Արմատ անհայտ թվից: Քառակուսի արմատ. Մանրամասն տեսություն՝ կիրառություններով. Քառակուսի արմատ, թվաբանական քառակուսի արմատ

Քառակուսի հողամասի մակերեսը 81 դմ2 է։ Իմացեք յոգայի կողմը. Ենթադրենք, որ քառակուսու կողմի երկարությունը լավ է Xդեցիմետրեր։ Տան Թոդի տարածքն ավելի թանկ է X² քառակուսի դեցիմետր: Մտքի բեկորներ, մակերեսը 81 դմ² է, ուրեմն X² \u003d 81. Քառակուսու կողմի երկարությունը դրական թիվ է: Դրական թիվ, որի քառակուսին 81 է, є-ը 9 թիվն է։ Խնդիրները լուծելիս անհրաժեշտ է իմանալ x թիվը, որի քառակուսին 81 է, խնդիրը լուծելու համար։ X² \u003d 81. Գինը ունի երկու արմատ. x 1 = 9 x 2 \u003d - 9, ուրեմն 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81: 9 і - 9 վիրավորական համարները կոչվում են 81 թվի քառակուսի արմատներ:

ջան, քառակուսի արմատներից էդ մեկը X= 9 є դրական թիվ: Յոգոն կոչվում է 81 թվի թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակում է √81, այդպիսի դասակարգում √81 = 9:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատը Ակոչվում է ինձ անծանոթ թիվ, ինչ-որ հին քառակուսի Ա.

Օրինակ՝ 6 i - 6 թվերը 36 թվի քառակուսի արմատներն են։ Երբ 6 թիվը 36 թվի թվաբանական քառակուսի արմատն է, 6 բեկորները i 62 = 36 թիվը չեն։ 6 թիվը չէ։ թվաբանական արմատը.

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ Անշանակում է այսպես՝ √ Ա.

Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան; Ա- կոչվում է ենթարմատային վիրազ։ Վիրազ √ Ակարդալ այսպես՝ թվի թվաբանական քառակուսի արմատ Ա.Օրինակ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7: Հանգիստ տրամադրությունների դեպքում, եթե պարզ է, որ կա թվաբանական արմատ, այն կարճ կլինի. Ա«.

Պահեստում քառակուսի արմատի արժեքը կոչվում է քառակուսի արմատի արժեք: Tsya diya є փաթաթված մինչև քառակուսի:

Կարելի է քառակուսին քառակուսի դնել՝ լինի դա թիվ, բայց քառակուսի արմատ ստանալու համար կարելի է թիվ չլինել։ Օրինակ՝ հնարավոր չէ գծել թվի քառակուսի արմատը՝ 4։ Նման արմատ գտնելով, ուրեմն՝ տառով ճանաչելով։ XՄենք կհանեինք սխալ հավասարությունը x² = - 4, այնպես որ արժե անհայտ թվի արժեքը, իսկ աջ կողմում՝ բացասական:

Վիրազ √ Ա maє sens tilki համար ա ≥ 0. Քառակուսի արմատի արժեքը կարելի է հակիրճ գրել հետևյալ կերպ՝ √ ա ≥ 0, (√Ա)² = Ա. Սեփական կապիտալ (√ Ա)² = Աարդար համար ա ≥ 0. Այսպես վերածել այն բանի, որ բացասական թվի քառակուսի արմատը Ա dorivnyuє բ, ապա այդ √ Ա =բ, հարկ է վերանայել, թե որոնք են հետևյալ երկու մտքերը. b ≥ 0, բ² = Ա.

Կոտորակի քառակուսի արմատ

Եկեք հաշվենք. Հարգանքով, որ √25 = 5, √36 = 6, և շրջելի է, որ հավասարությունը հաղթական է:

այնպես որ յակ ես, ուրեմն համեստությունը ճշմարիտ է: Օտժե, .

Թեորեմ.Յակշո Ա≥ 0 և բ> 0, ուրեմն կոտորակի արմատը հավասար է թվագրքի արմատին, որը բաժանվում է դրոշի արմատին: Անհրաժեշտ է բերել, որ. .

Bo √ Ա≥0 ta √ բ> 0, ապա .

Ոտքի yak_styu zvedennya կոտորակի և քառակուսի արմատի նշանի համար թեորեմն ավարտված է. Եկեք նայենք հավելվածների սփրատին:

Հաշվիր ավարտված թեորեմի համար .

Մեկ այլ հետույք. Ինչ բերեք , նման Ա ≤ 0, բ < 0. .

Մեկ այլ հետույք. Հաշվիր:

.

Քառակուսի արմատի հակադարձում

Բազմապատկիչ z-pіd-ի մեղքը արմատի նշանին: Վիրազը թող տրվի։ Յակշո Ա≥ 0 և բ≥ 0, ապա հետևելով արմատների ստեղծման թեորեմին՝ կարող ենք գրել.

Նման փոխակերպումը կոչվում է արմատի z-pod նշանի բազմապատկիչի մեղքը։ Եկեք նայենք հետույքին;

Հաշվել ժամը X= 2. Միջին փոխարինում չկա X= 2 վիրազի արմատում՝ ծալովի հաշվարկ արտադրելու համար։ Qi-ի հաշվարկը կարելի է ներել, կարծես մեղադրել արմատային բազմապատկիչների z-pіd նշանը. Այժմ փոխարինելով x = 2, մենք վերցնում ենք.

Հետագայում, բազմապատկիչի մեղքով, արմատի նշանի արմատային նշանը արարչագործության տեսիլքում վիրազի ենթարմատն է, որում անհայտ թվերի քառակուսիներում կա մեկ կամ մի քանի բազմապատկիչ։ Այնուհետև եկեք մշակենք արմատի թեորեմը արդյունահանումից և արմատը հանենք մաշկի բազմապատկիչից: Եկեք նայենք հետույքին: Ներողություն A \u003d √8 + √18 - 4√2 գինիներ արմատային նշանի առաջին երկու dodankіv բազմապատկիչների մեջ, otrimaєmo:. Ես քաջալերում եմ քեզ, այդ խանդը արդար միայն Ա≥ 0 և բ≥ 0. լավ Ա < 0, то .

Դիտարկենք հավասարեցումը x 2 = 4. Եկեք այն բաժանենք գրաֆիկական կերպով: Cgo-ի համար մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կստեղծենք պարաբոլա y \u003d x 2 i ուղիղ y \u003d 4 (Նկար 74): Գարշահոտը մգեցված է A (- 2; 4) և B (2; 4) երկու կետերով: Abscissa կետերը A և B հավասար են արմատներին x 2 \u003d 4: Նաև x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2:

Rozmіrkovuyuchi հենց այդպես, մենք գիտենք, որ արմատը հավասար է x 2 \u003d 9 (բաժանում. Նկար 74). x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3:

Եվ հիմա եկեք փորձենք rozv'yazati հավասար x 2 \u003d 5; երկրաչափական նկարազարդումները ներկայացված են նկ. 75. Հասկանալի է, որ կան երկու արմատներ x 1 և x 2, ընդ որում, q թվերը, ինչպես i-ն երկու առաջ թեքություններում, հավասար են բացարձակ արժեքի և երկարացման համար (x 1 - x 2) - Ale նշանի համար: առջևի լանջերի ճակատը, արմատային հավասարները հեշտությամբ հայտնաբերվել են (քանի որ դրանք կարելի է ճանաչել առանց թեփոտվող գրաֆիկների), աջ կողմում հավասար x 2 \u003d 5 այդպես չէ. բազկաթոռների հետևում մենք չենք կարող ցույց տալ արմատների իմաստը, մենք կարող է միայն սահմանել, որ մի արմատը արմատավորված է երեք ձախ կետերով - 2, իսկ մյուսը երեք անգամ ճիշտ է

Միավոր 2.

