Gyökér ismeretlen számból. Négyzetgyök. Részletes elmélet alkalmazásokkal. Négyzetgyök, aritmetikai négyzetgyök

Egy négyzetméteres telek területe 81 dm2. Ismerje meg a jóga oldalát. Tegyük fel, hogy a négyzet oldalának hossza jó x deciméter. A ház Todi területe drágább x² négyzetdeciméter. Szilánkok az elmének, a terület 81 dm², akkor x² \u003d 81. A négyzet oldalának hossza pozitív szám. Pozitív szám, melynek négyzete 81, є a 9. Feladatok megoldásához ismerni kell az x számot, melynek négyzete 81, a feladat megoldásához x² \u003d 81. Az árnak két gyökere van: x 1 = 9 x 2 \u003d - 9, tehát 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. A sértő 9 і - 9 számokat a 81 szám négyzetgyökének nevezzük.

Kedvesem, ez az egyik négyzetgyök x= 9 є pozitív szám. A jógót a 81 szám aritmetikai négyzetgyökének nevezik, és √81-et jelöl, ilyen rangsor √81 = 9.

Egy szám aritmetikai négyzetgyöke A számomra ismeretlen számnak hívják, valami régi négyzetének A.

Például a 6 i - 6 számok a 36 szám négyzetgyökei. Ha a 6 a 36 szám aritmetikai négyzetgyöke, a 6-os szilánkok nem az i 62 = 36 számot jelentik. A -6 szám nem az a számtani gyök.

Szám aritmetikai négyzetgyöke Aígy jelölve: √ A.

Az előjelet a számtani négyzetgyök jelének nevezik; A- viraz algyökérnek nevezik. Viraz √ A olvas így: egy szám aritmetikai négyzetgyöke A. Például √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Csendes hangulatban, ha egyértelmű, hogy van számtani gyök, akkor rövid lesz: „a négyzetgyök A«.

A raktárban lévő négyzetgyök értékét négyzetgyök értéknek nevezzük. Tsya diya є becsomagolva egy négyzetre.

Lehetőség van a négyzet négyzetre emelésére, függetlenül attól, hogy szám-e, de négyzetgyök eléréséhez lehetséges, hogy nem is szám. Például nem lehet megrajzolni a 4-es szám négyzetgyökét. Ha talált egy ilyen gyökeret, akkor felismerte egy betűvel x, A rossz x² = - 4 egyenlőséget elvennénk, tehát megéri egy ismeretlen szám árát, a jobb oldalon pedig - negatív.

Viraz √ A maє sens tilki for a ≥ 0. A négyzetgyök értéke röviden a következőképpen írható fel: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Tőke (√ A)² = A méltányos számára a ≥ 0. Oly módon, hogy megváltozzon a tény, hogy a négyzetgyök egy negatív szám A dorivnyuє b, akkor abban √ A =b, át kell gondolni, mi a két elme: b ≥ 0, b² = A.

Tört négyzetgyöke

Számoljunk. Tisztelettel, hogy √25 = 5, √36 = 6, és megfordíthatjuk az egyenlőség értékét.

szóval jak i , akkor az egyenrangúság igaz. Otzhe, .

Tétel: Yakscho A≥ 0 és b> 0, tehát a tört gyöke megegyezik a számkönyv gyökérével, osztva a szalagcím gyökérével. Ezt kell vinni: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, akkor .

A lábfejben lévő yak_styu zvedennya frakcióhoz és a négyzetgyök jeléhez a tétel elkészült. Nézzük meg az alkalmazások sprattját.

Számítsa ki a kész tételre .

Még egy csikk: Hozz mit , mint A ≤ 0, b < 0. .

Még egy fenék: Számolj.

A négyzetgyök megfordítása

A z-pіd szorzó bűnössége a gyökér jeléig. Viraz legyen megadva. Yakscho A≥ 0 és b≥ 0, akkor a gyökéralkotási tételt követve felírhatjuk:

Az ilyen átalakulást a gyökér z-pod jele szorzójának bűnösségének nevezzük. Nézzük a csikket;

Számítsa ki x= 2. Nincs középcsere x= 2 a viraz gyökérben, hogy hajtsa végre a számítást. A Qi számítás megbocsátható, mintha a gyökérszorzók z-pіd jelét hibáztatná: . Behelyettesítve most x = 2-t veszünk:.

Később a szorzó vétkével a gyök jelének gyökjele a teremtés víziójában a viraz egy részgyöke, amelyben az ismeretlen számok négyzetében egy vagy több szorzó található. Ezután dolgozzuk ki az extrakcióból származó gyökér tételét, és vonjuk ki a gyökeret a bőr szorzóból. Nézzük meg a seggét: Bocsánat A \u003d √8 + √18 - 4√2 borok az első két dodankіv szorzójában a gyökérjel, otrimaєmo:. Bátorítalak, ez a féltékenység csak azért tisztességes A≥ 0 és b≥ 0. hát A < 0, то .

Nézzük meg az x 2 = 4 igazítást. Bontsuk fel grafikusan. Egy koordinátarendszerben lévő cgo esetén létrehozunk egy y \u003d x 2 i egyenes y \u003d 4 parabolát (74. ábra). A bűz két ponton árnyalódik: A (- 2; 4) és B (2; 4). Az A és B abszcissza pont egyenlő az x 2 \u003d 4 gyökökkel. Továbbá x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmіrkovuyuchi pontosan így, tudjuk, hogy a gyök egyenlő x 2 \u003d 9 (div. 74. ábra): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

És most próbáljuk meg rozv'yazati egyenlő x 2 \u003d 5; ábrán a geometriai illusztrációk láthatók. 75. Nyilvánvaló, hogy két gyöke van x 1 és x 2, sőt, q számok, mint i két előremenő meredekségben, egyenlőek az (x 1 - x 2) - Ale előjel abszolút értékére és meghosszabbítására. Az elülső lejtők előtt könnyen megtalálhatóak voltak a de root egyenlők (mert grafikonok hámozása nélkül is ismertek), a jobb oldali x 2 = 5 egyenlőkkel nem így van: a fotelek mögött nem tudjuk megmutatni a gyökerek jelentését, meg tudjuk csak azt állapítsa meg, hogy az egyik gyökér három oroszlánban több pontban gyökerezik - 2 , a másik pedig háromszor igaz

2. pont.

