Root iz neznane številke. Kvadratni koren. Podrobna teorija z aplikacijami. Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Površina kvadratnega zemljišča je 81 dm2. Spoznajte plat joge. Predpostavimo, da je dolžina stranice kvadrata dobra X decimetrov. Todi območje hiše je dražje X² kvadratnih decimetrov. Črepinje za pamet, je površina 81 dm², nato X² \u003d 81. Dolžina stranice kvadrata je pozitivno število. Pozitivno število, katerega kvadrat je 81, je število 9. Pri reševanju problemov je treba za rešitev problema poznati število x, katerega kvadrat je 81 X² \u003d 81. Cena ima dva korena: x 1 = 9 x 2 \u003d - 9, torej 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. Napačna števila 9 і - 9 se imenujejo kvadratni koreni števila 81.

Dragi moji, to je eden od kvadratnih korenov X= 9 є pozitivno število. Yogo se imenuje aritmetični kvadratni koren števila 81 in označuje √81, takšen rang √81 = 9.

Aritmetični kvadratni koren števila A se imenuje meni neznano število, kvadrat neke stare A.

Na primer, števila 6 i - 6 so kvadratni koreni števila 36. Ko je število 6 aritmetični kvadratni koren števila 36, drobci 6 niso število i 62 = 36. Število - 6 ni aritmetični koren.

Aritmetični kvadratni koren števila A označeno takole: √ A.

Predznak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena; A- se imenuje sub-root viraz. Viraz √ A prebrati takole: aritmetični kvadratni koren števila A. Na primer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Če je v tihem razpoloženju jasno, da obstaja aritmetična korenina, bo ta kratka: »kvadratni koren iz A«.

Vrednost kvadratnega korena v skladišču se imenuje vrednost kvadratnega korena. Tsya diya je zavita na kvadrat.

Možno je kvadrirati ne glede na to, ali je število, vendar je mogoče dobiti kvadratni koren, če ni število. Na primer, ni mogoče potegniti kvadratnega korena števila - 4. Ko ste našli takšen koren, potem ga prepoznate s črko X, Odvzeli bi napačno enakost x² = - 4, tako da je vredno cene neznanega števila in na desni - negativno.

Viraz √ A maê sens tilki for a ≥ 0. Vrednost kvadratnega korena lahko na kratko zapišemo takole: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lastniški kapital (√ A)² = A pravično za a ≥ 0. Na tak način spremeniti v dejstvo, da je kvadratni koren negativnega števila A dorivnyuє b, potem v tem √ A =b, je treba premisliti, kaj sta dva uma: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratni koren ulomka

Preštejmo. S spoštovanjem, da je √25 = 5, √36 = 6 in reverzibilno je, da zmaga enakost.

torej jak i , potem je ravnodušnost resnična. Otzhe, .

Izrek: Yakscho A≥ 0 in b> 0, torej je koren iz ulomka enak korenu iz številčnice, deljeno s korenom iz pasice. Potrebno je prinesti, da: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, potem .

Za yak_styu zvedennya ulomek v nogi in znak kvadratnega korena izrek je bil dokončan. Oglejmo si nekaj aplikacij.

Izračunaj, za končan izrek .

Še ena zadnjica: Prinesi kaj , všeč A ≤ 0, b < 0. .

Še ena zadnjica: Izračunaj.

Obračanje kvadratnega korena

Krivda množitelja z-píd do znaka korena. Naj se da Viraz. Yakscho A≥ 0 in b≥ 0, potem lahko po izreku o ustvarjanju korena zapišemo:

Takšno transformacijo imenujemo krivda množitelja z-pod znaka korena. Poglejmo zadnjico;

Izračunajte pri X= 2. Brez srednje zamenjave X= 2 v korenu viraza, da ustvarimo zgibni izračun. Izračunu Qi je mogoče odpustiti, kot da bi krivili znak z-píd korenskih množiteljev: . Če zdaj zamenjamo x = 2, vzamemo:.

Pozneje, z napako množitelja, je korensko znamenje znaka korena podkoren vira ob pogledu na stvarjenje, v katerem je eden ali nekaj množiteljev v kvadratih neznanih števil. Nato rešimo izrek o korenu iz ekstrakcije in izluščimo koren iz kožnega množitelja. Poglejmo zadnjico: Odpuščanje A \u003d √8 + √18 - 4√2 vina v prvih dveh dodankіv množiteljih korenskega znaka, otrimaєmo:. Spodbujam te, to ljubosumje pošteno samo za A≥ 0 in b≥ 0. dobro A < 0, то .

Poglejmo poravnavo x 2 = 4. Razčlenimo jo grafično. Za cgo v enem koordinatnem sistemu bomo ustvarili parabolo y \u003d x 2 i ravno črto y \u003d 4 (slika 74). Smrad je toniran na dveh točkah A (- 2; 4) in B (2; 4). Točki abscise A in B sta enaki koreninam x 2 \u003d 4. Prav tako x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmírkovuyuchi tako, vemo, da je koren enak x 2 \u003d 9 (div. Slika 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

In zdaj poskusimo rozv'yazati enako x 2 \u003d 5; geometrijske ilustracije so predstavljene na sl. 75. Jasno je, da obstajata dva korena x 1 in x 2, poleg tega je q števil, tako kot i v dveh zavojih naprej, enakih za absolutno vrednost in podaljšek za znakom (x 1 - x 2) de korenski enaki so bili enostavno najti (ker jih je mogoče spoznati brez luščenja grafov), z enakimi x 2 = 5 na desni pa ni tako: ne moremo prikazati pomena korenov za naslanjači, lahko ugotovimo le, da je en koren korenin v treh levih več točk - 2 , drugi pa trikrat prav

Točke 2.