Ո՞րն է թիվը (կետը), ինչպե՞ս են երեք աջակողմյան 2 և քառակուսի կետերը տալիս 5: Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, այսինքն ավելի շատ դուրս գալ, իջեցնել անհրաժեշտ է (9\u003e 5):

Այսպիսով, մեզ համար թիվը տարածվում է 2 և 3 թվերի միջև: Բայց 2 և 3 թվերի միջև կան անանձնական ռացիոնալ թվեր, օրինակ. եւ այլն։Հնարավոր է, որ նրանց մեջ այդպիսի ընկեր կա, ի՞նչ։ x 2 - 5 հավասարներից նույն խնդիրները չենք ունենա, կարող ենք գրել ինչ

Ա՛յ, ահա մեզ անընդունելի անակնկալ է սպասվում։ Երևում է, չկա այնպիսի ֆրակցիա, որի համար հաղթում է խանդը
Ձևակերպված պնդման ապացույցը ծալովի է։ Թիմն ավելի փոքր չէ, մենք առաջնորդվում ենք յոգայով, բեկորներն ավելի գեղեցիկ են և հետևի մասում, նույնիսկ ավելի լավ է փորձել յոգայի ինտելեկտը:

Ընդունելի է, որ նման կարճատև drіb, վրա yak vykonuєtsya հավասարության: Այնուհետեւ, ապա m2 = 5n2: Մնացած հավասարությունը նշանակում է, որ m 2 բնական թիվը բաժանվում է առանց գերազանցման 5-ի (n2 մասնավոր տեսքի համար):

Հետագայում m 2 թիվը ավարտվում է 5 թվով, 0 թվով, բայց m բնական թիվը ավարտվում է 5 թվով, 0 թվով, ապա։ m թիվը առանց ավելորդության բաժանվում է 5-ի։ Հակառակ դեպքում թվում է, որ եթե m թիվը ստորաբաժանվում է 5-ի, ապա մասնավոր վիդեն բնական k թիվ է։ Ցե նշանակում է
որ m = 5k.
Եվ հիմա զարմացեք.
մ 2 \u003d 5n 2;
Պատկերացրեք 5k zam_st m pershu հավասարության համար.

(5k) 2 = 5n 2, ապա 25k 2 = 5n 2 կամ n 2 = 5k 2:
Խանդը մնալը նշանակում է, որ թիվը. 5n 2-ը առանց ավելորդության բաժանվում է 5-ի: Rozmіrkovuchi, ինչպես և ավելին, մենք գալիս ենք visnovka-ին այն մասին, որ n թիվը առանց ավելորդության բաժանվում է 5-ի:
Նաև m-ը բաժանվում է 5-ի, n-ը բաժանվում է 5-ի, ավելի ուշ drіb-ը կարող է կարճ լինել (5-ով): Եվ հետո մենք թույլ տվեցինք, որ դրիբը կարճ չէր։ Ինչու է այն աջ կողմում: Ինչու, իրավացիորեն միրկույչին, մենք հասանք աբսուրդի կետին, կամ, ինչպես հաճախ ասում են մաթեմատիկոսները, խլեցինք սրբիչը »:
Zvіdsi robimo visnovok: Նման կոտորակ չկա:
Ապացույցի մեթոդը, որի վրա մենք համառորեն պատահաբար բախվել ենք, մաթեմատիկայում կոչվում է պրոտիվոլեգոն ապացուցելու մեթոդ։ Յոգայի հարձակման էությունը. Անհրաժեշտ է, որ սարկավագին հաստատակամություն բերենք, բայց մենք թույլ ենք տալիս, որ դա անընդունելի լինի (մաթեմատիկոսներին թվում է. «հանդուրժելիորեն անընդունելի»՝ ոչ թե «անընդունելի» իմաստով, այլ՝ «որքան որ անհրաժեշտ է»):
Եթե ​​օրինական միռկուվան արդյունքում մենք խելքի հետ գալիս ենք գերճշգրտության, ուրեմն մեզ բեղեր են խլում. մեր խոստովանությունը սխալ է, ապա ճիշտ էին նրանք, ում պետք էր դրան բերել։

Հետագայում հնարավոր են միայն ռացիոնալ թվեր (իսկ մենք այլ թվեր դեռ չգիտենք), հավասար x 2 \u003d 5 հնարավոր չէ հաղթահարել:
Նախապես ուսումնասիրելով նմանատիպ իրավիճակ՝ մաթեմատիկոսները հասկացան, որ անհրաժեշտ է գտնել իմ մաթեմատիկական լեզուն նկարագրելու միջոց: Նրանք տեսանկյունին ներկայացրեցին նոր նշան, որը նրանք անվանեցին քառակուսի արմատ, իսկ արմատի հավելյալ խորհրդանիշի համար, որը հավասար է x 2 \u003d 5, նրանք այն գրեցին այսպես.

ակնկալվում է. «z 5-ի քառակուսի արմատը»): Այժմ, ցանկացած հավասար մտքի համար, x 2 \u003d a, de a\u003e O, դուք կարող եք իմանալ արմատը, դրանք թվեր են: , (Մաղ. 76)։

Ավելի երկնային աջակցություն, scho համարը ամբողջական չէ և ոչ էլ նույնիսկ:
Դա նշանակում է, որ դա ռացիոնալ թիվ չէ, այլ նոր բնույթի թիվ, նման թվերի մասին կխոսենք ավելի ուշ՝ բաժանված 5։
Առայժմ դա ավելի քիչ նշանակալից է, բայց նոր թիվը գտնվում է 2 և 3 թվերի միջև, բեկորները 2 2 = 4, իսկ ավելի քիչ, ցածր 5; Z 2 \u003d 9, և ce ավելի ցածր 5: Կարող եք նշել.

Ճիշտ է, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Դուք կարող եք
նշեք.

իսկապես, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Գործնականում կարևոր է նշել, որ թիվն ավելի թանկ է 2.23, կամ ավելի թանկ է 2.24, բայց դա ոչ միայն խանդ է, այլ նախանձը մոտ է նման հաղթական խորհրդանիշի ճանաչման համար:
Օտժե,

Հավասար x 2 \u003d a լուծման քննարկում; Ժամանակ անցկացնելով ոչ ստանդարտ, ոչ ստանդարտ (ինչպես տիեզերագնացներին սիրող) իրավիճակում և չիմանալով, թե ինչպես դուրս գալ դրանից լրացուցիչ օգնության համար, մաթեմատիկոսները կանխատեսում են մաթեմատիկական մոդելի համար, որը նախկինում օգտագործում էր նրա կողմից, նոր տերմին և նոր նշանակություն (նոր խորհրդանիշ); այլ կերպ ասած՝ գարշահոտություն մտցնելու համար նոր հասկացողություն, իսկ հետո մեծացնել դրա ուժը
հասկացությունները։ Ինքը՝ Թիմը, յոգայի այս ըմբռնման նոր ըմբռնումը դառնում է Մաթեմատիկական շարժման ղեկավար: Մենք դա արեցինք նույն կերպ. նրանք ներմուծեցին «ա թվի քառակուսի արմատ» տերմինը, ներմուծեցին դրա իմաստի խորհրդանիշ և երեք տարի՝ նոր հասկացության ուժը շահելու համար: Առայժմ մենք միայն մեկ բան գիտենք՝ a > 0,
ապա - դրական թիվ, որը բավարարում է հավասարությունը x 2 \u003d a. Այսինքն՝ սա դրական թիվ է, քառակուսու դեպքում դուրս է գալիս a թիվը։
Oskilki հավասար x 2 \u003d 0 maє արմատ x \u003d 0
Այժմ մենք պատրաստ ենք նշանակման ընթերցում տալ։
Նշանակում. Անհայտ թվի քառակուսի արմատը կոչվում է այդպիսի անհայտ թիվ, ինչ-որ հին թվի քառակուսի։

Նշանակվում է Tse թիվը, իսկ այն թիվը, որի վրա կոչվում է արմատային թիվ:
Օտժե, ասես a-ն թիվ չէ, ապա.