Mi a szám (pont), hogyan néz ki a három jobb oldali pont a 2-es pontnak, és hogy négyzetesen adja meg az 5-öt? Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, azaz menj ki többet, alacsonyabbra van szükség (9\u003e 5).

Tehát számunkra a szám a 2 és 3 között oszlik meg. De a 2 és 3 között vannak például személytelen racionális számok. és így tovább. Lehetséges, hogy van köztük ilyen barát, mi? Az x 2 - 5 egyenlőségből nem lesznek ugyanazok a problémák, leírhatjuk mit

Ale, elfogadhatatlan meglepetésben lesz részünk. Úgy tűnik, nincs olyan töredék, amelynél a féltékenység győz
A megfogalmazott állítás bizonyítása összecsukható. Tim nem kisebb, minket a jóga vezérel, a szilánkok szebbek és hátul, még jobb kipróbálni az elmét.

Elfogadható, hogy egy ilyen rövid életű drіb, a jakon vykonuєtsya kiegyensúlyozottság. Ekkor m2 = 5n2. A fennmaradó egyenlőség azt jelenti, hogy az m 2 természetes szám többlet nélkül osztható 5-tel (magánnézetnél n2).

Később az m 2 szám 5-re, 0-ra végződik. De az m természetes szám 5-re, a 0-ra végződik. az m szám többlet nélkül osztható 5-tel. Egyébként úgy tűnik, hogy ha az m számot 5-tel osztjuk, akkor a privát viide egy k természetes szám. Tse azt jelenti
hogy m = 5k.
És most csoda:
m 2 \u003d 5n 2;
Képzelj el 5k zam_st m-t a pershu egyensúlyért:

(5k) 2 = 5n 2, majd 25k 2 = 5n 2 vagy n 2 = 5k 2.
Maradt féltékenység azt jelenti, hogy a szám. 5n 2 osztható 5-tel többlet nélkül. Rozmіrkovuchi, mint még több, eljutunk a visnovkához azokról, hogy az n szám többlet nélkül osztható 5-tel.
Ezenkívül m osztva 5-tel, n osztva 5-tel, később a drіb lehet rövid (5-tel). És akkor megengedtük, hogy a drib ne legyen rövid. Miért van a jobb oldalon? Miért, jogosan mirkuyuchi, miért jutottunk el az abszurditásig, vagy, ahogy a matematikusok gyakran mondják, elvittük a törlőkendőt!
Zvіdsi robimo visnovok: nincs ilyen tört.
A bizonyítási módszert, amelybe makacsul belebotlottunk, a matematikában a protivolego bizonyítási módszerének nevezik. A jóga offenzíva lényege. Szükséges, hogy szilárdságot vigyünk a diakónusba, de megengedjük, hogy elfogadhatatlan legyen (a matematikusok úgy néznek ki: „tűrhetően elfogadhatatlan” - nem insensi „elfogadhatatlan”, hanem értelemben „amennyire szükséges”).
Ha a jogi egyeztetések eredményeként az elmével szuperpontosságra jutunk, akkor elzárkózunk a bajusztól: téves a beismerésünk, akkor azoknak volt igaza, akiket rá kellett hozni.

Később csak racionális számok lehetségesek (és más számokat még nem ismerünk), az egyenlő x 2 \u003d 5 nem leküzdhető.
Miután előre tanulmányoztam egy hasonló helyzetet, a matematikusok rájöttek, hogy ki kell találnom a matematikai nyelvem leírásának módját. Új szimbólumot vezettek be a nézőpontba, amelyet négyzetgyöknek neveztek, és a gyök további szimbólumához, amely egyenlő x 2 \u003d 5, így írták le:

ez várható: "z 5 négyzetgyöke". Nos, bármilyen egyenlő elme esetén x 2 \u003d a, de a\u003e O, megtudhatja a gyöket - ezek számok , (Mal. 76).

Több rae podkreslimo, scho a szám nem tsile і nem drіb.
Ez azt jelenti, hogy ez nem egy racionális szám, hanem egy új természetű szám, az ilyen számokról később külön szó lesz, 5-tel osztva.
Egyelőre kevésbé jelentős, de az új szám 2 és 3 között van, a szilánkok 2 2 = 4, és kevesebb, alacsonyabb 5; Z 2 \u003d 9, és ce még alacsonyabb 5. Megadhatja:

Igaz, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Megteheti
adja meg:

valóban, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
A gyakorlatban fontos megjegyezni, hogy a szám drágább 2,23, vagy drágább 2,24, de ez nem csak a féltékenység, hanem a féltékenység is közel van, abból a célból, hogy tudjuk, hogy a győztes szimbólum.
Otzhe,

Egyenlő x 2 \u003d a megoldásának megbeszélése; Nepnandartnuban, Nestarnuban (jak szeretni a kozmonautyot) a helyzetet nem ismertem a nem-újratelepítés vichene-jét, a matematikusokat a matematikai modellekhez és a Termin I nemesség előkelőségét (új szimbólum); más szóval, büdös, hogy bevezessen egy új megértést, majd növelje annak erejét
fogalmak. Tim maga, ennek a jóga-megértésnek az új megértése válik a Matematikai Mozgalom fejévé. Mi is így tettük: bevezették az „a szám négyzetgyöke” kifejezést, bevezettek egy szimbólumot a jelentésére, és három év, hogy elnyerjék egy új fogalom erejét. Eddig csak egy dolgot tudunk: hogy a > 0,
akkor - egy pozitív szám, amely kielégíti az x 2 \u003d a egyenlőséget. Más szóval, ez egy pozitív szám, négyzetre vetve az a szám jön ki.
Oskilki egyenlő x 2 \u003d 0 maє gyökér x \u003d 0
Most készen állunk, hogy felolvassuk a találkozót.
Időpont egyeztetés. Egy ismeretlen szám négyzetgyökét ilyen ismeretlen számnak nevezzük, valami régi szám négyzetének.