Kakšno je število (točka), kako so tri desne točke videti kot točke 2 in kako na kvadrat daje 5? Zrozumílo, sho tse 3, oskílki Z 2 = 9, tj. Pojdite ven več, nižje je potrebno (9\u003e 5).

Torej je za nas število razpršeno med številoma 2 in 3. Toda med številoma 2 in 3 so neosebna racionalna števila, npr. in tako naprej.Možno je, da je med njimi tak prijatelj, kaj? Ne bomo imeli enakih težav iz enakih x 2 - 5, lahko napišemo kaj

Ale, čaka nas nesprejemljivo presenečenje. Zdi se, da ni tiste frakcije, za katero zmaga ljubosumje
Dokaz formulirane trditve je zložljiv. Tim ni manjši, vodi nas joga, šarde so lepše in zadaj, še bolje, da se preizkusite.

Sprejemljivo je, da je tako kratkotrajen dríb, na jaku vykonuêtsya ravnodušnost. Potem je m2 = 5n2. Preostala enakost pomeni, da je naravno število m 2 brez presežka deljivo s 5 (za zasebni pogled n2).

Kasneje se število m 2 konča s številom 5, številom 0. Toda naravno število m se konča s številom 5, torej številom 0. število m je brez presežka deljivo s 5. Sicer pa se zdi, da če je število m razdeljeno na 5, potem je zasebna viide naravno število k. Tse pomeni
da je m = 5k.
In zdaj se čudite:
m 2 \u003d 5n 2;
Predstavljajte si 5k zam_st m za pershu ravnodušnost:

(5k) 2 = 5n 2, potem je 25k 2 = 5n 2 ali n 2 = 5k 2.
Preostalo ljubosumje pomeni, da število. 5n 2 je deljivo s 5 brez presežka. Rozmіrkovuchi, kot še več, pridemo do visnovka o tistih, da je število n deljivo s 5 brez presežka.
Prav tako je m deljen s 5, n je deljen s 5, pozneje je dríb lahko kratek (za 5). In potem smo dovolili, da drip ni bil kratek. Zakaj je na desni? Zakaj, prav mirkuyuchi, smo prišli do točke absurda ali, kot pogosto pravijo matematiki, odnesli obrišite "!
Zvídsi robimo visnovok: take frakcije ni.
Metoda dokazovanja, ob katero smo se trmasto spotikali, se v matematiki imenuje metoda dokazovanja protilega. Bistvo jogijske ofenzive. Diakonu je treba vnesti trdnost, vendar dopuščamo, da je to nesprejemljivo (matematikom se zdi: »dopustno nesprejemljivo« - ne v smislu »nesprejemljivo«, ampak v smislu »kolikor je treba«).
Če zaradi pravnega mirovanja pridemo do supernatančnosti s pametjo, potem smo oropani brkov: naše priznanje je napačno, torej so bili pravilni tisti, ki jih je bilo treba pripeljati do tega.

Kasneje so možna le racionalna števila (in drugih števil še ne poznamo), enakosti x 2 \u003d 5 ni mogoče premagati.
Po preučevanju podobne situacije so matematiki ugotovili, da je treba najti način, kako opisati moj matematični jezik. V zorno kot so uvedli nov simbol, ki so ga poimenovali kvadratni koren, za dodatni simbol korena, ki je enak x 2 \u003d 5, pa so ga zapisali takole:

pričakovano je: "kvadratni koren iz z 5"). Zdaj, za kakršen koli enak um, x 2 \u003d a, de a\u003e O, lahko poznate koren - to so števila , (Mal. 76).

Več rae podkreslimo, scho številka ni tsile і ni dríb.
To pomeni, da ne gre za racionalno število, ampak za število nove narave, o takih številih bomo posebej govorili kasneje, razdeljeno na 5.
Zaenkrat je manj pomembna, vendar je nova številka med številkama 2 in 3, črepinje 2 2 = 4 in manj, nižje 5; Z 2 \u003d 9 in ce nižje 5. Določite lahko:

Res je, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Lahko
navedite:

res, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
V praksi je pomembno upoštevati, da je številka dražja 2,23 ali dražja 2,24, vendar ne gre samo za ljubosumje, ampak je ljubosumje blizu, z namenom vedeti, da je zmagoviti simbol.
Otzhe,

Razprava o rešitvi enakega x 2 \u003d a; Popping v Nestandardni, nezhtetnu (jak za ljubezen kozmonavtijo) situaciji nisem poznal vichens ne-etničnosti udomikh, matematike za matematične modele in plemstva Termin ibe plemstva (nov simbol); z drugimi besedami, smrdi, da uvede novo razumevanje in nato poveča moč tega
koncepti. Sam Tim, novo razumevanje tega razumevanja joge, postaja vodja matematičnega gibanja. Naredili smo enako: uvedli so izraz »kvadratni koren števila a«, uvedli simbol za njegov pomen in tri leta, da osvojimo moč novega koncepta. Zaenkrat vemo samo eno stvar: da je a > 0,
potem - pozitivno število, ki izpolnjuje enakost x 2 \u003d a. Z drugimi besedami, to je pozitivno število, ko ga kvadriramo, dobimo število a.
Oskilki je enako x 2 \u003d 0 maê root x \u003d 0
Zdaj smo pripravljeni prebrati imenovanje.
Sestanek. Kvadratni koren neznanega števila imenujemo tako neznano število, kvadrat nekega starega števila.