Յակշչո ա< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Այս վարկանիշում viraz maє ավելի քիչ է զգում > 0-ի համար:
Ասա ինչ - միևնույն մաթեմատիկական մոդելը (մեկ և նույն հնացածությունը անհայտ թվերի միջև
(և դա բ), բայց միայն ընկերն է նկարագրված ավելի պարզ իմով, առաջինը ցածր (հաղթական պարզ խորհրդանիշներ):

Բացասական թվի քառակուսի արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է քառակուսի արմատի փոփոխություն։ Ցյա օպերացիան հակադարձ է՝ կենդանացնելով հրապարակում. Մակարդակ:

Եվս մեկ անգամ հարգանք՝ աղյուսակներն ունեն ավելի քիչ դրական թվեր, բեկորները նշանակված քառակուսի արմատին չեն վերագրվում: Ես ուզում եմ, օրինակ, (- 5) 2 \u003d 25 - հավասարությունը ճիշտ է, անցեք հաջորդ մուտքին տարբերակի քառակուսի արմատով (այդպես գրեք ինչ):
չի կարող. Ներողությունների համար, . -Դրական թիվ նշանակում է .
Հաճախ ասեք ոչ թե «քառակուսի արմատ», այլ «թվաբանական քառակուսի արմատ»: «Թվաբանություն» տերմինը հանված է ոճի համար։

Դ) Առջևի հետույքի տեսքից մենք կարող ենք նշել թվի ճշգրիտ արժեքը: Ավելի քիչ պարզ էր, որ ավելի մեծ էր, ցածր 4, ale ավելի փոքր, ցածր 5, oskolki

42 = 16 (ավելի փոքր, ցածր 17) և 52 = 25 (ավելի բարձր, ցածր 17):
Vtіm, թվի մոտակա արժեքը կարելի է իմանալ միկրոհաշվիչի օգնությամբ, ինչպես վրեժ լուծել քառակուսի արմատի գործարկման համար; արժեքը ավելի թանկ է 4.123.
Օտժե,
Թիվը, հավանել ու թվին նայել ռացիոնալ չէ։
ե) հնարավոր չէ հաշվարկել, բացասական թվի քառակուսի արմատը չի կարող օգտագործվել. զգայական ինդուլգենցիաների արձանագրություն: Հրամանն առաջարկվել է սխալ։
ե) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. Նման դեպքերում կարելի է շահել բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը և միկրոհաշվիչը։
է), բեկորներ 75 > 0 և 75 2 = 5625:
Ամենապարզ դեպքերում քառակուսի արմատի արժեքները հաշվում են անընդմեջ՝ չնչին: բողբոջ. Ծալովի իրավիճակներում անհրաժեշտ է բերել chi թվերի քառակուսիների աղյուսակ և կատարել հաշվարկներ լրացուցիչ միկրոհաշվիչով: Իսկ ինչպե՞ս բուտի, ինչպե՞ս կարելի է մի ձեռքով ոչ սեղաններ, ոչ հաշվիչ: V_dpovіmo սննդի շղթայի վրա, virіshivshi հարձակվում է հետույքի վրա:

հետույք 2.Հաշվիր
Լուծում.
Առաջին փուլ.Կարևոր չէ՝ կռահեք, որ vidpovid viide-ն ունի 50 іz «պոչ»։ Փաստորեն, 50 2 = 2500, և 60 2 = 3600, իսկ 2809 թիվը փոխվում է 2500 և 3600 թվերի միջև:

Մեկ այլ փուլ.Մենք գիտենք «պոչը», tobto. Ես կթողնեմ հիմար թվի թիվը. Քանի դեռ մենք գիտենք, որ արմատը աճում է, ապա ապագայում դուք կարող եք ունենալ 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 կամ 59: Միայն երկու թիվ է պետք ստուգել՝ 53 և 57 Արդյունքը. տարբեր թիվ, որն ավարտվում է 9 թվով, ապա նույն թիվը, որն ավարտվում է 2809 թվով։
Maєmo 532 = 2809 tse նրանք, որոնք մեզ պետք են (մեզ բախտ վիճակվեց, մենք վատնվեցինք «խնձորի» մեջ): Օտչե, = 53:
Առաջարկություն:

53
օրինակ 3.Ուղիղ կտրվածքով տրիկուտնիկի ոտքերը ունեն 1 սմ և 2 սմ հաստություն, ինչո՞ւ է տրիկուտնիկի հիպոթենուսը: (Mal.77)

Լուծում.

Մենք արագորեն հետևում ենք Պյութագորասի թեորեմի երկրաչափությանը. ուղիղ կտրվածքով տրիկոյի ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարը հավասար է նրա հիպոթենուսի երկարության քառակուսուն, ուստի a 2 + b 2 \u003d c 2 de ա, բ - ոտքեր, գ - ուղիղ կտրվածքով տրիկոտի հիպոթենուզա:

Նկատի ունենալով,

Այս հետույքը ցույց է տալիս, որ քառակուսի արմատի ներմուծումը ոչ թե մաթեմատիկոսի սխալ է, այլ օբյեկտիվ անհրաժեշտություն. իրական կյանքում կան իրավիճակներ, որոնց մաթեմատիկական մոդելները կարող են հաղթահարել քառակուսի արմատը պարտադրելու գործողությունը։ Միգուցե նման իրավիճակներից ամենագլխավորը կապված է
rozvyazannyam հրապարակ ռիվնյան. Դոսի, օգտագործելով քառակուսին հավասար է կացին 2 + bx + c \u003d 0, մենք կամ ձախ մասը դասավորեցինք բազմապատկիչների մեջ (որը պարզվեց, որ հեռու է իրականությունից), կամ նրանք վաստակեցին գրաֆիկական մեթոդներ (որոնք այնքան էլ շքեղ չեն, բայց գեղեցիկ: ) Իսկապես վիզուալիզացիայի համար
ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման արմատ x 1 և x 2

վրեժխնդրություն, ինչպես տեսնում եք, քառակուսի արմատի նշանը: Qi բանաձեւերը zastosovuyutsya գործնականում նման կոչում: Եկեք, օրինակ, դուք պետք է բաժանեք 2x 2 + bx - 7 = 0: Այստեղ a = 2, b = 5, c = - 7: Հետագայում,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Դալին հայտնի է: Նկատի ունենալով,

Մենք ավելի շատ ենք նշանակել, ինչը ռացիոնալ թիվ չէ։
Մաթեմատիկոսները նման թվերն անվանում են իռացիոնալ։ Իռացիոնալ - լինի դա թվային միտք, կարծես քառակուսի արմատը չի հայտնվում: Օրինակ, և այլն։ -Իռացիոնալ թվեր. 5 զեկույցներում կխոսենք ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի մասին։ Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միանգամից դառնում են անանձնական իրական թվեր, այսինքն. անանձնական թվեր, որոնցով մենք կարող ենք գործել իրական կյանքում (համար
նորություններ): Օրինակ՝ այս բոլորը վավեր թվեր են։
Նմանապես, քանի որ մենք արդեն նշանակել ենք քառակուսի արմատ հասկացությունը, մենք կարող ենք վերագրել խորանարդի արմատ հասկացությունը. a անհայտ թվի խորանարդ արմատը կոչվում է ինձ համար անհայտ թիվ, որի խորանարդը թիվ է: Հակառակ դեպքում, ըստ երևույթին, խանդը նշանակում է, որ b 3 \u003d a.