Tse számot értünk, és azt a számot, amelynél gyökérszámnak nevezzük.
Otzhe, mintha a nem szám lenne, akkor:

Yakscho a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Ebben a rangban a viraz kevesebbet ér, ha > 0.
Mondd mi - egy és ugyanaz a matematikai modell (egy és ugyanaz az elévülés az ismeretlen számok között
(és hogy b), de csak egy barátot írnak le egyszerűbb enyém, alsó az első (győzelem egyszerű szimbólumok).

A negatív szám négyzetgyökének megtalálásának műveletét a négyzetgyök változásának nevezzük. A Tsya-művelet egy visszafordítás azáltal, hogy életre kelt a téren. Szint:

Még egyszer tisztelet: a táblákban kevesebb a pozitív szám, a szilánkok nincsenek a kijelölt négyzetgyökhöz rendelve. Azt akarom például, hogy (- 5) 2 \u003d 25 - az egyenlőség helyes, lépjen a következő bejegyzésre a változat négyzetgyökével (tehát írja meg, mit.)
nem lehet. A bocsánatkérésért, . - A pozitív szám azt jelenti .
Gyakran azt mondják, hogy nem „négyzetgyök”, hanem „számtani négyzetgyök”. Az "aritmetika" kifejezést a stílus kedvéért kihagytuk.

D) Az elülső csikkek nézetén meg tudjuk adni a szám pontos értékét. Kevésbé volt egyértelmű, hogy nagyobb, alsó 4, ale kisebb, alsó 5, oskolki

42 = 16 (kisebb, alacsonyabb 17), és 52 = 25 (magasabb, alacsonyabb 17).
Vtіm, a szám legközelebbi értékét egy mikrokalkulátor segítségével ismerhetjük meg, hogyan lehet megbosszulni a négyzetgyök működését; az érték drágább 4,123.
Otzhe,
A szám, like és nézd meg a szám nem racionális.
e) Nem lehet számolni, negatív szám négyzetgyöke nem használható; az érzéki kényeztetések rekordja. A megrendelést helytelenül hirdették ki.
e) , oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. Ilyen esetekben nyerhető a természetes számok négyzettáblázata és egy mikroszámológép.
g), szilánkok 75 > 0 és 75 2 = 5625.
A legegyszerűbb esetekben a négyzetgyök értékeit sorban számolják: csekély. bimbó. Összecsukható helyzetekben elő kell állítani a chi számok négyzeteinek táblázatát, és további mikroszámológéppel számításokat kell végezni. És hogyan buti, hogy lehet egy kéz nincs táblázat, nincs számológép? V_dpovіmo az élelmiszerláncon, virіshivshi támadja a fenekét.

fenék 2. Kiszámítja
Megoldás.
Első fázis. Nem számít, ha sejti, hogy a vidpovid viide 50 іz "farka" van. Valójában 50 2 = 2500 és 60 2 = 3600, és a 2809 szám a 2500 és 3600 között változik.

Újabb szakasz. Ismerjük a "farkot", tobto-t. Meghagyom a hülye szám alakját. Amíg tudjuk, hogy a gyökér növekszik, addig a jövőben 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 vagy 59 lehet. Csak két számot kell ellenőrizni: 53 és 57, a szagot. a bűz négyzetre emelésekor b-t ad. Az eredmény egy másik szám, amely 9-re végződik, majd ugyanaz a szám, amely 2809-re végződik.
Maєmo 532 = 2809 tse, amire szükségünk van (szerencsénk volt, elpazaroltuk az "almát"). Otzhe = 53.
Javaslat:

53
3. példa. Az egyenes vágású tricutnik lábai 1 cm és 2 cm vastagok Miért van a tricutnik hypotenusa? (Mal.77)

Megoldás.

Gyorsan követjük a Pitagorasz-tétel geometriáját: egy egyenesen vágott trikó lábai hosszának négyzetösszege egyenlő a befogó hosszának négyzetével, tehát a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - lábak, c - egy egyenes szabású trikó befogója.

Jelenti,

Ez a fenék azt mutatja, hogy a négyzetgyök bevezetése nem matematikus probléma, hanem objektív szükségszerűség: a való életben egyre gyakoribbak azok a helyzetek, amelyek matematikai modelljei leküzdhetik a négyzetgyök kényszerítésének műveletét. Talán a legfontosabb ilyen helyzetekhez kapcsolódik
rozvyazannyam tér rivnyan. Dosi, a négyzet egyenlő ax 2 + bx + c \u003d 0 használatával, a bal részt vagy szorzókba raktuk ki (ami távol áll a valóságtól), vagy pontozták a grafikus módszereket (ami nem túl divatos, de gyönyörű) ). Valóban a vizualizációhoz
az ax 2 + bx + c = 0 négyzetegyenlet x 1 és x 2 gyöke

bosszú, mint láthatja, a négyzetgyök jele. Qi képletek zastosovuyutsya gyakorlatilag egy ilyen rangot. Ugyan, például fel kell osztania 2x 2 + bx - 7 = 0. Itt a = 2, b = 5, c = - 7. Később,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Dali ismert. Jelenti,