To število je mišljeno in število, pri katerem se imenuje korensko število.
Otzhe, kot da a ni številka, potem:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
V tem rangu je viraz manj smiseln za a > 0.
Kaj praviš - en in isti matematični model (en in isti zastoj med neznanimi števili
(in to b), vendar je samo prijatelj opisan z enostavnejšim mojim, nižjim prvim (preprosti simboli zmage).

Operacija iskanja kvadratnega korena negativnega števila se imenuje sprememba kvadratnega korena. Operacija Tsya je preobrat z oživljanjem na trgu. stopnja:

Še enkrat, spoštovanje: tabele imajo manj pozitivnih števil, drobci niso dodeljeni označenemu kvadratnemu korenu. Želim, na primer, (- 5) 2 \u003d 25 - enakost je pravilna, pojdite na naslednji vnos s kvadratnim korenom različice (zato napišite, kaj.)
ne morem Za opravičilo,. - Pozitivno število pomeni .
Pogosto ne rečejo "kvadratni koren", ampak "aritmetični kvadratni koren". Izraz "aritmetika" je zaradi stila izpuščen.

D) Na pogledu na prednje zadnjice lahko navedemo točno vrednost številke. Manj jasno je bilo, da je večji, spodnji 4, ale manjši, spodnji 5, oskolki

42 = 16 (manjše, nižje 17) in 52 = 25 (višje, nižje 17).
Vtím, najbližjo vrednost števila lahko poznamo s pomočjo mikrokalkulatorja, kako maščevati delovanje kvadratnega korena; vrednost je dražja 4.123.
Otzhe,
Številka, všečkaj in poglej številko ni racionalna.
e) ni mogoče izračunati, kvadratnega korena negativnega števila ni mogoče uporabiti; zapis razvajanja čutov. Naročilo je bilo napačno predlagano.
e) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. V takih primerih lahko zmagate tabelo kvadratov naravnih števil in mikrokalkulator.
g), drobci 75 > 0 in 75 2 = 5625.
V najpreprostejših primerih se vrednosti kvadratnega korena štejejo v vrsti: skromno. bud. V zložljivih situacijah je potrebno prikazati tabelo kvadratov števil chi in izvesti izračune z dodatnim mikrokalkulatorjem. In kako buti, kako lahko ena roka brez tabel, brez kalkulatorja? V_dpovіmo na verigi hrane, viríshivshi napadajo rit.

rit 2. Izračunaj
rešitev.
Prva stopnja. Ni važno, če uganete, da ima vidpovid viide 50 іz "rep". Dejansko je 50 2 = 2500 in 60 2 = 3600, število 2809 pa je spremenjeno med številkama 2500 in 3600.

Druga stopnja. Poznamo "rep", tobto. Pustil bom številko neumne številke. Dokler vemo, da korenina raste, potem lahko v prihodnosti imate 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ali 59. Preveriti morate le dve številki: 53 in 57, vonj smradu na kvadrat da b v. Rezultat je drugačna številka, ki se konča s številko 9, nato pa ista številka, ki se konča s številko 2809.
Maêmo 532 = 2809 tse tistih, ki jih potrebujemo (imeli smo srečo, zapravili smo se v "jabolku"). Otzhe, = 53.
Predlog:

53
primer 3. Kraka ravno rezanega trikutnika sta debela 1 cm in 2 cm Zakaj je trikutnik hipotenuza? (Mal.77)

rešitev.

Hitro sledimo geometriji Pitagorovega izreka: vsota kvadratov dolžin krakov ravno rezanega trikoja je enaka kvadratu dolžine njegove hipotenuze, torej a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - noge, c - hipotenuza ravno rezanega trikota.

Pomeniti,

Ta zadnjica kaže, da uvedba kvadratnega korena ni matematikov problem, temveč objektivna nujnost: v resničnem življenju so situacije vse pogostejše, katerih matematični modeli lahko premagajo operacijo iztiskanja kvadratnega korena. Morda je najpomembnejša takšna situacija povezana z
rozvyazannyam square rivnyan. Dosi, z uporabo kvadrata, ki je enak ax 2 + bx + c \u003d 0, smo bodisi levi del razporedili v množitelje (kar se je izkazalo za daleč od resničnosti) ali pa so točkovali grafične metode (ki niso preveč modne, a lepe ). Res za vizualizacijo
korena x 1 in x 2 kvadratne enačbe ax 2 + bx + c = 0

maščevanje, kot vidite, znak kvadratnega korena. Qi formule zastosovuyutsya praktično v takem rangu. Daj no, na primer, razdeliti morate 2x 2 + bx - 7 = 0. Tukaj je a = 2, b = 5, c = - 7. Kasneje,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali je znan. Pomeniti,