11-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում ամեն ինչ հնարավոր է.

Անհայտ թվի քառակուսի արմատ հասկացությունը

Դիտարկենք հավասարեցումը x2 = 4: Եկեք այն բաժանենք գրաֆիկական ձևով: Ում համար մեկ համակարգում կոորդինատները zbuduєmo պարաբոլա y \u003d x2 i ուղիղ գիծ y \u003d 4 (նկ. 74): Գարշահոտը մգեցված է A (- 2; 4) և B (2; 4) երկու կետերով: Abscissa կետերը A և B հավասար են x2 = 4 արմատներին: Նաև x1 = - 2, x2 = 2:

Ռազմիրկովյուչին այդպես է, մենք գիտենք, որ արմատը հավասար է x2 = 9 (բաժանում. նկ. 74): x1 = - 3, x2 = 3:

Եվ հիմա եկեք փորձենք rozv'yazati հավասար x2 = 5; երկրաչափական նկարազարդումները ներկայացված են նկ. 75. Հասկանալի է, որ կան երկու արմատներ x1 և x2, ընդ որում, թվերի թիվը, ինչպես և երկու առջևի թեքություններում, հավասար է բացարձակ արժեքի և նշանի հետևի երկարության (x1 - - x2), եթե հեշտությամբ կարողանայիք. գտեք դրանք (որովհետև կարող էիք իմանալ դրանք առանց գրաֆիկների քերթելու), եթե աջ կողմում x2 = 5, ապա դա այդպես չէ. մենք չենք կարող ցույց տալ բազկաթոռների հետևում գտնվող արմատների իմաստը, կարող ենք տեղադրել միայն մեկում: արմատերեք կետ դեպի ձախ՝ 2, իսկ մյուսը՝ երեք՝ 2 կետից աջ։

Ա՛յ, ահա մեզ անընդունելի անակնկալ է սպասվում։ Երևում է, այդպիսին չկա կոտորակները DIV_ADBLOCK32">

Ընդունելի է, որ դա այնքան կարճատև դրիբ է, որի համար հաղթական է խաղաղությունը. https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, այսինքն m2 = 5n2: Խանդը մնալը նշանակում է բնական թիվմ2-ն առանց ավելորդության կարելի է բաժանել 5-ի (մասնավոր լայնությունը ունի n2):

Հետագայում m2 թիվը ավարտվում է 5 թվով, 0 թվով, բայց m բնական թիվը ավարտվում է 5 թվով, 0 թվով, այսինքն m թիվը առանց ավելորդության բաժանվում է 5-ի։ Հակառակ դեպքում թվում է, որ եթե m թիվը ստորաբաժանվում է 5-ի, ապա մասնավոր վիդեն բնական k թիվ է։ Ze նշանակում է, որ m = 5k:

Եվ հիմա զարմացեք.

Պատկերացրեք 5k zam_st m pershu հավասարության համար.

(5k) 2 = 5n2, ապա 25k2 = 5n2 կամ n2 = 5k2:

Խանդը մնալը նշանակում է, որ թիվը. 5n2-ը առանց ավելորդության բաժանվում է 5-ի: Ռոզմիրկովուչի, ինչպես ավելին, մենք գալիս ենք վիսնովկային նրանց մասին, որոնց n թիվը բաժանվում է 5-ի առանց ավելցուկ.

Նաև m-ը բաժանվում է 5-ի, n-ը բաժանվում է 5-ի, ավելի ուշ drіb-ը կարող է կարճ լինել (5-ով): Եվ հետո մենք թույլ տվեցինք, որ դրիբը կարճ չէր։ Ինչու է այն աջ կողմում: Ինչու, իրավացիորեն միրկույչին, մենք հասանք աբսուրդի կետին, կամ, ինչպես հաճախ ասում են մաթեմատիկոսները, խլեցինք սրբիչը »: ).

Եթե ​​օրինական միռկուվան արդյունքում մենք խելքի հետ գալիս ենք գերճշգրտության, ուրեմն մեզ բեղեր են խլում. մեր խոստովանությունը սխալ է, ապա ճիշտ էին նրանք, ում պետք էր դրան բերել։

Հայր, լողում է միայն քո պատվերով ռացիոնալ թվեր(Եվ մենք դեռ չգիտենք մյուս թվերը), հավասար է x2 = 5, և մենք չենք կարող հաղթել այն:

Նախապես ուսումնասիրելով նմանատիպ իրավիճակ՝ մաթեմատիկոսները հասկացան, որ անհրաժեշտ է գտնել իմ մաթեմատիկական լեզուն նկարագրելու միջոց: Նրանք ներկայացրեցին թվացյալ նոր խորհրդանիշ, որը նրանք անվանեցին քառակուսի արմատ, և արմատի հավելյալ խորհրդանիշի համար, որը հավասար է x2 \u003d 5, նրանք այն գրեցին այսպես. ) Հիմա, ցանկացած պատճառով, x2 = a, de a > Օ, դուք կարող եք իմանալ արմատը, դրանք թվեր ենhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!}ոչ առողջ և ոչ չոր:
Դա նշանակում է, որ դա ռացիոնալ թիվ չէ, այլ նոր բնույթի թիվ, նման թվերի մասին կխոսենք ավելի ուշ՝ բաժանված 5։
Առայժմ այն ​​ավելի քիչ նշանակալից է, բայց նոր թիվը գտնվում է 2 և 3 թվերի միջև, բեկորները 22 = 4, իսկ ավելի քիչ, ավելի ցածր՝ 5; Z2 \u003d 9 և ավելի ցածր, քան 5: Կարող եք նշել.

Եվս մեկ անգամ հարգանք՝ աղյուսակներն ունեն ավելի քիչ դրական թվեր, բեկորները նշանակված քառակուսի արմատին չեն վերագրվում: Եթե, օրինակ, = 25 - հավասարությունը ճիշտ է, անցեք քառակուսի արմատի գրառման հաջորդ մուտքին (ինչ գրելու համար): .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}-Դրական թիվ նշանակում է https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Ավելի խելամիտ էր, որ այն ավելի մեծ էր, ցածր 4, ալե, ավելի փոքր, ցածր 5, 42 = 16 (ավելի փոքր, ցածր 17) և 52 = 25 (ավելի քիչ մեծ, ցածր 17):
Vtіm, թվի մոտակա արժեքը կարող է հայտնի լինել օգնության համար միկրոհաշվիչինչպես վրեժ լուծել քառակուսի արմատի գործողությունից; արժեքը ավելի թանկ է 4.123.