Többet jelöltünk meg, ami nem racionális szám.
A matematikusok irracionálisnak nevezik az ilyen számokat. Irracionális - legyen az egy szám elme, mintha a négyzetgyök nem jelenne meg. Például, satöbbi. - Irracionális számok. 5 riportban racionális és irracionális számokról lesz szó. A racionális és irracionális számok egyszerre válnak személytelen valós számokká, azaz. személytelen számok, amelyekkel a való életben is működhetünk (for
hírek). Például ezek mind érvényes számok.
Ugyanígy, ahogy már kijelöltük a négyzetgyök fogalmát, hozzárendelhetjük a kockagyök fogalmát is: egy ismeretlen a szám köbgyökét egy számomra ismeretlen számnak nevezzük, amelynek a kockája egy szám. Ellenkező esetben a féltékenység nyilvánvalóan azt jelenti, hogy b 3 \u003d a.

A 11. osztály algebra során minden lehetséges.

Ismeretlen szám négyzetgyökének fogalma

Nézzük meg az x2 = 4 igazítást. Bontsuk fel grafikusan. Kinek egy rendszerben koordináták zbuduєmo parabola y \u003d x2 i egyenes y \u003d 4 (74. ábra). A bűz két ponton árnyalódik: A (- 2; 4) és B (2; 4). Az A és B abszcissza pontok egyenlőek az x2 = 4 gyökkel. Továbbá x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi így van, tudjuk, hogy a gyök egyenlő x2 = 9 (oszt. 74. ábra): x1 = - 3, x2 = 3.

És most próbáljuk meg rozv'yazati egyenlő x2 = 5; ábrán a geometriai illusztrációk láthatók. 75. Nyilvánvaló, hogy két gyök van x1 és x2, ráadásul a számok száma, mint és két előre lejtőn egyenlő az abszolút értékre és a jel mögötti hosszra (x1 - - x2) babysitter, ha lehetne könnyen megtalálja őket (mert grafikonokkal meg lehet ismerni őket), ha x2 = 5 a jobb oldalon, akkor ez nem így van: a fotelek mögött nem tudjuk megmutatni a gyökerek jelentését, csak egybe tehetjük gyökér három pont a 2-es ponttól balra, a másik pedig három a 2-es ponttól jobbra.

Ale, elfogadhatatlan meglepetésben lesz részünk. Úgy tűnik, ilyen nincs törtek DIV_ADBLOCK32">

Elfogadható, hogy egy ilyen rövid életű drіb, amelynél a kiegyensúlyozottság győz https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, azaz m2 = 5n2. A féltékenység megmaradása azt jelenti természetes szám m2 többlet nélkül osztható 5-tel (magán széles n2).

Később az m2 szám 5-re, 0-ra végződik. De az m természetes szám 5-re, a 0-ra végződik, vagyis az m-t többlet nélkül osztjuk 5-tel. Egyébként úgy tűnik, hogy ha az m számot 5-tel osztjuk, akkor a privát viide egy k természetes szám. Ze azt jelenti, hogy m = 5k.

És most csoda:

Képzelj el 5k zam_st m-t a pershu egyensúlyért:

(5k) 2 = 5n2, majd 25k2 = 5n2 vagy n2 = 5k2.

Maradt féltékenység azt jelenti, hogy a szám. 5n2 osztva 5-tel felesleg nélkül. Rozmirkovuchi, mint több, eljutunk a visnovkához azokról, amelyeknél az n szám osztható 5-tel anélkül többlet.

Ezenkívül m osztva 5-tel, n osztva 5-tel, később a drіb lehet rövid (5-tel). És akkor megengedtük, hogy a drib ne legyen rövid. Miért van a jobb oldalon? Miért, jogosan mirkuyuchi, miért jutottunk el az abszurditásig, vagy, ahogy a matematikusok gyakran mondják, elvittük a törlőkendőt! ).

Ha a jogi egyeztetések eredményeként az elmével szuperpontosságra jutunk, akkor elzárkózunk a bajusztól: téves a beismerésünk, akkor azoknak volt igaza, akiket rá kellett hozni.

Apa, csak a te sorrendedben lebegsz racionális számok(És még mindig nem ismerjük a többi számot), egyenlő x2 = 5, és nem tudjuk legyőzni.

Miután előre tanulmányoztam egy hasonló helyzetet, a matematikusok rájöttek, hogy ki kell találnom a matematikai nyelvem leírásának módját. Bevezettek egy látszólag új szimbólumot, amelyet négyzetgyöknek neveztek, és a gyök további szimbólumához, amely egyenlő x2 \u003d 5, így írták le: ). Nos, bármilyen okból kifolyólag, x2 = a, de a > Ó, tudod a gyökét – ezek számok https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} nem egészséges és nem száraz.
Ez azt jelenti, hogy ez nem egy racionális szám, hanem egy új természetű szám, az ilyen számokról később külön szó lesz, 5-tel osztva.
Egyelőre kevésbé jelentős, de az új szám 2 és 3 között van, a szilánkok 22 = 4, és kevesebb, alacsonyabb 5; Z2 \u003d 9, és több, mint 5. Megadhatja:

Még egyszer tisztelet: a táblákban kevesebb a pozitív szám, a szilánkok nincsenek a kijelölt négyzetgyökhöz rendelve. Ha például = 25 - az egyenlőség helyes, lépjen a négyzetgyök rekordjának következő bejegyzésére (a mit írjon). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}!}- A pozitív szám azt jelenti https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Ésszerűbb volt, hogy nagyobb, alacsonyabb 4, ale, kisebb, alacsonyabb 5, 42 = 16 (kisebb, alacsonyabb 17), és 52 = 25 (kevésbé nagyobb, alacsonyabb 17).
Vtіm, a szám legközelebbi értéke megtudható segítségért mikrokalkulátor hogyan kell megbosszulni a négyzetgyök műveletet; az érték drágább 4,123.

A szám, like és nézd meg a szám nem racionális.
e) Nem lehet számolni, negatív szám négyzetgyöke nem használható; az érzéki kényeztetések rekordja. A megrendelést helytelenül hirdették ki.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} szilánkok 75 > 0 × 752 = 5625.

A legegyszerűbb esetekben a négyzetgyök értékeit többszörösen számolják:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Megoldás.
Első fázis. Nem számít, ha sejti, hogy a vidpovid viide 50 іz "farka" van. Valójában 502 = 2500 és 602 = 3600, és a 2809 szám a 2500 és 3600 között változik.

Még egyszer a táblára pillantva... És gyerünk!

Kezdjük egy egyszerűvel:

Khvilinka. tse, és a tse azt jelenti, hogy így írhatjuk:

Meghódított? Előrelépésed tengelye:

A számok gyökere, ami történt, nem igazán tűnik ki? Ne bіda - az Ön tengelye, ezért alkalmazza:

És hány szorzó nem kettő, hanem több? Azonos! A gyökök szorzásának képlete azzal működik, hogy van-e akárhány szorzó:

Most megcsinálom magam:

Javaslatok: Szép munka! Várj, minden egyszerű, ismered a szorzótáblát!

Rozpodіl koreniv

Sok gyökeret eresztettünk, most térjünk le a hatalomra.

Gondolom, a hírhedt képlete így néz ki:

Mit jelent root egy privát gyökér részéből.

Nos, lássuk a csikkeket:

Tengely i minden tudomány. És a tengely egy ilyen példa:

Nem olyan sima minden, mint egy első csikk, ale, mint egy bachish, nincs semmi összecsukható.

És mi, hogyan lehet berúgni egy ilyen virazt:

Egyszerűen csak zastosuvat a képletet a kapunál:

És a tengely egy ilyen példa:

Látsz ilyen virazt:

Mindazonáltal, csak itt kell kitalálnia, hogyan kell eltolni a törteket (ha nem emlékszik, nézze meg a témát, és forduljon meg!). Találgatás? Most látjuk!

Elragadtatva, hogy velünk vagy, belefutottunk, most megpróbáljuk gyökeret verni a világban.

Zvedennya a lábában

És mit fog tenni, mint egy négyzetgyököt? Egyszerű, kitaláljuk egy szám négyzetgyökének értelmét – az egész számot, valamilyen négyzetgyökét.

Tehát abból, hogyan hozzunk létre egy számot, egy bizonyos szám négyzetgyökét, egy négyzetet, akkor mit veszünk?

Hát, ez fantasztikus!

Nézzük a példákat:

Minden egyszerű, igaz? És mi lesz egy másik világ gyökere? Semmi szörnyű!

Keresse ezeket a logikákat, és emlékezzen az erőre és a lépésről lépésre való képességre.

Olvassa el az elméletet a "" témában, és rendkívül világos lesz.

Axis például egy ilyen viraz:

Kinek a fenekének lesz férfi lába, de mitől lesz páratlan a bor? Nos, tudom, állítsa le a hatalom szintjét, és terjesszen mindent szorzókra:

Innentől kezdve minden világos, de hogyan lehet megnyerni a szám gyökerét a világban? Tengely például:

Könnyű inni, igaz? És mi van a két lépésnél több lépéssel? Dorimuёmosya ієї zh logika, vikoristuyuyuchi teljesítménylépések:

Nos, hogy értette mindenki? Alkalmazd magad is ugyanezeket a verseket:

Egy tengely, amelyet felvázolok:

Bevezetett pid gyökérjel

Miért nem tanultuk meg a gyökerekkel való munkát? Csak egy kis időbe telt, amíg megpróbálta beírni a gyökerek számát!

Ez túl könnyű!

Tegyük fel, hogy van egy számunk

Mit tehetünk vele? Nos, zvichayno, zárd le a hármasságot a gyökér alatt, ugyanakkor ne feledd, hogy a hármas a négyzetgyök!

Mi másra van szükségünk? Annyira egyszerű, hogy lehetőségeinket tökéletes alkalmazásokkal bővítsük:

Hogy áll ez a gyökér ereje? Tényleg életkérdés? Rajtam, ez így van! Tilki Ne feledje, hogy csak pozitív számhoz adhatunk négyzetgyökjelet.

Virish függetlenül a fenék tengelyétől -
Rohant? Csodálkozzunk, mit láthatsz benned:

Szép munka! Elég messze van ahhoz, hogy beírja a gyökér pіd jelét! Térjünk át valamire, ami nem kevésbé fontos – nézzük meg, hogyan javítsuk ki a számokat a négyzetgyök megbosszulásához!

Gyökér javítás

Mi lenne, ha megtanulnánk kitalálni a számokat, hogyan kell megbosszulni a négyzetgyököt?

Valahogy egyszerű. Gyakran a nagy és triviális virazáknál, akik álmában beszélnek, irracionális bizonyítékokat veszünk (emlékezz, mi ez? Ma már beszéltünk rólad!)

Otrimani vіdpovіdі ki kell teríteni a koordinátavonalon, például annak meghatározásához, hogy melyik intervallum alkalmas rozvyazuvannya rivnyannya számára. Az első tengely itt a zakovikot hibáztatja: nincs használatban számológép, de enélkül hogyan derül ki, melyik szám nagyobb és melyik kisebb? Otozh én ki!

Például vyznach, mi több: chi?

Nem mondod el azonnal. Nos, mi van, gyorsan le lehet vonni a bevitt szám hatványát a gyökér jele alá?