Določili smo več, kar ni racionalno število.
Matematiki takšna števila imenujejo iracionalna. Iracionalno - naj bo to številka, kot da se kvadratni koren ne pojavi. na primer in itd. - Iracionalna števila. V 5 poročilih bomo govorili o racionalnih in iracionalnih številih. Racionalna in iracionalna števila hkrati postanejo neosebna realna števila, tj. neosebna števila, s katerimi lahko operiramo v realnem življenju (npr
novice). Na primer, vse to so veljavne številke.
Enako, kot smo že označili pojem kvadratnega korena, lahko pripišemo pojem kubnega korena: kubni koren neznanega števila a imenujemo meni neznano število, katerega kub je število. V nasprotnem primeru očitno ljubosumje pomeni, da b 3 \u003d a.

Pri predmetu algebra 11. razreda je vse mogoče.

Koncept kvadratnega korena neznanega števila

Poglejmo poravnavo x2 = 4. Razčlenimo jo grafično. Za koga v enem sistemu koordinate zbuduêmo parabolo y \u003d x2 i ravna črta y \u003d 4 (slika 74). Smrad je toniran na dveh točkah A (- 2; 4) in B (2; 4). Točki abscise A in B sta enaki korenoma x2 = 4. Prav tako je x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi, tako da je, poznamo koren, ki je enak x2 = 9 (div. sl. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

In zdaj poskusimo rozv'yazati enako x2 = 5; geometrijske ilustracije so predstavljene na sl. 75. Jasno je, da obstajata dva korena x1 in x2, poleg tega je število števil, kot je in v dveh prednjih pobočjih, enako za absolutno vrednost in dolžino za znakom (x1 - - x2) varuška, če bi lahko enostavno jih najdeš (ker bi jih lahko spoznal, ne da bi škripal z grafi), če je x2 = 5 na desni, ni tako: ne moremo prikazati pomena korenov za naslanjači, lahko ga damo samo v eno korenina tri točke levo od točke - 2, druga - tri desno od točke 2.

Ale, čaka nas nesprejemljivo presenečenje. Videti, tega ni ulomki DIV_ADBLOCK32">

Sprejemljivo je, da je tako kratkotrajna dríb, za katero zmaga ravnodušnost https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, tj. m2 = 5n2. Preostalo ljubosumje pomeni, da naravno število m2 se lahko brez presežka deli s 5 (zasebna širina ima n2).

Kasneje se število m2 konča s številom 5, številom 0. Toda naravno število m se konča s številom 5, številom 0, to pomeni, da se število m deli s 5 brez presežka. Sicer pa se zdi, da če je število m razdeljeno na 5, potem je zasebna viide naravno število k. Ze pomeni, da je m = 5k.

In zdaj se čudite:

Predstavljajte si 5k zam_st m za pershu ravnodušnost:

(5k) 2 = 5n2, potem je 25k2 = 5n2 ali n2 = 5k2.

Preostalo ljubosumje pomeni, da število. 5n2 je deljeno s 5 brez presežka. Rozmirkovuchi, kot več, pridemo do visnovke o tistih, da je število n deljivo s 5 brez presežek.

Prav tako je m deljen s 5, n je deljen s 5, pozneje je dríb lahko kratek (za 5). In potem smo dovolili, da drip ni bil kratek. Zakaj je na desni? Zakaj, prav mirkuyuchi, smo prišli do točke absurda ali, kot pogosto pravijo matematiki, odnesli obrišite "! ).

Če zaradi pravnega mirovanja pridemo do supernatančnosti s pametjo, potem smo oropani brkov: naše priznanje je napačno, torej so bili pravilni tisti, ki jih je bilo treba pripeljati do tega.

Oče, lebdi v tvojem redu racionalna števila(In še vedno ne poznamo drugih števil), enako x2 = 5 in ne moremo ga premagati.

Po preučevanju podobne situacije so matematiki ugotovili, da je treba najti način, kako opisati moj matematični jezik. Uvedli so na videz nov simbol, ki so ga poimenovali kvadratni koren, za dodatni simbol korena, ki je enak x2 \u003d 5, pa so ga zapisali takole: ). Zdaj, iz kakršnega koli razloga, x2 = a, de a > Oh, lahko poznate koren - to so števila https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} ni zdrava in ne suha.
To pomeni, da ne gre za racionalno število, ampak za število nove narave, o takih številih bomo posebej govorili kasneje, razdeljeno na 5.
Zaenkrat je manj pomembna, vendar je nova številka med številkama 2 in 3, drobci 22 = 4 in manj, nižje 5; Z2 \u003d 9 in več nižjih od 5. Določite lahko:

Še enkrat, spoštovanje: tabele imajo manj pozitivnih števil, drobci niso dodeljeni označenemu kvadratnemu korenu. Če je na primer = 25 - enakost pravilna, pojdite na naslednji vnos v zapis kvadratnega korena (napišite kaj). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- Pozitivno število pomeni https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Bolj razumno je bilo, da je bil večji, nižji 4, ale, manjši, nižji 5, 42 = 16 (manjši, nižji 17) in 52 = 25 (manj večji, nižji 17).
Vtіm, najbližja vrednost števila je lahko znana za pomoč mikrokalkulator kako maščevati operacijo kvadratnega korena; vrednost je dražja 4.123.