Թիվը, հավանել ու թվին նայել ռացիոնալ չէ։
ե) հնարավոր չէ հաշվարկել, բացասական թվի քառակուսի արմատը չի կարող օգտագործվել. զգայական ինդուլգենցիաների արձանագրություն: Հրամանն առաջարկվել է սխալ։
ե) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!}բեկորներ 75 > 0 ի 752 = 5625:

Ամենապարզ դեպքերում քառակուսի արմատի արժեքները հաշվվում են բազմապատիկներով.

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Լուծում.
Առաջին փուլ.Կարևոր չէ՝ կռահեք, որ vidpovid viide-ն ունի 50 іz «պոչ»։ Փաստորեն, 502 = 2500, և 602 = 3600, իսկ 2809 թիվը փոխվում է 2500 և 3600 թվերի միջև:

Եվս մեկ անգամ հայացք նետելով ցուցանակին... Եվ գնանք:

Սկսենք պարզից.

Խվիլինկա. tse, իսկ tse նշանակում է, որ մենք կարող ենք գրել այսպես.

Նվաճե՞լ եք: Ձեր առաջխաղացման առանցքը.

Թվերի արմատը, ի՞նչ է պատահել, իրականում աչքի չեն ընկնում։ Մի bіda - ձեր առանցքը, այնպես որ կիրառեք.

Իսկ քանի՞ բազմապատկիչ է ոչ թե երկու, այլ ավելի: Նույնը! Արմատների բազմապատկման բանաձևը աշխատում է այն բանի հետ, թե արդյոք կան որևէ թվով բազմապատկիչներ.

Հիմա ես ինքս կանեմ դա.

Առաջարկություններ.Լավ արեցիր։ Սպասեք, ամեն ինչ հեշտ է, դուք գիտեք բազմապատկման աղյուսակը:

Rozpodіl koreniv

Մենք շատ արմատներ ենք գցել, հիմա իջնենք իշխանության.

Ես կռահեմ, որ տխրահռչակ բանաձևը հետևյալն է.

Ինչ է դա նշանակում արմատ մասնավոր արմատի մի մասից.

Դե, եկեք նայենք հետույքներին.

Առանցք ես ամբողջ գիտությունը. Իսկ առանցքը այսպիսի օրինակ է.

Ամեն ինչ այնքան էլ հարթ չէ, ինչպես առաջին հետույք, ալե, ինչպես բաչիշ, ծալովի բան չկա։

Իսկ ինչ, ինչպես հարբել այսպիսի վիրազին.

Անհրաժեշտ է ուղղակիորեն դարպասի մոտ զաստոսուվաթ բանաձեւը.

Իսկ առանցքը այսպիսի օրինակ է.

Կարող եք տեսնել այսպիսի վիրազ.

Միևնույն է, միայն այստեղ պետք է գուշակել, թե ինչպես տեղափոխել կոտորակները (եթե չեք հիշում, նայեք թեմային և շրջվեք): Գուշակե՞լ: Հիմա մենք դա տեսնում ենք:

Հիացած, որ դու մեզ հետ ես, մենք բախվել ենք, հիմա կփորձենք արմատախիլ անել աշխարհը։

Zvedennya ոտքով

Իսկ դու ի՞նչ ես անելու, ինչպես քառակուսի արմատից քառակուսի։ Դա պարզ է, մենք կռահում ենք թվի քառակուսի արմատի իմաստը՝ ամբողջ թիվը, ինչ-որ քառակուսի արմատը:

Այսպիսով, ինչպե՞ս ենք ստեղծում թիվ, որոշակի թվի քառակուսի արմատ, քառակուսի, ապա ի՞նչ է վերցված:

Դե, դա ապշեցուցիչ է:

Եկեք նայենք օրինակներին.

Ամեն ինչ պարզ է, չէ՞: Իսկ ո՞րն է լինելու այլ աշխարհի արմատը։ Ոչ մի սարսափելի բան!

Փնտրեք այդ տրամաբանությունները և հիշեք քայլ առ քայլ քայլելու ուժն ու կարողությունը:

Կարդացեք տեսությունը «» թեմայով և դուք չափազանց պարզ կդառնաք:

Axis, օրինակ, նման viraz:

Ո՞ւմ հետույքը կունենա արու ոտքեր, բայց գինին ի՞նչ կլինի չզույգված: Դե, ես գիտեմ, դադարեցրեք իշխանության մակարդակը և ամեն ինչ տարածեք բազմապատկիչների մեջ.

Այս կետից ամեն ինչ պարզ է, բայց ինչպե՞ս հաղթել թվի արմատն աշխարհում։ Առանցք, օրինակ.

Հեշտ է խմել, չէ՞: Իսկ ինչ վերաբերում է ավելի քան երկու քայլին: Dorimuёmosya ієї zh տրամաբանություն, vikoristuyuyuchi ուժային քայլեր:

Դե, ինչպես բոլորը հասկացան: Ինքներդ կիրառեք այս նույն հատվածները.

A առանցք i vіdpovіdі:

Ներկայացրեց pid արմատային նշանը

Ինչու՞ մենք չենք սովորել, թե ինչպես աշխատել արմատների հետ: Միայն մի քիչ ժամանակ պահանջվեց՝ փորձելով մուտքագրել արմատների թիվը:

Դա չափազանց հեշտ է:

Ենթադրենք՝ ունենք թիվ

Ի՞նչ կարող ենք անել նրա հետ: Դե, զվիչայնո, փակիր եռամիասնությունը արմատի տակ, միևնույն ժամանակ հիշելով, որ եռյակը քառակուսի արմատն է։

Էլ ի՞նչ է մեզ պետք։ Դա այնքան պարզ է, ընդլայնել մեր հնարավորությունները կատարյալ հավելվածներով.

Ինչպե՞ս է արմատի այդ ուժը: Իսկապե՞ս դա կյանքի հարց է։ Ինձ վրա, դա ճիշտ է: Թիլկի Հիշեք, որ դրական թվին կարող ենք ավելացնել միայն քառակուսի արմատի նշան:

Վիրիշիր անկախ հետույքի առանցքը -
Շտապե՞լ եք: Եկեք զարմանանք, ինչ կարող եք տեսնել ձեր մեջ.

Լավ արեցիր։ Դուք բավականաչափ հեռավորություն ունեք արմատի համարի pіd նշանը մուտքագրելու համար: Եկեք անցնենք մի բանի, որը պակաս կարևոր չէ. եկեք նայենք, թե ինչպես ուղղել թվերը քառակուսի արմատը վրեժ լուծելու համար:

Արմատների վերանորոգում

Ի՞նչ կասեք, որ մենք սովորենք պարզել թվերը, ինչպես վրեժ լուծել քառակուսի արմատից:

Մի տեսակ պարզ: Հաճախ մեծ ու չնչին վիրազաների մոտ, ովքեր խոսում են քնած վիճակում, մենք իռացիոնալ ապացույցներ ենք վերցնում (հիշեք, ի՞նչ է դա այդպես, մենք այսօր արդեն խոսում էինք ձեր մասին):

Otrimani vіdpovіdі մենք պետք է տարածենք կոորդինատային գծի վրա, օրինակ, որոշելու համար, թե որ ինտերվալն է հարմար rozvyazuvannya rivnyannya-ի համար: Այստեղ առաջին առանցքը մեղադրում է զակովիկին՝ հաշվիչը չի օգտագործվում, բայց առանց դրա ինչպե՞ս բացահայտել՝ ո՞ր թիվն է ավելի մեծ, որը՝ փոքր։ Otozh ես դուրս!