Menj tovább:

Nos, nyilván minél nagyobb a szám a gyökér jele alatt, annál nagyobb maga a gyökér!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi határozottan robimo visnovok, scho. És senki sem változtat meg minket a másik oldalról!

A nagy számok gyökereinek előképe

Ki előtt vezettük be a szorzót a gyökér jele alatt, de hogyan hibáztassam? Csak ki kell fektetned a yogót a szorzókra, és megnyerned azokat, akik harcolnak!

Lehetett más módon inni, és más szorzókra is elteríteni:

Nem rossz, igaz? Be-yaky іz tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy, mint te könnyen.

A szorzók elrendezése szerencsés lesz az ilyen nem szabványos feladatok végrehajtásával, mint például a lánc tengelye:

Ne lakaєmos, hanem diemo! Összeraktunk egy bőr szorzót a gyökér alatt egy okremi szorzón:

És most próbáld ki magadon (kalkulátor nélkül! Nem fogsz tudni aludni jógán):

Hiba tse kinets? Ne tévesszen meg pivdoroz!

Tengely és minden, nem annyira minden és félelmetes, igaz?

Wiishlo? Szép volt, igazad van!

És most próbáld ki ezt a virishiti fenekét:

A csikk pedig egy micsoda edény, így nem fogod azonnal felvenni, mintha újat lépnél fel. Ale nekünk borok, nyilvánvalóan a fogakban.

Nos, mit szólnál a szorzók megszervezéséhez? Nagyon tiszteletreméltó, hogy hozzáadhatja a számot (az oszthatóság jeleit sejtjük):

És most próbálja ki Ön is (tudom, számológép nélkül!):

Nos scho, wiyshlo? Szép volt, igazad van!

P_vedemo p_bags

Egy ismeretlen szám négyzetgyökét (számtani négyzetgyökét) nevezzük ilyen ismeretlen számnak, egy másik szám négyzetének.
.
Ha mindennek csak a négyzetgyökét vesszük, akkor mindig egy láthatatlan eredményt kapunk.
A számtani gyök hatványa:
Ha a négyzetgyök egyenlő, emlékezni kell arra, hogy minél nagyobb a gyök jele alatt álló szám, annál nagyobb maga a gyök.

Milyen a négyzetgyököd? Mindennek volt értelme?

Megpróbáltunk vezetés nélkül elmagyarázni neked mindent, amit alvás közben tudni kell a négyzetgyökről.

Most a te ördögöd. Írjon nekünk egy Önnek megfelelő témát.

Amikor most felismertelek, minden olyan világos volt.

Írd meg kommentben és sok sikert az alváshoz!

At tsіy statti mi zaprovadimo megérteni a szám gyökerét. Dyatimemo szekvenciálisan: a négyzetgyökből kiindulva térjünk át a kockagyök leírására, amely után megérthetjük az n-edik fok gyökerét jelölő gyöket. Ugyanakkor bevezet egy nevet, egy jelet, javasolja a gyökök alkalmazását, és megadja a szükséges magyarázatokat ehhez a megjegyzéshez.

Négyzetgyök, aritmetikai négyzetgyök

A számgyök és a zokrem négyzetgyök jelentésének megértéséhez az anyának szükséges. Ezen a ponton, mi gyakran zishtovhuvatimosya egy másik lépést a szám - a négyzet a szám.

Pochnemo s négyzetgyök nevező.

Időpont egyeztetés

Négyzetgyök a- Tse szám, néhány régi a négyzete.

Schob ólom alkalmazza a négyzetgyököt, Vegyünk néhány számot, például 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 0 = 0). Ekkor adott feladatoknál az 5-ös szám a 25-ös szám négyzetgyöke, a −0,3 és 0,3 számok 0,09 négyzetgyöke, a 0 pedig a nulla négyzetgyöke.

Csúsztatva jelölje ki a іsnuє számra a Koho dorivnuє négyzetét a. Önmagában pedig semmilyen negatív a számhoz ne használja ugyanazt a b decimális számot, bármely más a szám négyzetét. Igaz, az a=b 2 egyenlőség nem lehetséges bármely negatív a esetén, b 2 szilánkok - nem tudom egyik b számot sem. ilyen módon, személytelen valós számokon nincs négyzetgyök a negatív számnak. Más szóval, személytelen valós számokon a negatív szám négyzetgyöke nem tűnik ki, és nincs értelme.

Logikus tápláléknak hangzik: „És mi az a négyzetgyöke, ha sok a”? Vidpovid – úgy. Ebből kiindulva fontos a konstruktív módszer a négyzetgyök értékének jelentőségének elnyeréséhez.

Ezután állítson fel egy logikusabb indokot: „Hány négyzetgyöke van egy adott végtelen számnak a - egy, kettő, három, még több”? V_dpov_d tengely újon: ha a egyenlő nullával, akkor a nulla egyetlen négyzetgyöke nulla; például a pozitív szám, az a szám négyzetgyökeinek száma egyenlő kettővel, ráadásul a gyök є. Obguruntuemo tse.

Viszlát a=0 . Másrészt azt mutatja, hogy a nulla a nulla négyzetgyökével igaz. A nyilvánvaló egyenletesség 0 2 =0 0=0 oka a négyzetgyök kijelölése.

Most azt mondhatjuk, hogy 0 a nulla négyzetgyöke. Felgyorsítás az elfogadhatatlan meglátásának módszerével. Tegyük fel, hogy a b számról ismert, hogy megegyezik a nullával, de ez a nulla négyzetgyöke. Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, ami lehetetlen, szilánkok a be-yakom vіdminnym vіd nulla b érték virazu b 2 є pozitív. Mi didshli szuper-élesség. Azt kell hozni, hogy 0 a nulla négyzetgyöke.

A vipadkіv-re lépünk, ha a pozitív szám. Azt mondták nekünk, hogy bármilyen szám négyzetgyökét kell használni, legyen a négyzetgyök egyenlő a b számmal. Elfogadható, hogy є a c szám, de є az a négyzetgyöke is. Ekkor a méltányosság négyzetgyöke b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, їх sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, de a szilánkok b 2 − c 2 \u003d (b− c) ( b + c ) , akkor (b-c) · (b + c) = 0 . A féltékenységet elveszik az erőtől hatáskörök dіy іz dіysnimi számokat talán csak akkor, ha b-c=0 vagy b+c=0. Ebben a sorrendben a b és c számok egyenlőek vagy előjogok.

Ha megengedjük, hogy a d szám, még egy négyzetgyök az a raktárban, akkor a tükrözéssel a már bemutatotthoz hasonlóan azt kell hozni, hogy d közelebb áll a b vagy a c számhoz. . Ezenkívül a pozitív számból származó négyzetgyökök száma egyenlő kettővel, ráadásul a négyzetgyök ellentétes számok.

A négyzetgyökökkel végzett munka hatékonysága érdekében a negatív gyök pozitívként „megerősödik”. Z tієyu módszert kell bevezetni a számtani négyzetgyök származtatása.

Időpont egyeztetés

Egy negatív szám számtani négyzetgyöke a- Tse nevіd'єmne szám, amelynek négyzete dovnyuє a.

Az a raktár számtani négyzetgyökére az értéket veszik. Az előjelet aritmetikai négyzetgyökjelnek nevezzük. A jógót a radikális jelének is nevezik. Ez részben lehet egy kicsit „gyökér”, és egy „radikális”, ami ugyanazt az objektumot jelenti.

A számtani négyzetgyök jele alatt álló számot nevezzük gyökérszám, és viraz a gyökér jele alatt - algyökér virazom, kifejezésükben a "sub-root number" kifejezést gyakran a "sub-root number viraz" helyettesíti. Például a bejegyzésben a 151-es szám a fő gyökérszám, a viraz a bejegyzésben pedig a gyökér a viraz.

Olvasáskor gyakran kihagyják az „aritmetika” szót, például a rekordot „hét huszonkilenc cent négyzetgyökeként” olvassuk. Az "aritmetika" szót csak egyszer használjuk, ha kifejezetten szemlátomást akarunk lenni, akkor a szám pozitív négyzetgyökével járhatunk.

A bevezetett érték fényében az aritmetikai négyzetgyök számtani négyzetgyöke azonos értékű bármely a nem negatív számmal.

Az a pozitív szám négyzetgyökét a számtani négyzetgyök járulékos jele mögött i-nek írjuk. Például a 13-as szám négyzetgyöke є i. A nulla számtani négyzetgyöke egyenlő nullával, akkor . Negatív a számok esetén a mi bejegyzések az eseményig nem érzékelhetők komplex számok. Például, hogy enyhítse a kifejezési érzést, hogy.

A négyzetgyök jelentőségű alzsákoknál a négyzetgyök ereje kerül előtérbe, ami nagy valószínűséggel praktikus.

Ennek a pontnak a végén érdemes figyelembe venni, hogy az a є szám négyzetgyöke megoldja az x 2 alakot \u003d egy jobb x változást.

A szám köbgyöke

A kockagyök definíciója raktár a ugyanúgy megadva, mint a négyzetgyök. Csak a szám kockájának értelmezésén alapul, de a négyzetén nem.

Időpont egyeztetés

Az a szám kockagyöke azt a számot hívják, amelynek kockája egyenlő a-val.

Hajózható köbgyökeret alkalmazunk. Milyen számú számra, például 7 , 0 , −2/3 і ismeri їх y kockát: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Tehát a kockagyök megjelölése alapján megerősítheti, hogy a 7-es szám a 343-nak, a 0 a nulla, a -2/3 pedig a -8/27-nek a kockagyöke.

Megmutathatja, hogy az a raktár kockagyöke a négyzetgyökön zavzhd іsnuє, ráadásul nem negatív a esetén, de bármilyen a valós számra. Akinek ugyanúgy lehet nyerni, amiről a négyzetgyököt tippeltük.

Sőt, egy adott a számnak már nincs egyetlen kockagyöke sem. A maradék szilárdságot hozzuk. Ebben az összefüggésben három vipadát tekinthetünk meg: a pozitív szám, a=0 és a negatív szám.

Könnyen kimutatható, hogy ha a kockagyöke pozitív, akkor az nem lehet sem negatív szám, sem nulla. Igaz, legyen b є egy kockagyök a-hoz, akkor b 3 \u003d a egyenlőséget írhatunk a célokra. Úgy tűnik, a bizonyosság helyes lehet b і negatív esetén b=0 esetén, a b 3 =b·b negatív tüskéi nyilvánvalóan egy negatív szám chi nulla. Ezenkívül egy pozitív a szám kockagyöke pozitív szám.

Most már elfogadható, hogy a b számnak eggyel több köbgyöke van az a számhoz képest, lényegesen egy c. Ekkor c 3 = a. Később b 3 −c 3 =a−a=0 , de b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(a rövid szorzás képlete kockák különbsége), csillagok (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Otriman féltékenysége csak akkor lehetséges, ha b−c=0 vagy b 2 +b c+c 2 =0. Az első egyenlőségből b=c lehetséges, és nincs más megoldás, mert a bal oldali rész egy pozitív szám bármely b і c pozitív számra három pozitív összeadás b 2, b c і c 2 összegeként. Cim egy pozitív szám kockagyökének egységét hozta a a.

Ha a=0, az a є raktár kockagyöke nagyobb, mint a nulla. Nyilvánvaló, hogy ha feltételezzük, hogy a b számot használjuk, ha a nullát nullától kezdődő kockagyökként látja, akkor a b 3 \u003d 0 egyenlősége a hibás, mivel ez csak b \u003d 0 esetén lehetséges.