Številka, všečkaj in poglej številko ni racionalna.
e) ni mogoče izračunati, kvadratnega korena negativnega števila ni mogoče uporabiti; zapis razvajanja čutov. Naročilo je bilo napačno predlagano.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} drobci 75> 0 і 752 = 5625.

V najpreprostejših primerih se vrednosti kvadratnega korena štejejo v večkratnikih:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
rešitev.
Prva stopnja. Ni važno, če uganete, da ima vidpovid viide 50 іz "rep". Dejansko je 502 = 2500 in 602 = 3600, število 2809 pa je spremenjeno med številkama 2500 in 3600.

Še enkrat pogled na tablo ... In gremo!

Začnimo pri preprostem:

Khvilinka. tse in tse pomeni, da lahko zapišemo takole:

Osvojen? Os vašega napredovanja:

Koren številk, kaj se je zgodilo, res ne izstopa? Ne bída - os vas tako uporablja:

In koliko množiteljev ni dva, ampak več? Enako! Formula za množenje korenov deluje glede na to, ali obstaja poljubno število množiteljev:

Zdaj bom naredil sam:

Predlogi: Dobro opravljeno! Počakaj, vse je enostavno, poznaš tabelo množenja!

Rozpodíl koreniv

Pognali smo veliko korenin, zdaj pa preidimo na moč.

Predvidevam, da je formula za zloglasne videti takole:

Kaj to pomeni root iz dela zasebnega korena.

No, pa si poglejmo zadnjice:

Os i vsa znanost. In os je tak primer:

Vse ni tako gladko, kot prva zadnjica, ale, kot bachish, nič se ne zloži.

In kaj, kako se napiti takega viraza:

Potrebno je preprosto zastosuvat formulo na vratih neposredno:

In os je tak primer:

Ali lahko vidite tak viraz:

Vse enako, samo tukaj morate ugibati, kako premakniti ulomke (če se ne spomnite, poglejte temo in se obrnite!). Ugibanje? Zdaj ga vidimo!

Navdušeni, da ste z nami, smo naleteli, zdaj bomo poskušali koreniti svet.

Zvedennya v stopalu

In kaj boš naredil, kot kvadratni koren na kvadrat? Preprosto je, ugibamo pomen kvadratnega korena števila - celega števila, nekakšnega kvadratnega korena.

Torej, iz tega, kako ustvarimo število, kvadratni koren določenega števila, kvadrat, kaj potem vzamemo?

No, super je!

Oglejmo si primere:

Vse je preprosto, kajne? In kaj bo koren drugega sveta? Nič strašnega!

Poiščite to logiko in se spomnite moči in sposobnosti korak za korakom.

Preberite teorijo na temo "" in postalo vam bo izjemno jasno.

Axis, na primer, tak viraz:

Čigava zadnjica bo imela moške noge, a kaj bo vino brez para? No, vem, ustavite nivo moči in vse razdelite na množitelje:

Od te točke je vse jasno, toda kako osvojiti koren številke na svetu? Os, na primer:

Lahko se pije, kajne? Kaj pa več kot dva koraka? Dorimuёmosya ієї zh logika, vikoristuyuyuchi korake moči:

No, kako so vsi razumeli? Uporabite te iste verze sami:

Os i vídpovіdі:

Predstavljen znak korena pid

Zakaj se nismo naučili delati s koreninami! Trajalo je le malo časa, da sem poskusil vnesti število korenin!

Preveč enostavno je!

Recimo, da imamo številko

Kaj lahko storimo z njim? No, zvichayno, zaprite trojico pod korenom, hkrati pa se spomnite, da je trojček kvadratni koren!

Kaj še potrebujemo? Tako preprosto je razširiti naše možnosti s popolnimi aplikacijami:

Kako je s to močjo korenine? Je to res življenjsko vprašanje? Pri meni, tako je! Tilki Upoštevajte, da lahko pozitivnemu številu dodamo samo predznak kvadratnega korena.

Viriš neodvisno os zadnjice -
Pohitel? Čudimo se, kaj lahko vidite v sebi:

Dobro opravljeno! Imate dovolj daleč, da vnesete številko píd znak korena! Preidimo na nekaj, kar ni manj pomembno - poglejmo, kako popraviti številke, da se maščujemo kvadratnemu korenu!

Popravilo korenin

Kaj pa, če se naučimo ugotavljati števila, kako maščevati kvadratni koren?

Nekako preprosto. Pogosto pri velikih in nepomembnih virazih, ki govorijo v spanju, vzamemo iracionalne dokaze (se spomnite, kaj je to? Danes smo že govorili o vas!)

Otrimani vídpovіdí moramo razširiti na koordinatno črto, na primer, da ugotovimo, kateri interval je primeren za rozvyazuvannya rivnyannya. Prva os tu krivi zakovik: kalkulatorja ni v uporabi, a brez njega, kako razkriti, katera številka je večja in katera manjša? Otozh i out!

Na primer, vyznach, kaj je več: chi?