Օրինակ, vyznach, ինչն է ավելին: chi?

Դուք անմիջապես չեք ասի. Դե, ի՞նչ, իսկ ներմուծված թվի հզորությունը արմատի նշանի տակ արագ գծե՞լը։

Շարունակիր:

Դե, ակնհայտ է, որ որքան մեծ է թիվը արմատի նշանի տակ, այնքան մեծ է հենց արմատը:

Տոբտո. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi ամուր robimo visnovok, scho. Եվ ոչ ոք չի կարող փոխել մեզ հակառակ կողմից:

Նախագուշակելով մեծ թվերի արմատները

Ո՞ւմ առաջ ենք ներմուծել բազմապատկիչը արմատի նշանի տակ, բայց ինչպե՞ս մեղադրեմ։ Պարզապես պետք է յոգո դնել բազմապատկիչների վրա և քաշել նրանց, ովքեր քաշում են:

Կարելի էր խմել այլ կերպ և տարածել այլ բազմապատկիչների վրա.

Վատ չէ, չէ՞: Be-yaky іz tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy նման ձեզ ձեռքով.

Բազմապատկիչների համար պայմանավորվածությունը բարեհաջող կլինի այնպիսի ոչ ստանդարտ առաջադրանքների իրականացման հետ, ինչպիսին է շղթայի առանցքը.

Մի lakaєmos, բայց diemo! Մենք կաշվե բազմապատկիչ ենք դնում արմատի տակ օկրեմի բազմապատկիչի վրա.

Եվ հիմա փորձեք այն ինքնուրույն (առանց հաշվիչի: Դուք չեք կարողանա քնել յոգայի վրա).

Hiba tse kinets? Մի խաբվեք pivdoroz-ով:

Առանցք և ամեն ինչ, ոչ այնքան ամեն ինչ և սարսափելի, չէ՞:

Wiishlo? Լավ արեցիր, դու ճիշտ ես:

Եվ հիմա փորձեք virishiti-ի հետույքը.

Իսկ հետույքը միաձույլ կաթսա է, այնպես որ դուք չեք կարողանա այն անմիջապես վերցնել, ինչպես որ նորը կբարձրացնեք: Ale us գինիները, ակնհայտորեն, ատամների մեջ:

Դե, իսկ ի՞նչ կասեք բազմապատկիչների կազմակերպման մասին: Շատ հարգելի է, որ դուք կարող եք ավելացնել թիվը (մենք կռահում ենք բաժանելիության նշանները).

Եվ հիմա փորձեք ինքներդ (գիտեմ, առանց հաշվիչի):

Դե, scho, wiyshlo? Լավ արեցիր, դու ճիշտ ես:

P_vedemo p_bags

1. Անհայտ թվի քառակուսի արմատը (թվաբանական քառակուսի արմատ) կոչվում է այդպիսի անհայտ թիվ, ինչ-որ այլ թվի քառակուսի։
   .
2. Եթե ​​մենք ուղղակի վերցնում ենք ամեն ինչի քառակուսի արմատը, ապա միշտ վերցնում ենք մեկ անտեսանելի արդյունք։
3. Թվաբանական արմատի հզորությունը.
4. Երբ քառակուսի արմատը հավասար է, պետք է հիշել, որ որքան մեծ է թիվը արմատի նշանի տակ, այնքան մեծ է հենց արմատը։

Ինչպե՞ս է ձեր քառակուսի արմատը: Ամեն ինչ իմաստ ունի՞:

Մենք փորձել ենք առանց վարելու ձեզ բացատրել այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է քնի մեջ իմանալ քառակուսի արմատի մասին։

Հիմա ձեր սատանան: Գրեք մեզ հարմար թեմա ձեզ համար։

Հիմա ճանաչելով քեզ՝ ամեն ինչ այնքան պարզ էր։

Գրեք մեկնաբանություններում և հաջողություն քնի մեջ:

At tsіy statti mi zaprovadimo հասկանալ թվի արմատը. Dyatimemo հաջորդաբար՝ սկսած քառակուսի արմատից, անցնենք խորանարդ արմատի նկարագրությանը, որից հետո կարող ենք հասկանալ արմատը՝ նշելով n-րդ աստիճանի արմատը։ Միաժամանակ ներմուծում է անուն, նշան, առաջարկում արմատների կիրառում և տալիս այդ մեկնաբանության համար անհրաժեշտ բացատրությունները։

Քառակուսի արմատ, թվաբանական քառակուսի արմատ

Թվի արմատի իմաստը, իսկ զոկրեմի քառակուսի արմատը հասկանալու համար անհրաժեշտ է մորը։ Այս պահին mi հաճախ zishtovhuvatimosya մեկ այլ քայլ թվի - քառակուսի թվի.

Պոչնեմո ս քառակուսի արմատի հայտարար.

Նշանակում

քառակուսի արմատ ա- Ցե թիվը, ինչ-որ հին ա.

Schob առաջատար կիրառել քառակուսի արմատը, Վերցնենք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 5 , −0.3 , 0.3 , 0. (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 = 0.3 0.3 = 0.09 i 0 2 = 0 0 = 0): Այնուհետև տրված հանձնարարությունների համար 5 թիվը 25 թվի քառակուսի արմատն է, −0,3 և 0,3 թվերը 0,09-ի քառակուսի արմատներն են, իսկ 0-ը զրոյի քառակուսի արմատն է։

Սահեցրեք նշանակել, ինչ թվի համար a іsnuє, քառակուսի koho dorivnuє a. Եվ իր համար, ցանկացած բացասական թվի համար, մի օգտագործեք նույն տասնորդական թիվը b, ցանկացած այլ թվի քառակուսին: Ճիշտ է, a=b 2 հավասարությունն անհնար է որևէ բացասականի համար, բեկորներ b 2 - Ես չգիտեմ որևէ b-ի թիվը: նման կերպ, անանձնական իրական թվերի վրա բացասական թվի քառակուսի արմատ չկա. Այսինքն՝ անանձնական իրական թվերի վրա բացասական թվի քառակուսի արմատը աչքի չի ընկնում և իմաստ չունի։

Հնչում է տրամաբանական կերակուր. «Իսկ ո՞րն է a-ի քառակուսի արմատը, թե արդյոք a-ն շատ է»: Vidpovid - այսպես. Այս փաստի վրա հիմնված՝ քառակուսի արմատի արժեքի նշանակությունը շահելու համար կարևոր է կառուցողական մեթոդը։

Ապա բերեք ավելի տրամաբանական պատճառ. «Որքա՞ն է տրված a անսահման թվի բոլոր քառակուսի արմատների թիվը՝ մեկ, երկու, երեք, ավելին»: Առանցք v_dpov_d նորի վրա. եթե a-ն հավասար է զրոյի, ապա զրոյի մեկ քառակուսի արմատը զրո է. օրինակ՝ a-ն դրական թիվ է, a թվից քառակուսի արմատների թիվը հավասար է երկուսի, ընդ որում՝ արմատը՝ є։ Օբգուրունտուեմո ծե.