Negatív a esetén tükrözést indukálhat, hasonlóan a pozitív a-hoz. Először is megmutatjuk, hogy egy negatív szám kockagyöke nem lehet egyenlő pozitív számmal, sem nullával. Másképpen, tegyük fel, hogy van egy másik köbgyök egy negatív számból, és megmutatjuk, hogy a nyelv borai az elsővel kombinálódnak.

Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s bármely adott decimális szám a, sőt egy.

Damo a számtani kockagyök megjelölése.

Időpont egyeztetés

Egy végtelen szám aritmetikai kockagyöke a számot ismeretlennek neveznek számomra, egy kockát valami régi a.

Az ismeretlen a szám aritmetikai kockagyökét a számtani kockagyök jelének nevezett előjelként jelöljük, a 3-as számot ebben a rekordban ún. gyökérjelző. A szám a gyökér jele alatt - tse gyökérszám, viraz a gyökér jele alatt - tse algyökér viraz.

Ha azt szeretnénk, hogy az aritmetikai kockagyökhöz csak negatív számok adjanak hozzá, akkor kézzel is nyerhetjük a bejegyzéseket, amelyeknél az aritmetikai kockagyök előjele megváltoztatja a negatív számokat. Foglaljuk össze így: , de a pozitív szám. Például, .

A köbös gyökér erejéről a gyökér hatalmának főcikkében fogunk beszélni.

A kockagyök értékének kiszámítását a kockagyök kiszámításának nevezik, az okot a gyökérhős cikkéből vettük: utak, alkalmazás, megoldások.

A bekezdés végén tegyük fel, hogy a raktár kockagyöke egy є megoldása az x 3 =a alakra.

Az n-edik szakasz gyökere, az n-es szakasz számtani gyöke

Könnyű megérteni a szám gyökerét - mutatjuk be az n-edik szakasz gyökerének kijelölése az n.

Időpont egyeztetés

Az a szám n-edik fokának gyöke- Tse szám, n-edik lépés, ami drágább a.

Amelyik találkozóból kiderült, hogy az a szám első szakaszának gyöke az a szám, a természetes mutatójú azonos szakasz szilánkjait 1 \u003d a-nak vettük.

Alaposabban megvizsgáltuk az n-edik fokú gyöklejtőket n=2-nél és n=3-nál – a négyzetgyököt és a kockagyököt. Tehát a négyzetgyök egy másik szint gyökere, a kockagyök pedig a harmadik szint gyökere. Az n-edik lépés gyökeinek kinyeréséhez n=4, 5, 6, ... їх manuálisan osszuk két csoportra: az első csoport a párosított lépések gyökere (tobto, n=4, 6, 8, ...), a másik csoport a párosítatlan lépések gyöke (tobto, n=5, 7, 9, …). Ezért a páros lépések gyöke hasonló a négyzetgyökhöz, a párosítatlan lépések gyöke pedig köbös. Tegyük őket rendbe velük.

Nézzük meg a gyököket, amelyek lépései a 4-es, 6-os, 8-as szám fickói, mint már mondtuk, a bűz hasonló az a szám négyzetgyökéhez. Ez minden páros lépés gyökere az a іsnuє számból csak nem sok a. Sőt, ha a=0, akkor az a gyök egyszeres és egyenlő nullával, ha pedig a>0, akkor a páros lépésnek két gyöke van az a számból, ráadásul ellentétes számok.

Az Obguruntuemo edzett marad. Legyen b a páros fok gyöke (jelentősen її yak 2m, de m természetes szám) az a számból. Tegyük fel, hogy a c szám az a raktár 2·m lépésének még egy gyöke. Ekkor b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ismerjük a b 2 m − c 2 m = (b − c) alakot (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2) akkor (b–c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 vagy b+c=0, vagy b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Az első két egyenlő azt jelenti, hogy a b és c számok egyenlőek, vagy b és c jogosultságok. Az egyenlőség többi része pedig csak b = c = 0 esetén igazságos, a bal oldali rész szilánkjai viráztak, mivel nem negatív bármely b-re és nemnegatív számok összegeként.

Ami az n-edik fokú gyökérzetet illeti páratlan n-nel, akkor a bűz hasonló a köbgyökhöz. Tehát az a számból származó tetszőleges párosítatlan fokozat gyöke bármely a decimális számhoz használható, sőt adott szám esetén a vіn є єdine.

Az a raktár 2 m+1 párosítatlan lépésének gyökének egységét analógiával hozzuk az a kockagyök egységének bizonyításával. Csak itt van a féltékenység helyettese a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 − c 2 m+1 = formájú győzelmi arány (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m). Viraz az ív többi részében átírható, mint b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m-4 +c 2 m-4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Például m=2-nél talán b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Ha a és b sértett pozitívan sértett negatívan їх dobutok egy pozitív szám, akkor a viraz b 2 +c 2 +b·c, amely a legmagasabb szintű befektetés karjaiban van, pozitív számok összegeként pozitív. Most a befektetés előrehaladó lépcsőinek íveinél sorban felfelé a virazig átállunk, hogy a bűz pozitív számok összegeként is pozitív. Az eredményhez szükséges, hogy a b 2 m+1 − c 2 m+1 = egyenlőség (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 Csak egyszer lehetséges, ha b−c=0, akkor ha a b egyenlő c számmal.

Eljött az idő, hogy feltárjuk az n-edik szint gyökereit. Kinek adják n-edik fok számtani gyökének kijelölése.

Időpont egyeztetés

Egy végtelen szám n-edik fokának számtani gyöke a a számot számomra ismeretlennek hívják, valamiféle a n-edik lépése.