Ne boste povedali takoj. No, kaj, ali je hitro potegniti moč vnesenega števila pod znak korena?

Kar daj:

No, očitno, večje kot je število pod znakom korena, večji je sam koren!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi trdno robimo visnovok, scho. In nihče nas ne spreminja z druge strani!

Napovedovanje korenin velikih števil

Pred kom smo uvedli množitelj pod znakom korena, pa naj mu kaj zamerim? Preprosto morate postaviti jogo na množitelje in zmagati tiste, ki se borijo!

Piti je bilo mogoče drugače in ga razširiti na druge množitelje:

Ni slabo, kajne? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vírniy, viríshuy kot ti priročno.

Dogovor za množilnike bo imel srečo pri izvajanju takšnih nestandardnih nalog, kot je os verige:

Ne lakaêmos, ampak diemo! Sestavimo usnjeni množitelj pod korenom na okremi množilniku:

In zdaj poskusite sami (brez kalkulatorja! Na jogi ne boste mogli spati):

Hiba tse kinets? Naj vas pivdoroz ne zavede!

Axis in vse, ne tako vse in strašljivo, kajne?

Wiishlo? Bravo, prav imaš!

In zdaj poskusite tole virishiti:

In zadnjica je mitzny pot, tako da je ne boste mogli takoj pobrati, kot da boste stopili na novo. Ale nam je vino očitno v zobeh.

No, kaj pa ureditev multiplikatorjev? Zelo spoštljivo je, da lahko dodamo številko (ugibamo znake deljivosti):

In zdaj poskusite sami (vem, brez kalkulatorja!):

No scho, wiyshlo? Bravo, prav imaš!

P_vedemo p_bags

Kvadratni koren (aritmetični kvadratni koren) neznanega števila imenujemo tako neznano število, kvadrat nekega drugega števila.
.
Če vzamemo samo kvadratni koren vsega, potem vedno vzamemo en neviden rezultat.
Moč aritmetičnega korena:
Ko je kvadratni koren enak, si je treba zapomniti, da večje kot je število pod znakom korena, večji je sam koren.

Kakšen je vaš kvadratni koren? Je vse imelo smisel?

Poskušali smo vam razložiti brez vožnje vse, kar morate vedeti v spanju o kvadratnem korenu.

Zdaj pa tvoj hudič. Napišite nam primerno temo za vas.

Ko sem te zdaj prepoznal, je bilo vse tako jasno.

Zapiši v komentarje in srečno pri spanju!

At tsíy statti mi zaprovadimo razumeti koren števila. Dyatimemo zaporedno: začenši s kvadratnim korenom, pojdimo na opis kubičnega korena, po katerem lahko razumemo koren, ki označuje koren n-te stopnje. Hkrati uvede ime, znak, predlaga uporabo korenov in poda potrebna pojasnila za ta komentar.

Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Za razumevanje pomena korena števila in kvadratnega korena zokrema je potrebna mati. Na tej točki se mi pogosto zishtovhuvatimosya z drugim korakom števila - kvadratom števila.

Pochnemo s imenovalec kvadratnega korena.

Sestanek

Kvadratni koren iz a- Tse število, kvadrat nekega starega a.

Schob vodi uporabite kvadratni koren, Vzemimo nekaj števil, na primer 5 , −0,3 , 0,3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Nato je za dane naloge število 5 kvadratni koren iz števila 25, števili −0,3 in 0,3 sta kvadratni koren iz 0,09, 0 pa kvadratni koren iz nič.

Slid označite, za katero koli številko a isnuê, kvadrat koho dorivnuê a. In zase, za katero koli negativno število a, ne uporabljajte istega decimalnega števila b, kvadrata katerega koli drugega števila a. Res je, da je enakost a=b 2 nemogoča za noben negativni a , drobci b 2 - ne poznam števila za noben b . na tak način, na neosebnih realnih številih ni kvadratnega korena negativnega števila. Z drugimi besedami, na neosebnih realnih številih kvadratni koren negativnega števila ne izstopa in nima smisla.

Sliši se kot logična hrana: "In kolikšen je kvadratni koren iz a za to, ali je a veliko"? Vidpovid - torej. Na podlagi tega dejstva je konstruktivna metoda pomembna za pridobitev pomena vrednosti kvadratnega korena.

Nato navedite bolj logičen razlog: "Koliko je število vseh kvadratnih korenin danega neskončnega števila a - ena, dve, tri, še več"? Os vídpovіd na novo: če je a enak nič, potem je en sam kvadratni koren nič enak nič; na primer, a je pozitivno število, število kvadratnih korenin iz števila a je enako dvema, poleg tega je koren ê. Obguruntuemo tse.

Zbogom a=0. Po drugi strani pa je prikazano, da je nič prava s kvadratnim korenom iz nič. Razlog za očitno parnost 0 2 =0 0=0 je oznaka kvadratnega korena.

Zdaj lahko rečemo, da je 0 en sam kvadratni koren iz nič. Pospeševanje z metodo videnja nesprejemljivega. Predpostavimo, da je znano, da je število b enako število kot nič, vendar je kvadratni koren iz nič. Todi maê vykonuvatisya umova b 2 =0, kar je nemogoče, drobci za be-yakom vídminnym víd nič b vrednost virazu b 2 je pozitiven. Naredili smo super ostrino. Ugotoviti je treba, da je 0 en kvadratni koren iz nič.