Ցտեսություն a=0 . Մյուս կողմից, զրոյի քառակուսի արմատով ցույց է տրվում, որ զրոն ճշմարիտ է: Ակնհայտ հավասարության 0 2 =0 0=0 պատճառը քառակուսի արմատի նշանակումն է։

Այժմ կարող ենք ասել, որ 0-ը զրոյի մեկ քառակուսի արմատն է: Անընդունելին տեսնելու մեթոդով արագացում. Ենթադրենք, որ b թիվը հայտնի է որպես զրոյի նույն թիվը, բայց դա զրոյի քառակուսի արմատն է։ Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, ինչը անհնար է, բեկորներ համար be-yakom vіdminnym vіd զրո բ արժեք virazu բ 2 є դրական: Մենք didshli սուպեր-սրություն. Պետք է բերել, որ 0-ը զրոյի մեկ քառակուսի արմատն է։

Անցնում ենք vipadkіv, եթե a-ն դրական թիվ է։ Մեզ ավելին ասացին, որ պետք է օգտագործել ցանկացած թվի քառակուսի արմատ, թող a քառակուսի արմատը հավասար լինի b թվին։ Ընդունելի է, որ є-ն c թիվն է, բայց նաև є-ը a-ի քառակուսի արմատն է։ Այնուհետև արդարության քառակուսի արմատը b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, їх sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, բայց բեկորները b 2 − c 2 \u003d (b− գ) ( b + c ) , ապա (b-c) · (b + c) = 0: Խանդը խլվում է ուժից լիազորությունները dіy іz dіysnimi համարներըգուցե միայն այդ դեպքում, եթե b-c=0 կամ b+c=0: Այս հերթականությամբ b և c թվերը հավասար են կամ պրոտիլեգ:

Եթե ​​թույլ տանք, որ d թիվը՝ a պահեստում ևս մեկ քառակուսի արմատով, ապա հայելու միջոցով, մեր արդեն մատնանշածների նմանությամբ, պետք է բերվի, որ d-ն ավելի մոտ է b թվին կամ c թվին. . Նաև դրական թվից քառակուսի արմատների թիվը հավասար է երկուսի, ընդ որում՝ քառակուսի արմատը հակադիր թվեր է։

Քառակուսի արմատներով աշխատանքի արդյունավետության համար բացասական արմատը «ամրապնդվում է» որպես դրական: Z tієyu մեթոդը կներդրվի թվաբանական քառակուսի արմատի ածանցում.

Նշանակում

Բացասական ա թվի թվաբանական քառակուսի արմատը- Tse nevіd'єmne համարը, որի քառակուսին dovnyuє ա.

Պահեստի a թվաբանական քառակուսի արմատի համար վերցված է արժեքը։ Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան։ Յոգոն կոչվում է նաև ռադիկալի նշան: Սա կարող է մասամբ մի փոքր նման լինել «արմատին», և նաև «արմատականին», ինչը նշանակում է նույն օբյեկտը:

Թվաբանական քառակուսի արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը կոչվում է արմատային համարը, իսկ վիրազ՝ արմատի նշանի տակ - subroot virazom, իրենց տերմինում «ենթարմատային թիվը» հաճախ փոխարինվում է «ենթարմատային համարը viraz»-ով։ Օրինակ՝ մուտքի մեջ 151 թիվը հիմնական արմատային թիվն է, իսկ viraz a մուտքի մեջ արմատը viraz է։

Ընթերցանության ժամանակ «թվաբանություն» բառը հաճախ բաց է թողնվում, օրինակ՝ գրառումը կարդացվում է որպես «յոթ քսանինը ցենտի քառակուսի արմատ»։ «Թվաբանություն» բառն օգտագործվում է միայն մեկ անգամ, եթե ուզում եք առանձնահատուկ բացահայտ լինել, կարող եք գնալ թվի դրական քառակուսի արմատին։

Ներկայացված արժեքի լույսի ներքո թվաբանական քառակուսի արմատի թվաբանական քառակուսի արմատն ունի նույն արժեքը, ինչ ցանկացած ոչ բացասական թիվ a:

Թվաբանական քառակուսի արմատի լրացուցիչ նշանի հետևում դրական թվի քառակուսի արմատը գրվում է i. Օրինակ՝ 13 թվի քառակուսի արմատը є i. Զրոյի թվաբանական քառակուսի արմատը հավասար է զրոյի, ապա . Բացասական a թվերի համար mi գրառումները ենթակա չեն սենսացիայի մինչև իրադարձությունը բարդ թվեր. Օրինակ՝ ազատել արտահայտվելու զգացողությունը, որ.

Քառակուսի արմատի նշանակության ենթապարկերի համար առաջին պլան է մղվում քառակուսի արմատների հզորությունը, որն ամենայն հավանականությամբ գործնական է։

Այս կետի վերջում արժե հարգել, որ a є թվի քառակուսի արմատը լուծում է x 2 \u003d ավելի լավ փոխվում x:

Թվի խորանարդ արմատ

Խորանարդի արմատի սահմանումըպահեստ a-ն տրված է այնպես, ինչպես քառակուսի արմատը։ Այն հիմնված է միայն թվի խորանարդի ըմբռնման վրա, բայց ոչ քառակուսու:

Նշանակում

ա թվի խորանարդային արմատըկոչվում է թիվը, որի խորանարդը հավասար է a.

Նավարկելի կիրառել խորանարդ արմատ. Ո՞ր թվերի համար, օրինակ՝ 7 , 0 , −2/3 ես գիտեմ їх y խորանարդը՝ 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Այսպիսով, հիմնվելով խորանարդի արմատի նշանակման վրա, կարող եք հաստատել, որ 7 թիվը 343-ի խորանարդ արմատն է, 0-ը զրոյի խորանարդային արմատն է, իսկ −2/3-ը −8/27-ի խորանարդի արմատն է:

Դուք կարող եք ցույց տալ, որ պահեստի խորանարդ արմատը a, քառակուսի արմատի վրա, zavzhdi іsnuє, ընդ որում, ոչ բացասական a-ի համար, բայց ցանկացած իրական թվի համար a. Ում համար դուք կարող եք հաղթել նույն կերպ, որի մասին մենք կռահեցինք քառակուսի արմատը:

Ավելին, տրված a թվի համար այլևս մեկ խորանարդ արմատ չկա։ Մնացած ամրությունը բերում ենք։ Այս համատեքստում մենք կարող ենք տեսնել երեք վիպադա՝ a-ն դրական թիվ է, a=0 և a-ն բացասական թիվ է:

Հեշտ է ցույց տալ, որ եթե a-ի խորանարդային արմատը դրական է, այն չի կարող լինել ոչ բացասական թիվ, ոչ էլ զրո: Ճիշտ է, թող b є խորանարդ արմատ a-ի համար, ապա նույնի համար մենք կարող ենք հավասարություն գրել b 3 \u003d a. Ըստ երևույթին, վստահությունը կարող է ճիշտ լինել b і բացասականի համար b=0-ի համար, b 3 =b·b բացասականների համար նշաձողերը ակնհայտորեն կլինեն բացասական chi զրո: Նաև a դրական թվի խորանարդ արմատը դրական թիվ է։

Այժմ ընդունելի է, որ b թիվը a թվից ևս մեկ խորանարդ արմատ ունենա՝ զգալիորեն մեկ c։ Այնուհետեւ c 3 = a. Հետագայում b 3 −c 3 =a−a=0, բայց b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(կարճ բազմապատկման բանաձևը խորանարդների տարբերությունը), աստղեր (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Օտրիմանի խանդը հնարավոր է միայն b−c=0 կամ b 2 +b c+c 2 =0 . Առաջին հավասարությունից b=c հնարավոր է, և այլ լուծում չկա, քանի որ ձախ մասը դրական թիվ է b і c ցանկացած դրական թվի համար՝ որպես երեք դրական գումարումներ b 2 , b c і c 2 : Cim-ը բերեց ա դրական թվի խորանարդային արմատի միասնությունը։

