Tse nevіd'єmne, katrori i të cilit dovnyuє a.

Për rrënjën katrore aritmetike të magazinës a merret vlera. Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore. Jogo quhet edhe shenja e radikalit. Kjo mund të jetë pjesërisht pak si një "rrënjë", dhe gjithashtu një "radikal", që do të thotë i njëjti objekt.

Numri nën shenjën e rrënjës katrore aritmetike quhet numri i rrënjës, dhe viraz nën shenjën e rrënjës - nënrrënjë virazom, në termin e tyre "numri nën-rrënjë" shpesh zëvendësohet me "numër nën-rrënjë viraz". Për shembull, në hyrje, numri 151 është numri kryesor i rrënjës, dhe në hyrjen viraz a, rrënja është viraz.

Gjatë leximit, fjala "aritmetikë" shpesh hiqet, për shembull, regjistrimi lexohet si "rrënja katrore e shtatë njëzet e nëntë cent". Fjala "aritmetikë" përdoret vetëm një herë, nëse doni të jeni veçanërisht të hapur, mund të përdorni rrënjën katrore pozitive të numrit.

Në dritën e vlerës së futur, rrënja katrore aritmetike e rrënjës katrore aritmetike ka të njëjtën vlerë si çdo numër jo negativ a.

Rrënja katrore e një numri pozitiv a pas shenjës shtesë të rrënjës katrore aritmetike shkruhet si i. Për shembull, rrënja katrore e numrit 13 є i. Rrënja katrore aritmetike e zeros është e barabartë me zero, atëherë . Për numrat negativë a, hyrjet mi nuk i nënshtrohen ndjeshmërisë deri në ngjarje numra komplekse. Për shembull, për të lehtësuar ndjenjën e të shprehurit që.

Për nënçantat e rëndësisë së rrënjës katrore, fuqia e rrënjëve katrore del në pah, e cila ka shumë të ngjarë të jetë praktike.

Në fund të kësaj pike, ia vlen të respektohet që rrënja katrore e numrit a є zgjidh formën x 2 \u003d një ndryshim më të mirë x.

Rrënja kubike e numrit

Përkufizimi i rrënjës së kubit magazina a jepet njësoj si rrënja katrore. Ai bazohet vetëm në të kuptuarit e kubit të numrit, por jo katrorit.

Emërimi

Rrënja kubike e numrit a thirret numri, kubi i të cilit është i barabartë me a.

E lundrueshme aplikoni një rrënjë kub. Për cilin numër numrash, për shembull, 7 , 0 , −2/3 e di їх y kub: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Pra, bazuar në përcaktimin e rrënjës së kubit, mund të konfirmoni se numri 7 është rrënja kubike e 343, 0 është rrënja e kubit e zeros dhe -2/3 është rrënja e kubit e -8/27.

Ju mund të tregoni se rrënja kubike e magazinës a, në rrënjën katrore, zavzhdi іsnuє, për më tepër, për jo-negativ a , por për çdo numër real a. Për të cilët mund të fitoni në të njëjtën mënyrë, për të cilën kemi marrë me mend rrënjën katrore.

Për më tepër, nuk ka më një rrënjë të vetme kubike për një numër të caktuar a. Ne sjellim pjesën tjetër të qëndrueshmërisë. Në këtë kontekst, ne mund të shohim tre vipada: a është një numër pozitiv, a=0 dhe a është një numër negativ.

Është e lehtë të tregohet se nëse rrënja kubike e a është pozitive, nuk mund të jetë as numër negativ as zero. Vërtetë, le të b є një rrënjë kubike për a, atëherë për të njëjtën mund të shkruajmë barazi b 3 \u003d a. Me sa duket, siguria mund të jetë e saktë për negativin b і për b=0 , pikat për negativët b 3 =b·b do të jenë padyshim një numër negativ chi zero. Gjithashtu, rrënja kubike e një numri pozitiv a është një numër pozitiv.

Tani është e pranueshme që numri b të ketë një rrënjë kub më shumë nga numri a, domethënë një c. Pastaj c 3 = a. Më vonë, b 3 −c 3 =a−a=0, por b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(Formula për shumëzim të shkurtër dallimi i kubeve), yjet (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Xhelozia e Otrimanit është e mundur vetëm nëse b−c=0 ose b 2 +b c+c 2 =0 . Nga barazia e parë, b=c është e mundur dhe nuk ka zgjidhje tjetër, sepse pjesa e majtë është një numër pozitiv për çdo numër pozitiv b і c si shuma e tre mbledhjeve pozitive b 2 , b c і c 2 . Cim solli unitetin e rrënjës kubike të një numri pozitiv a.

Kur a=0, rrënja kubike e magazinës a є është më shumë se numri zero. Shtë e qartë se nëse supozoni se përdoret numri b, nëse e shihni zeron si një rrënjë kubike nga zero, atëherë faji është barazia e b 3 \u003d 0, pasi është e mundur vetëm me b \u003d 0.

Për negativin a, mund të shkaktoni një pasqyrim, të ngjashëm me a pozitivin. Së pari, tregohet se rrënja kubike e një numri negativ nuk mund të jetë e barabartë me një numër pozitiv, as zero. Në një mënyrë tjetër, le të supozojmë se ka një rrënjë tjetër kubike nga një numër negativ dhe tregohet se verërat e gjuhës kombinohen me të parën.

Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s të çdo numri dhjetor të dhënë a, për më tepër, një.

Damo përcaktimi i rrënjës së kubit aritmetik.

Emërimi

Rrënja kubike aritmetike e një numri të pafund a një numër quhet i panjohur për mua, një kub i ndonjë a të vjetër.

Rrënja e kubit aritmetik të numrit të panjohur a tregohet si shenjë e quajtur shenja e rrënjës së kubit aritmetik, numri 3 në këtë rekord quhet tregues rrënjë. Numri nën shenjën e rrënjës - tse numri i rrënjës, viraz nën shenjën e rrënjës - tse nënrrënjë viraz.

Nëse dëshironi që rrënjës së kubit aritmetik t'i caktohen vetëm numrat negativë a, ju gjithashtu mund të fitoni manualisht hyrjet, për të cilat shenja e rrënjës së kubit aritmetik ndryshon numrat negativë. Le ta përmbledhim kështu: , de a është një numër pozitiv. Për shembull, .

Ne do të flasim për fuqinë e rrënjës kubike në artikullin kryesor të fuqisë së rrënjëve.

Llogaritja e vlerës së rrënjës së kubit quhet llogaritja e rrënjës së kubit, arsyeja është marrë nga artikulli i heroit të rrënjëve: mënyra, zbatim, zgjidhje.

Në fund të këtij paragrafi, le të themi se rrënja kubike e magazinës është një є zgjidhje të formës x 3 =a.

Rrënja e shkallës së n-të, rrënja aritmetike e fazës n

Është e lehtë të kuptosh rrënjën e numrit - ne prezantojmë përcaktimi i rrënjës së fazës së n-të për n.

Emërimi

Rrënja e shkallës së n-të të numrit a- Numri Tse, hapi n i asaj që është më e shtrenjtë a.

Nga cili emërim u kuptua se rrënja e fazës së parë të numrit a është numri a, copëzat e së njëjtës fazë me treguesin natyror u morën 1 \u003d a.

Kemi parë më nga afër pjerrësitë e rrënjëve të shkallës n në n=2 dhe n=3 – rrënja katrore dhe rrënja e kubit. Pra, rrënja katrore është rrënja e një niveli tjetër, dhe rrënja e kubit është rrënja e nivelit të tretë. Për të nxjerrë rrënjët e hapit të n-të me n=4, 5, 6, ... їх ndajini ato manualisht në dy grupe: grupi i parë është rrënja e hapave të çiftuar (tobto, me n=4, 6, 8, ...), grupi tjetër është rrënja e hapave të paçiftuar (tobto, në n=5, 7, 9, ...). Prandaj, rrënja e hapave të çiftuar është e ngjashme me rrënjën katrore, dhe rrënja e hapave të paçiftuar është kub. Le t'i zgjidhim ato me ta.

Le të shohim rrënjët, hapat e të cilave janë djemtë e numrit 4, 6, 8, ... Siç kemi thënë tashmë, era e keqe është e ngjashme me rrënjën katrore të numrit a. Kjo është rrënja e çdo hapi të çiftuar nga numri a іsnuє vetëm për jo shumë a. Për më tepër, nëse a=0, atëherë rrënja a është e vetme dhe e barabartë me zero, dhe nëse a>0, atëherë nga numri a janë dy rrënjë të hapit të çiftëzuar, për më tepër, ata janë numra të kundërt.

Obguruntuemo mbetet i ngurtësuar. Le të jetë b rrënja e shkallës së çiftëzuar (në mënyrë domethënëse її yak 2m, de m është një numër natyror) nga numri a. Supozoni se numri c është një rrënjë më shumë e hapit 2·m në depon a. Atëherë b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ne e dimë formën b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) atëherë (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 , ose b+c=0 , ose b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dy barazimet e para do të thotë se numrat b dhe c janë të barabartë ose b dhe c janë protilegë. Dhe pjesa tjetër e barazisë është e drejtë vetëm për b = c = 0, copëzat e pjesës së majtë të pjesës së majtë janë të virazuara, pasi është jonegative për çdo b dhe si shuma e numrave jonegativë.

Sa i përket rrënjëve të shkallës së n-të me n të paçiftuar, atëherë era e keqe është e ngjashme me rrënjën kub. Pra, rrënja e çdo shkalle të paçiftuar nga numri a përdoret për çdo numër dhjetor a, për më tepër, për një numër të caktuar a vіn є єdine.

Uniteti i rrënjës së hapit të paçiftuar 2 m+1 në magazinë a është sjellë në mënyrë analogjie me vërtetimin e unitetit të rrënjës kubike të a. Vetëm këtu është deputeti i xhelozisë a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) fitimtaria e trajtës b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz në pjesën tjetër të harkut mund të rishkruhet si b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Për shembull, në m=2 ndoshta b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Nëse a dhe b janë pozitive fyese dhe negativet janë një numër pozitiv, atëherë viraz b 2 +c 2 +b·c, i cili është në krahët e nivelit më të lartë të investimit, është pozitiv si shuma e numrave pozitivë. Tani, duke dalë në mënyrë sekuenciale deri në viraz në harqet e hapave përpara të investimit, kalojmë, se era e keqe është gjithashtu pozitive si një shumë numrash pozitivë. Është e nevojshme për rezultatin që barazia b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0Është e mundur vetëm një herë, nëse b−c=0, atëherë nëse numri b është i barabartë me numrin c.

Ka ardhur koha për të eksploruar rrënjët e nivelit të n-të. Për kë jepet përcaktimi i rrënjës aritmetike të shkallës së n-të.

Emërimi

Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri të pafund a numri quhet i panjohur për mua, hapi i n-të i një lloji a.