Preidemo na vipadkív, če je a pozitivno število. Več so nam povedali, da imate kvadratni koren poljubnega neznanega števila, naj bo kvadratni koren a ê števila b. Sprejemljivo je, da je ê število c, vendar je tudi ê kvadratni koren iz a. Potem kvadratni koren pravičnosti b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, njihovi sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, vendar drobci b 2 − c 2 \u003d (b− c) ( b + c ) , potem (b-c) · (b + c) = 0 . Ljubosumje je vzeto iz moči pooblastila díy іz dіysnimi številkami morda samo takrat, če je b-c=0 ali b+c=0. V tem vrstnem redu sta števili b in c enaki ali protilegirani.

Če dopustimo, da je število d še en kvadratni koren pri skladišču a, potem je treba z zrcaljenjem, podobnim tistemu, ki smo ga že izpostavili, pripeljati, da je d bližje številu b oziroma številu c . Prav tako je število kvadratnih korenov iz pozitivnega števila enako dve, poleg tega je kvadratni koren nasprotna števila.

Za učinkovitost dela s kvadratnimi koreninami je negativni koren "okrepljen" kot pozitiven. Z tíêyu metodo, ki jo je treba uvesti izpeljava aritmetičnega kvadratnega korena.

Sestanek

Aritmetični kvadratni koren negativnega števila a- Tse nevіd'êmne številka, katere kvadrat dovnyuê a.

Za aritmetični kvadratni koren skladišča a se vzame vrednost. Predznak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena. Jogo imenujemo tudi znak radikalnosti. To je lahko deloma malo podobno "korenu" in tudi "radikalu", kar pomeni isti predmet.

Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena imenujemo korensko število, in viraz pod znakom korena - podkoreninski virazom, se v njihovem izrazu "podkorensko število" pogosto nadomesti s "podkorensko število viraz". Na primer, v vnosu je številka 151 glavno korensko število, v vnosu viraz a pa je koren viraz.

Pri branju je beseda "aritmetika" pogosto izpuščena, na primer zapis se bere kot "kvadratni koren iz sedem devetindvajset centov". Beseda "aritmetika" je uporabljena samo enkrat, če želite biti še posebej očitni, lahko uporabite pozitiven kvadratni koren števila.

Glede na uvedeno vrednost ima aritmetični kvadratni koren aritmetičnega kvadratnega korena enako vrednost kot vsako nenegativno število a.

Kvadratni koren pozitivnega števila a za dodatnim znakom aritmetičnega kvadratnega korena zapišemo kot i. Na primer, kvadratni koren števila 13 є i. Aritmetični kvadratni koren iz nič je enak nič, potem je . Pri negativnih številih a vnosi mi niso predmet občutka do dogodka kompleksna števila. Na primer za lajšanje občutka izražanja, ki.

Pri podvrečah pomena kvadratnega korena je moč kvadratnega korena v ospredju, kar je najverjetneje praktično.

Na koncu te točke je vredno upoštevati, da je kvadratni koren števila a ê rešitve v obliki x 2 \u003d boljša sprememba x.

Kubični koren števila

Opredelitev kubnega korena skladišče a je podano na enak način kot kvadratni koren. Temelji le na razumevanju kuba števila, ne pa kvadrata.

Sestanek

Kubični koren števila a imenujemo število, katerega kub je enak a.

Plovna uporabite kubični koren. Za katero število števil, na primer, 7 , 0 , −2/3 і pozna njihovo y kocko: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Torej, na podlagi oznake kubičnega korena lahko potrdite, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič in −2/3 je kubični koren iz −8/27.

Lahko pokažete, da je kubični koren skladišča a, na kvadratni koren, zavzhd іsnuê, poleg tega za nenegativno a , vendar za katero koli realno število a. Za koga lahko zmagate na enak način, o katerem smo ugibali kvadratni koren.

Poleg tega za dano število a ni več enega samega kubnega korena. Prinesemo preostanek čvrstosti. V tem kontekstu lahko pogledamo tri vipade: a je pozitivno število, a=0 in a je negativno število.

Enostavno je pokazati, da če je kubni koren iz a pozitiven, ne more biti niti negativno število niti nič. Res je, naj b ê kubični koren za a, potem lahko zapišemo enakost b 3 \u003d a za namene. Očitno je gotovost lahko pravilna za negativne b і za b=0, konice za negativne b 3 =b·b bodo očitno negativno število hi nič. Tudi kubični koren pozitivnega števila a je pozitivno število.

Zdaj je sprejemljivo, da ima število b en kubični koren več iz števila a, bistveno en c. Potem je c 3 = a. Kasneje b 3 −c 3 =a−a=0 , vendar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(formula za kratko množenje razlika kock), zvezdice (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Otrimanovo ljubosumje je možno le, če je b−c=0 ali b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve enakosti je možno b=c in druge rešitve ni, ker je levi del pozitivno število za poljubna pozitivna števila b і c kot vsota treh pozitivnih seštevkov b 2 , b c і c 2 . Cim je prinesel enotnost kubnega korena pozitivnega števila a.

Ko je a=0, je kubni koren skladišča a ê večji od števila nič. Jasno je, da če domnevate, da število b temelji na, če vidite nič kot kubični koren iz nič, potem je kriva enakost b 3 \u003d 0, saj je možna samo z b \u003d 0.

Za negativni a lahko povzročite zrcaljenje, podobno kot za pozitivni a. Najprej se pokaže, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak pozitivnemu številu niti nič. Na drugačen način predpostavimo, da obstaja še en kubični koren iz negativnega števila in se pokaže, da so vina jezika združena s prvim.

Otzzhe, zavzhd іsnuіê korіnіch s katere koli dane decimalne številke a, poleg tega ena.

Damo oznaka aritmetičnega kubnega korena.

Sestanek

Aritmetični kubični koren neskončnega števila aštevilka se imenuje meni neznana, kocka nekega starega a.

Aritmetični kubični koren neznanega števila a je označen kot znak, imenovan znak aritmetičnega kubnega korena, številka 3 v tem zapisu se imenuje indikator korena. Število pod znakom korena - tse korensko število, viraz pod znakom korena - tse podkoreninski viraz.

Če želite, da se aritmetičnemu kubnemu korenu pripišejo samo negativna števila a, lahko tudi ročno osvojite vnose, pri katerih predznak aritmetičnega kubnega korena spremeni negativna števila. Povzemimo takole: , de a je pozitivno število. na primer .

O moči kubičnega korena bomo govorili v glavnem članku o moči korenin.

Izračun vrednosti kubnega korena se imenuje izračun kubnega korena, razlog je vzet iz članka junaka korenin: načini, uporaba, rešitve.

Na koncu tega odstavka povejmo, da je kubični koren skladišča a ê rešitve oblike x 3 =a.

Koren n-te stopnje, aritmetični koren stopnje n

Koren števila je enostavno razumeti - predstavljamo oznaka korena n-te stopnje za n.

Sestanek

Koren n-te stopnje števila a- Tse številka, n-ti korak tega, kar je dražje a.

Iz katerega imenovanja je bilo razbrati, da je koren prve stopnje števila a število a, drobci iste stopnje z naravnim indikatorjem so bili vzeti 1 \u003d a.

Podrobneje smo preučili naklon korena n-te stopnje pri n=2 in n=3 – kvadratni koren in kubični koren. Torej je kvadratni koren koren druge ravni, kubični koren pa koren tretje stopnje. Če želite razviti korenine n-tega koraka z n=4, 5, 6, ..., jih ročno razdelite v dve skupini: prva skupina je koren parnih korakov (tobto, z n=4, 6, 8, ...), druga skupina je koren neparnih korakov (tobto, pri n=5, 7, 9, …). Zato je koren seznanjenih korakov podoben kvadratnemu korenu, koren neparnih korakov pa je kubičen. Razvrstimo jih z njimi.

Poglejmo korenine, katerih koraki so fantje številke 4, 6, 8, ... Kot smo že povedali, je smrad podoben kvadratnemu korenu števila a. To je koren katerega koli seznanjenega koraka iz števila a іsnuє le za malo a. Poleg tega, če je a = 0, potem je koren a en in enak nič, in če je a> 0, potem obstajata dva korena seznanjenega koraka iz števila a, poleg tega je smrad nasprotna števila.

Obguruntuemo ostane utrjen. Naj bo b koren dvojnega koraka (kar pomeni, da je 2m, de m je naravno število) iz števila a. Predpostavimo, da je število c še en koren koraka 2·m v skladišču a. Potem je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Poznamo obliko b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) potem (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 ali b+c=0 ali b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvi dve enaki pomenita, da sta števili b in c enaki oziroma sta b in c protilegi. In ostala enakost je pravična samo za b = c = 0, drobci levega dela levega dela so virirani, saj je nenegativen za kateri koli b in kot vsota nenegativnih števil.

Kar zadeva korenine n-te stopnje z neparnim n, potem je smrad podoben kubičnemu korenu. Torej se koren katere koli neparne stopnje iz števila a uporablja za katero koli decimalno število a, poleg tega za dano število a vín є dine.

Enotnost korena neparnega koraka 2 m+1 v skladišču a prinesemo po analogiji z dokazom enotnosti kubnega korena a. Samo tukaj je namestnik ljubosumja a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) zmagovitost oblike b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz v preostalem delu loka se lahko prepiše kot b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primer pri m=2 morda b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Če sta a in b užaljena pozitivno užaljena negativno njihov dobutok je pozitivno število, potem je viraz b 2 +c 2 +b·c, ki je v kraku najvišje stopnje naložbe, pozitiven kot vsota pozitivnih števil. Zdaj, zaporedno štrleči do vira na lokih sprednjih stopnic naložbe, preklopimo, da je tudi smrad pozitiven kot vsota pozitivnih števil. Za rezultat je potrebno, da velja enakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 Možno je le enkrat, če je b−c=0, torej če je število b enako številu c.

Prišel je čas za raziskovanje korenin n-te stopnje. Za koga je dano oznaka aritmetičnega korena n-te stopnje.

Sestanek

Aritmetični koren n-te stopnje neskončnega števila aštevilka se imenuje meni neznana, n-ti korak neke vrste a.