Երբ a=0, a є պահեստի խորանարդի արմատը ավելին է, քան զրոյական թիվը: Հասկանալի է, որ եթե ենթադրում եք, որ b թիվը օգտագործվում է, եթե զրոն տեսնում եք որպես խորանարդ արմատ զրոյից, ապա մեղավոր է b 3 \u003d 0 հավասարությունը, քանի որ դա հնարավոր է միայն b \u003d 0-ով:

Բացասական a-ի համար կարող եք առաջացնել հայելային արտացոլում, որը նման է դրական a-ին: Նախ, ցույց է տրվում, որ բացասական թվի խորանարդային արմատը չի կարող հավասար լինել դրական թվի, ոչ էլ զրոյի: Այլ կերպ, ենթադրենք, որ բացասական թվից կա ևս մեկ խորանարդ արմատ և ցույց է տրվում, որ լեզվի գինիները համակցված են առաջինի հետ։

Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s ցանկացած տրված տասնորդական թվի a, ընդ որում, մեկ.

Դամո թվաբանական խորանարդի արմատի նշանակումը.

Նշանակում

Անսահման թվի թվաբանական խորանարդ արմատը aմի թիվ է կոչվում ինձ անհայտ, մի խորանարդ ինչ-որ հին ա.

A անհայտ թվի թվաբանական խորանարդի արմատը նշվում է որպես թվաբանական խորանարդի արմատի նշան կոչվող նշան, այս գրառման մեջ 3 թիվը կոչվում է. արմատային ցուցիչ. Արմատի նշանի տակ թիվը՝ tse արմատային համարը, վիրազ արմատի նշանի տակ՝ ծե ենթամայր վիրազ.

Եթե ​​ցանկանում եք, որ թվաբանական խորանարդի արմատին վերագրվեն միայն բացասական թվեր a, կարող եք նաև ձեռքով շահել այն գրառումները, որոնց համար թվաբանական խորանարդի արմատի նշանը փոխում է բացասական թվերը։ Ամփոփենք այսպես. , de a-ն դրական թիվ է: Օրինակ, .

Արմատների հզորության հիմնական հոդվածում կխոսենք խորանարդ արմատի հզորության մասին։

Խորանարդային արմատի արժեքի հաշվարկը կոչվում է խորանարդի արմատի հաշվարկ, պատճառը վերցված է արմատների հերոսի հոդվածից՝ ուղիներ, կիրառում, լուծումներ։

Այս պարբերության վերջում ասենք, որ պահեստի խորանարդի արմատը x 3 =a ձևի є լուծումներ է:

n-րդ աստիճանի արմատ, n աստիճանի թվաբանական արմատ

Հեշտ է հասկանալ թվի արմատը, մենք ներկայացնում ենք n-րդ փուլի արմատի նշանակումըհամար n.

Նշանակում

ա թվի n-րդ աստիճանի արմատը- Tse թիվը, ավելի թանկի n-րդ քայլը ա.

Ո՞ր նշանակումից է հասկացվել, որ a թվի առաջին փուլի արմատը a թիվն է, բնական ցուցանիշով նույն աստիճանի բեկորները վերցվել են 1 \u003d a:

Մենք ավելի ուշադիր ենք դիտարկել n-րդ աստիճանի արմատների թեքությունները n=2 և n=3 – քառակուսի արմատը և խորանարդ արմատը: Այսպիսով, քառակուսի արմատը մեկ այլ մակարդակի արմատն է, իսկ խորանարդը երրորդ մակարդակի արմատն է: n-րդ քայլի արմատները n=4, 5, 6, ... їх հանելու համար դրանք ձեռքով բաժանեք երկու խմբի. առաջին խումբը զույգ քայլերի արմատն է (tobto, n=4, 6-ով, 8, ...), մյուս խումբը չզույգված քայլերի արմատն է (tobto, ժամը n=5, 7, 9, …): Հետևաբար, զուգակցված քայլերի արմատը նման է քառակուսի արմատին, իսկ չզույգված քայլերի արմատը խորանարդ է։ Եկեք նրանց հետ դասավորենք:

Եկեք նայենք արմատներին, որոնց քայլերը 4, 6, 8, թվի տղաներն են... Ինչպես արդեն ասացինք, գարշահոտը նման է a թվի քառակուսի արմատին։ Դա a іsnuє թվից ցանկացած զուգակցված քայլի արմատն է միայն ոչ շատ a. Ընդ որում, եթե a=0, ապա a արմատը եզակի է և հավասար է զրոյի, իսկ եթե a>0, ապա a թվից զույգացված քայլի երկու արմատ կա, ընդ որում՝ դրանք հակադիր թվեր են։

Օբգուրունտուեմոն մնում է կարծրացած։ Թող b լինի զուգավորված աստիճանի արմատը (զգալիորեն її yak 2m, de m-ը բնական թիվ է) a թվից։ Ենթադրենք, որ c թիվը a պահեստի 2·m քայլի ևս մեկ արմատն է: Ապա b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Մենք գիտենք b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) ձևը. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)ապա (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 , կամ b+c=0 , կամ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Առաջին երկու հավասարները նշանակում են, որ b և c թվերը հավասար են, կամ b և c թվերը պրոտիլեգներ են: Իսկ մնացած հավասարությունը արդար է միայն b = c = 0-ի համար, ձախ մասի ձախ մասի բեկորները վիրազված են, քանի որ այն ոչ բացասական է ցանկացած b-ի համար և որպես ոչ բացասական թվերի գումար:

Ինչ վերաբերում է n-րդ աստիճանի արմատներին՝ չզույգված n-ով, ապա գարշահոտությունը նման է խորանարդ արմատին։ Այսպիսով, a թվից ցանկացած չզույգացված աստիճանի արմատն օգտագործվում է a ցանկացած տասնորդական թվի համար, ընդ որում՝ տվյալ թվի համար a vіn є єdine:

Պահեստում 2 մ+1 չզույգացված քայլի արմատի միասնությունը բերված է անալոգիայով a-ի խորանարդ արմատի միասնության ապացույցի հետ։ Միայն այստեղ է խանդի պատգամավորը a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)ձևի հաղթականություն b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Վիրազը մնացած աղեղում կարելի է վերաշարադրել ինչպես b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Օրինակ, m=2-ում գուցե b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Եթե ​​a-ն և b-ը վիրավորական դրական են, իսկ բացասական բացասականները՝ դրական թիվ, ապա viraz b 2 +c 2 +b·c, որը գտնվում է ներդրումների ամենաբարձր մակարդակի գրկում, դրական է որպես դրական թվերի գումար: Այժմ, հաջորդաբար դուրս ցցվելով մինչև վիրազը ներդրումային առաջընթաց քայլերի կամարների մոտ, մենք անցնում ենք, որ գարշահոտը նույնպես դրական է որպես դրական թվերի գումար։ Արդյունքի համար անհրաժեշտ է, որ հավասարությունը b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0Դա հնարավոր է միայն մեկ անգամ, եթե b−c=0, ապա եթե b թիվը հավասար է c թվին։

Եկել է ժամանակը բացահայտելու n-րդ մակարդակի արմատները: Ում համար է տրված n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի նշանակումը.

Նշանակում

Անսահման թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը aհամարը կոչվում է ինձ անհայտ, ինչ-որ ա-ի n-րդ քայլը: