Rootear desde un número desconocido. Raíz cuadrada. Teoría detallada con aplicaciones. Raíz cuadrada, raíz cuadrada aritmética

El área de un terreno cuadrado es de 81 dm2. Conoce el lado del yoga. Supongamos que la longitud del lado del cuadrado es buena X decímetros. El área de Todi de la casa es más cara. X² decímetros cuadrados. Fragmentos para la mente, el área es de 81 dm², entonces X² \u003d 81. La longitud del lado del cuadrado es un número positivo. Un número positivo, cuyo cuadrado es 81, є es el número 9. Al resolver problemas, es necesario conocer el número x, cuyo cuadrado es 81, para resolver el problema. X² \u003d 81. El precio tiene dos raíces: X 1 = 9 X 2 \u003d - 9, entonces 9² \u003d 81 і (- 9) ² \u003d 81. Los números ofensivos 9 і - 9 se llaman raíces cuadradas del número 81.

Estimado, que una de las raíces cuadradas X= 9 є número positivo. Yogo se llama la raíz cuadrada aritmética del número 81 y denota √81, tal rango √81 = 9.

La raíz cuadrada aritmética de un número A se llama un número que desconozco, el cuadrado de algún viejo A.

Por ejemplo, los números 6 i - 6 son las raíces cuadradas del número 36. Cuando el número 6 es la raíz cuadrada aritmética del número 36, los fragmentos 6 no son el número i 62 = 36. El número - 6 no es la raíz aritmética.

Raíz cuadrada aritmética de un número A significado así: √ A.

El signo se llama el signo de la raíz cuadrada aritmética; A- se llama subraíz viraz. Viraz √ A leer así: raíz cuadrada aritmética de un número A. Por ejemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. En estados de ánimo tranquilos, si está claro que hay una raíz aritmética, será breve: “la raíz cuadrada de A«.

El valor de la raíz cuadrada en el almacén se llama valor de la raíz cuadrada. Tsya diya є envuelto en un cuadrado.

Es posible elevar al cuadrado el cuadrado si es un número, pero para obtener una raíz cuadrada es posible que no sea un número. Por ejemplo, no es posible dibujar la raíz cuadrada del número - 4. Habiendo encontrado tal raíz, luego, habiéndola reconocido con una letra X, Eliminaríamos la igualdad incorrecta x² = - 4, por lo que vale el costo de un número desconocido y, a la derecha, negativo.

Viraz √ A maє sens tilki para un ≥ 0. El valor de la raíz cuadrada se puede escribir brevemente de la siguiente manera: √ un ≥ 0, (√A)² = A. Equidad (√ A)² = A justo para un ≥ 0. De tal manera, convertir en el hecho de que la raíz cuadrada de un número negativo A dorivnyuє b, entonces en ese √ A =b, es necesario reconsiderar, cuáles son las siguientes dos mentes: segundo ≥ 0, b² = A.

raíz cuadrada de una fracción

Contemos. Respetuosamente, que √25 = 5, √36 = 6, y es reversible que triunfe la igualdad.

así que yak i , entonces la ecuanimidad es verdadera. Otzhe, .

Teorema: Yakscho A≥ 0 y b> 0, por lo que la raíz de la fracción es igual a la raíz del libro de números, dividida por la raíz del cartel. Es necesario traer que: .

Bo √ A≥0 ta √ b> 0, entonces .

Para la fracción yak_styu zvedennya en el pie y el signo de la raíz cuadrada el teorema ha sido completado. Echemos un vistazo al espadín de aplicaciones.

Calcular, para el teorema terminado .

Otro trasero: Trae lo que , como A ≤ 0, b < 0. .

Otro trasero: Calcula.

.

Inversión de la raíz cuadrada

La culpa del multiplicador z-pіd al signo de la raíz. Que se dé Viraz. Yakscho A≥ 0 y b≥ 0, entonces siguiendo el teorema de creación de raíces podemos escribir:

Tal transformación se llama la culpa del multiplicador del signo z-pod de la raíz. Miremos el trasero;

Calcular en X= 2. Sin sustitución media X= 2 en la raíz del viraz para producir un cálculo de plegado. El cálculo de Qi se puede perdonar, como para culpar al signo z-pіd de los multiplicadores de raíz: . Sustituyendo ahora x = 2 tomamos:.

Más tarde, con la culpa del multiplicador, el signo raíz del signo de la raíz es una subraíz del viraz en la visión de la creación, en la que hay uno o más multiplicadores en los cuadrados de los números desconocidos. Luego, resolvamos el teorema sobre la raíz de la extracción y extraigamos la raíz del multiplicador de piel. Miremos el trasero: Perdón A \u003d √8 + √18 - 4√2 vinos en los dos primeros multiplicadores dodankіv del signo raíz, otrimaєmo:. Te animo, que celos justo solo para A≥ 0 y b≥ 0. bien A < 0, то .

Veamos la alineación x 2 = 4. Desglosémosla gráficamente. Para cgo en un sistema de coordenadas, crearemos una parábola y \u003d x 2 i línea recta y \u003d 4 (Fig. 74). El hedor se tiñe en dos puntos A (- 2; 4) y B (2; 4). Los puntos de abscisas A y B son iguales a las raíces x 2 \u003d 4. Además, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Rozmіrkovuyuchi así, sabemos que la raíz es igual a x 2 \u003d 9 (div. Fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Y ahora probemos rozv'yazati igual x 2 \u003d 5; las ilustraciones geométricas se presentan en la fig. 75. Está claro que hay dos raíces x 1 y x 2, además, números q, como i en dos pendientes hacia adelante, son iguales para el valor absoluto y prolongación para el signo (x 1 - x 2) - Ale en el frente a las pendientes delanteras, las raíces iguales se encontraron fácilmente (porque se pueden conocer sin pelar gráficos), con iguales x 2 = 5 a la derecha no es así: no podemos mostrar el significado de las raíces detrás de los sillones, podemos solo establezca que una raíz está enraizada en tres leones más puntos - 2, y la otra es tres veces correcta

puntos 2.

¿Cuál es el número (punto), cómo los tres puntos de la mano derecha 2 y cómo al cuadrado dan 5? Zrozumіlo, sho tse 3, oskіlki Z 2 = 9, es decir, salir más, bajar es necesario (9\u003e 5).

Entonces, para nosotros, el número se reparte entre los números 2 y 3. Pero entre los números 2 y 3, hay números racionales impersonales, por ejemplo y así sucesivamente Es posible que haya un amigo así entre ellos, ¿qué? No tendremos los mismos problemas de equals x 2 - 5, podemos escribir lo que

Ale, nos espera una sorpresa inaceptable. Parece que no existe tal fracción, por la que los celos ganan
La prueba de la afirmación formulada es plegable. Tim no es más pequeño, nos guiamos por el yoga, los fragmentos son más hermosos y en la parte posterior, incluso mejor para probar el intelecto del yoga.

Es aceptable que una gota tan efímera, en la ecuanimidad de yak vykonuєtsya. Entonces, entonces m2 = 5n2. La igualdad restante significa que el número natural m 2 es divisible sin exceso por 5 (para vista privada n2).

Luego, el número m 2 termina en el número 5, el número 0. Pero el número natural m termina en el número 5, el número 0, entonces. el número m es divisible por 5 sin exceso. De lo contrario, parece que si el número m se subdivide por 5, entonces el viide privado es un número natural k. Tse significa
que m = 5k.
Y ahora me pregunto:
m 2 \u003d 5n 2;
Imagine 5k zam_st m para pershu ecuanimidad:

(5k) 2 = 5n 2, luego 25k 2 = 5n 2 o n 2 = 5k 2 .
Los celos restantes significan que el número. 5n 2 es divisible por 5 sin exceso. Rozmіrkovuchi, como aún más, llegamos a la visnovka sobre aquellos en los que el número n es divisible por 5 sin exceso.
Además, m se divide por 5, n se divide por 5, luego, drib puede ser corto (por 5). Y luego permitimos que la drib no fuera corta. ¿Por qué está a la derecha? ¡Por qué, con razón, mirkuyuchi, llegamos al punto del absurdo o, como suelen decir los matemáticos, quitamos la toallita!
Zvіdsi robimo visnovok: no existe tal fracción.
El método de prueba, con el que nos hemos topado obstinadamente, se llama en matemáticas el método de probar el protivolego. La esencia de la ofensiva de yoga. Es necesario que traigamos firmeza al diácono, pero permitimos que sea inaceptable (los matemáticos parecen: "tolerablemente inaceptable" - no in sensi "inaceptable", sino in sensi "en la medida en que sea necesario").
Si, como resultado del mirkuvan legal, llegamos a la superprecisión con la mente, entonces nos robaron los bigotes: nuestra admisión es incorrecta, entonces, aquellos que necesitaban ser llevados a ella estaban en lo correcto.

Más tarde, solo son posibles los números racionales (y aún no conocemos otros números), igual x 2 \u003d 5 no es posible superar.
Habiendo estudiado antes con una situación similar, los matemáticos se dieron cuenta de que era necesario encontrar una forma de describir mi lenguaje matemático. Introdujeron un nuevo símbolo en el punto de vista, al que llamaron raíz cuadrada, y para el símbolo adicional de la raíz igual a x 2 \u003d 5 lo escribieron así:

se espera: "la raíz cuadrada de z 5"). Ahora, para cualquier tipo de mente igual, x 2 \u003d a, de a\u003e O, puedes conocer la raíz: son números , (Mal. 76).

Más apoyo celestial, scho el número no es entero ni parejo.
Quiere decir que no es un número racional, sino el número de una nueva naturaleza, de tales números hablaremos especialmente más adelante, dividido 5.
Por el momento, es menos significativo, pero el nuevo número está entre los números 2 y 3, los fragmentos 2 2 = 4, y menos, menos 5; Z 2 \u003d 9, y ce más bajo 5. Puede especificar:

Cierto, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Puedes
especificar:

realmente, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
En la práctica, es importante tener en cuenta que el número es más caro 2,23, o es más caro 2,24, pero no son solo celos, sino que los celos están cerca, por el reconocimiento de un símbolo tan victorioso.
Otzhe,

Discutiendo la solución de igual x 2 \u003d a; Amapola en No estándar, nezhtetnu (yak para amar la cosmonauta) la situación que no conocía los vichens de la no etnicidad de los udomikh, las matemáticas para modelos matemáticos y la nobleza de la nobleza Termin ibe (nuevo símbolo); en otras palabras, apesta para introducir una nueva comprensión y luego aumentar el poder de esa
conceptos. Tim mismo, la nueva comprensión de esta comprensión del yoga se está convirtiendo en la cabeza del Movimiento Matemático. Lo hicimos de la misma manera: introdujeron el término “raíz cuadrada del número a”, introdujeron un símbolo para su significado y tres años para ganar el poder de un nuevo concepto. Hasta ahora, solo sabemos una cosa: que a > 0,
entonces - un número positivo que satisface la igualdad x 2 \u003d a. En otras palabras, este es un número positivo, al elevarlo al cuadrado, sale el número a.
Oskilki igual x 2 \u003d 0 maє raíz x \u003d 0
Ahora estamos listos para dar una lectura de la cita.
Cita. La raíz cuadrada de un número desconocido se llama tal número desconocido, el cuadrado de algún número antiguo.

Se quiere decir ese número, y el número en el cual se llama el número raíz.
Otzhe, como si a no fuera un número, entonces:

Yakscho un< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
En este rango, viraz puede sentir menos por un > 0.
Que qué - un mismo modelo matemático (una y la misma obsolescencia entre números desconocidos
(y que b), pero solo un amigo se describe por mina más simple, inferior primero (símbolos simples de victoria).

La operación de encontrar la raíz cuadrada de un número negativo se llama cambio de raíz cuadrada. La operación Tsya es una inversión al traer a la vida en la plaza. Nivel:

Una vez más, respeto: las tablas tienen números menos positivos, los fragmentos no se asignan a la raíz cuadrada designada. Quiero, por ejemplo, (- 5) 2 \u003d 25: la igualdad es correcta, vaya a la siguiente entrada con la raíz cuadrada de la variante (entonces escriba qué).
no poder. Por la disculpa, . - Un número positivo significa .
A menudo se dice no "raíz cuadrada", sino "raíz cuadrada aritmética". El término "aritmética" se omite por razones de estilo.

D) En la vista de las colillas delanteras, podemos indicar el valor exacto del número. Estaba menos claro que era más grande, más bajo 4, ale más pequeño, más bajo 5, oskolki

42 = 16 (más pequeño, más bajo 17) y 52 = 25 (más alto, más bajo 17).
Por lo tanto, el valor más cercano del número se puede conocer con la ayuda de una microcalculadora, cómo vengar la operación de la raíz cuadrada; el valor es más caro 4.123.
Otzhe,
El número, como y mira el número no es racional.
e) No es posible calcular, no se puede utilizar la raíz cuadrada de un número negativo; un registro de indulgencias a los sentidos. La orden fue propuesta incorrectamente.
e), oskіlki 31 > 0 і 31 2 = 961. En tales casos, puede ganar la tabla de cuadrados de números naturales y una microcalculadora.
g), fragmentos 75 > 0 y 75 2 = 5625.
En los casos más simples, los valores de la raíz cuadrada se cuentan en fila: magros. brote. En situaciones de plegado, es necesario abrir una tabla de cuadrados de números chi y realizar cálculos con una microcalculadora adicional. ¿Y cómo buti, cómo puede una mano sin tablas, sin calculadora? V_dpovіmo en la cadena de alimentos, virіshivshi atacando el trasero.

trasero 2 Calcular
Solución.
Primera etapa. No importa si adivina que el vidpovid viide tiene 50 "cola". De hecho, 50 2 = 2500 y 60 2 = 3600, y el número 2809 se cambia entre los números 2500 y 3600.

Otra etapa. Conocemos la "cola", tobto. Dejo la cifra del número estúpido. Siempre que sepamos que la raíz está creciendo, en el futuro puede tener 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 o 59. Solo necesita verificar dos números: 53 y 57, el olor de hedor cuando al cuadrado dará b en El resultado es un número diferente que termina con el número 9, luego el mismo número que termina con el número 2809.
Maєmo 532 = 2809 tse los que necesitamos (tuvimos suerte, nos desperdiciamos en la "manzana"). Otzhe, = 53.
Sugerencia:

53
ejemplo 3 Los catetos de un tricutnik de corte recto tienen un grosor de 1 cm y 2 cm ¿Por qué el tricutnik es hipotenusa? (Mal.77)

Solución.

Seguimos rápidamente la geometría del teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de las longitudes de las piernas de un tricot de corte recto es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa, por lo que a 2 + b 2 \u003d c 2 de a, b - piernas, c - hipotenusa de un tricot de corte recto.

Significar,

Este trasero muestra que la introducción de la raíz cuadrada no es un error de los matemáticos, sino una necesidad objetiva: en la vida real, hay situaciones cuyos modelos matemáticos pueden superar la operación de forzar la raíz cuadrada. Tal vez, la más importante de tales situaciones está relacionada con
rozvyazannyam plaza rivnyan. Dosi, usando square equals ax 2 + bx + c \u003d 0, colocamos la parte izquierda en multiplicadores (que resultó estar lejos de la realidad), o calificaron métodos gráficos (que no son demasiado elegantes, pero hermosos ). Verdaderamente para la visualización
raíz x 1 y x 2 de la ecuación cuadrada ax 2 + bx + c = 0

venganza, como puedes ver, el signo de la raíz cuadrada. Qi fórmulas zastosovuyutsya prácticamente en tal rango. Vamos, por ejemplo, necesitas dividir 2x 2 + bx - 7 = 0. Aquí a = 2, b = 5, c = - 7. Luego,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) \u003d 81. Se conoce a Dalí. Significar,

Más hemos designado, que no es un número racional.
Los matemáticos llaman a esos números irracionales. Irracional: ya sea una mente numérica, como si la raíz cuadrada no apareciera. Por ejemplo, y etc. - Numeros irracionales. En 5 informes, hablaremos de números racionales e irracionales. Los números racionales e irracionales se convierten a la vez en números reales impersonales, es decir. números impersonales, con los que podemos operar en la vida real (por
noticias). Por ejemplo, todos estos son números válidos.
Asimismo, como ya hemos designado el concepto de raíz cuadrada, podemos asignar el concepto de raíz cúbica: la raíz cúbica de un número desconocido a se llama un número que me es desconocido, cuyo cubo es un número. De lo contrario, aparentemente, los celos significan que b 3 \u003d a.

Todo es posible en el curso de álgebra del grado 11.

El concepto de la raíz cuadrada de un número desconocido

Veamos la alineación x2 = 4. Desglosémosla gráficamente. Para quién en un sistema coordenadas zbuduєmo parábola y \u003d x2 i línea recta y \u003d 4 (Fig. 74). El hedor se tiñe en dos puntos A (- 2; 4) y B (2; 4). Los puntos de abscisas A y B son iguales a las raíces x2 = 4. Además, x1 = - 2, x2 = 2.

Razmirkovuyuchi así es, sabemos que la raíz es igual a x2 = 9 (div. fig. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Y ahora intentemos rozv'yazati igual x2 = 5; las ilustraciones geométricas se presentan en la fig. 75. Está claro que hay dos raíces x1 y x2, además, la cantidad de números, como y en dos pendientes hacia adelante, es igual para el valor absoluto y la longitud detrás del signo (x1 - - x2) niñera si pudieras encontrarlos fácilmente (porque podrías saberlos sin ser desaliñado con los gráficos), si x2 = 5 a la derecha, no es así: no podemos mostrar el significado de las raíces detrás de los sillones, solo podemos ponerlo en uno raíz tres puntos a la izquierda del punto - 2, y el otro - tres a la derecha del punto 2.

Ale, nos espera una sorpresa inaceptable. Parece que no hay tal fracciones DIV_ADBLOCK32">

Es aceptable que una gota tan efímera, para la cual gana la ecuanimidad. https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}!}, es decir, m2 = 5n2. Los celos restantes significan que número natural m2 se puede dividir sin exceso por 5 (privado ancho tiene n2).

Luego, el número m2 termina en el número 5, el número 0. Pero el número natural m termina en el número 5, el número 0, es decir, el número m se divide por 5 sin exceso. De lo contrario, parece que si el número m se subdivide por 5, entonces el viide privado es un número natural k. Ze significa que m = 5k.

Y ahora me pregunto:

Imagine 5k zam_st m para pershu ecuanimidad:

(5k) 2 = 5n2, luego 25k2 = 5n2 o n2 = 5k2.

Los celos restantes significan que el número. 5n2 se divide por 5 sin exceso. Rozmirkovuchi, como más, llegamos a la visnovka sobre aquellos que el número n es divisible por 5 sin superávit.

Además, m se divide por 5, n se divide por 5, luego, drib puede ser corto (por 5). Y luego permitimos que la drib no fuera corta. ¿Por qué está a la derecha? ¡Por qué, con razón, mirkuyuchi, llegamos al punto del absurdo o, como suelen decir los matemáticos, quitamos la toallita! ).

Si, como resultado del mirkuvan legal, llegamos a la superprecisión con la mente, entonces nos robaron los bigotes: nuestra admisión es incorrecta, entonces, aquellos que necesitaban ser llevados a ella estaban en lo correcto.

Padre, flotando solo en tu orden numeros racionales(Y todavía no sabemos los otros números), igual a x2 = 5 y no podemos superarlo.

Habiendo estudiado antes con una situación similar, los matemáticos se dieron cuenta de que era necesario encontrar una forma de describir mi lenguaje matemático. Introdujeron un símbolo aparentemente nuevo, al que llamaron raíz cuadrada, y para el símbolo adicional de la raíz igual a x2 \u003d 5 lo escribieron así: ). Ahora, por alguna razón, x2 = a, de a > Oh, puedes saber la raíz - son númeroshttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}!} no saludable y no seco.
Quiere decir que no es un número racional, sino el número de una nueva naturaleza, de tales números hablaremos especialmente más adelante, dividido 5.
Por el momento, es menos significativo, pero el nuevo número está entre los números 2 y 3, los fragmentos 22 = 4, y menos, menos 5; Z2 \u003d 9, y más bajo que 5. Puede especificar:

Una vez más, respeto: las tablas tienen números menos positivos, los fragmentos no se asignan a la raíz cuadrada designada. Si, por ejemplo, = 25 - la igualdad es correcta, vaya a la siguiente entrada al registro de la raíz cuadrada (para escribir qué). .jpg" alt="(!IDIOMA:.jpg" width="42" height="30">!}!}- Un número positivo significa https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}!}. Era más razonable que fuera mayor, menor 4, ale, menor, menor 5, 42 = 16 (menor, menor 17), y 52 = 25 (menor mayor, menor 17).
Vtіm, el valor más cercano del número se puede conocer para obtener ayuda microcalculadora cómo vengar la operación de raíz cuadrada; el valor es más caro 4.123.

El número, como y mira el número no es racional.
e) No es posible calcular, no se puede utilizar la raíz cuadrada de un número negativo; un registro de indulgencias a los sentidos. La orden fue propuesta incorrectamente.
mi) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zavdannya" width="80" height="33 id=">!}!} fragmentos 75 > 0 і 752 = 5625.

En los casos más simples, los valores de la raíz cuadrada se cuentan en múltiplos:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zavdannya" width="65" height="42 id=">!}!}
Solución.
Primera etapa. No importa si adivina que el vidpovid viide tiene 50 "cola". De hecho, 502 = 2500 y 602 = 3600, y el número 2809 se cambia entre los números 2500 y 3600.

Mirando una vez más el letrero... ¡Y vámonos!

Empecemos por uno simple:

Jvilinka. tse, y tse significa que podemos escribirlo así:

¿Conquistada? El eje de tu avance:

La raíz de los números, ¿qué pasó, realmente no se destacan? No bіda - el eje de ti así que aplica:

¿Y cuántos multiplicadores no son dos, sino más? ¡Mismo! La fórmula para la multiplicación de raíces funciona dependiendo de si hay algún número de multiplicadores:

Ahora lo haré yo mismo:

Sugerencias:¡Bien hecho! Espera, todo es fácil, ¡ya conoces la tabla de multiplicar!

Rozpodil koreniv

Hemos echado muchas raíces, ahora vamos al poder.

Supongo que la fórmula para el infame se ve así:

Qué significa raíz de una parte de una raíz privada.

Bueno, echemos un vistazo a los traseros:

Eje i toda la ciencia. Y el eje es un ejemplo de ello:

No todo es tan suave, como un primer tope, cerveza, como un bachish, no hay nada plegable.

Y qué, cómo emborracharse tal viraz:

Es necesario simplemente fórmula zastosuvat en la puerta directamente:

Y el eje es un ejemplo de ello:

¿Puedes ver tal viraz?

De todos modos, solo que aquí debes adivinar cómo cambiar las fracciones (si no recuerdas, ¡mira el tema y dale la vuelta!). ¿Adivinación? ¡Ahora lo vemos!

Embelesados, que estás con nosotros, nos hemos topado, ahora vamos a tratar de arraigar el mundo.

Zvedennya en el pie

¿Y qué vas a hacer, como una raíz cuadrada al cuadrado? Es simple, adivinamos el sentido de la raíz cuadrada de un número: el número entero, la raíz cuadrada de algún tipo.

Entonces, ¿cómo creamos un número, la raíz cuadrada de cierto número, un cuadrado, entonces qué se toma?

Bueno, ¡es increíble!

Echemos un vistazo a los ejemplos:

Todo es simple, ¿verdad? ¿Y cuál será la raíz de otro mundo? ¡Nada terrible!

Busca esas lógicas y recuerda el poder y la habilidad de paso a paso.

Lea la teoría sobre el tema "" y se volverá extremadamente claro.

Axis, por ejemplo, tal viraz:

¿De quién será el trasero pies masculinos, pero cuál será el vino sin maridar? Bueno, lo sé, detenga el nivel de poder y distribuya todo en multiplicadores:

A partir de este punto todo está claro, pero ¿cómo ganar la raíz del número en el mundo? Eje, por ejemplo:

Fácil de beber, ¿verdad? ¿Y más de dos pasos? Dorimuёmosya ієї zh logic, vikoristuyuyuchi pasos de poder:

Bueno, ¿cómo entendieron todos? Aplique estos mismos versículos usted mismo:

Un eje i vіdpovіdі:

Signo de raíz pid introducido

¡Por qué no hemos aprendido a trabajar con raíces! ¡Solo tomó un poco de tiempo intentar ingresar el número de raíces!

¡Es demasiado fácil!

Supongamos que tenemos un número

¿Qué podemos hacer con él? Bueno, zvichayno, cierra la trinidad debajo de la raíz, ¡recordando al mismo tiempo que el triplete es la raíz cuadrada!

¿Que más necesitamos? Así de sencillo, ampliar nuestras posibilidades con aplicaciones perfectas:

¿Cómo es ese poder de la raíz? ¿Es realmente una cuestión de vida? En mí, ¡eso es! Tilki Tenga en cuenta que solo podemos agregar un signo de raíz cuadrada a un número positivo.

Virish independientemente el eje del trasero -
¿Apresuraron? Vamos a maravillarnos, que puedes ver en ti:

¡Bien hecho! ¡Tienes suficiente para ingresar el número y el signo de la raíz! Pasemos a algo que no es menos importante: ¡veamos cómo corregir los números para vengar la raíz cuadrada!

Reparación de raíces

¿Qué tal si aprendemos a descifrar los números, cómo vengar la raíz cuadrada?

Un poco simple. A menudo, a los grandes y triviales virazas, que hablan en sueños, les tomamos pruebas irracionales (recuerden, ¿cómo es eso? ¡Ya hablamos de ustedes hoy!)

Otrimani vіdpovіdі necesitamos extendernos en la línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para rozvyazuvannya rivnyannya. El primer eje aquí culpa al zakovik: no hay una calculadora en uso, pero sin ella, ¿cómo revelar qué número es más grande y cuál es más pequeño? Otozh yo fuera!

Por ejemplo, vyznach, lo que es más: chi?

No lo dirás de inmediato. Bueno, ¿es rápido dibujar el poder del número introducido bajo el signo de la raíz?

Adelante:

Bueno, obviamente, cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma!

Tobto. yakscho, otzhe, .

Zv_dsi firmemente robimo visnovok, scho. ¡Y nadie puede cambiarnos del otro lado!

Presagiando las raíces de los grandes números

¿Ante quién presentamos el multiplicador bajo el signo de la raíz, pero cómo puedo culparlo? ¡Solo necesita colocar yogo en los multiplicadores y tirar de los que están tirando!

Era posible beber de una manera diferente y distribuirlo en otros multiplicadores:

No está mal, ¿verdad? Be-yaky en tsikh podkhodіv vіrniy, virіshuy como tú fácilmente.

El arreglo para los multiplicadores tendrá buena fortuna con la implementación de tales tareas no estándar, como el eje de la cadena:

¡No lakaєmos, sino diemo! Armamos un multiplicador de cuero debajo de la raíz en un multiplicador okremi:

Y ahora inténtalo por tu cuenta (¡sin calculadora! No podrás dormir con yoga):

Hiba tse kinets? ¡No se deje engañar por pivdoroz!

Axis y todo, no tan todo y da miedo, ¿verdad?

Wiishlo? ¡Bien hecho, tienes razón!

Y ahora prueba este trasero de virishiti:

Y el trasero es una olla mitzny, por lo que no podrá recogerlo de inmediato, como si fuera a pasar a uno nuevo. Ale nos vinos, obviamente, en los dientes.

Bueno, ¿qué hay de hacer arreglos para los multiplicadores? Es muy respetuoso que puedas sumar el número a (suponemos los signos de divisibilidad):

Y ahora, pruébalo tú mismo (lo sé, ¡sin calculadora!):

Bueno, erudito, ¿wiyshlo? ¡Bien hecho, tienes razón!

P_vedemo p_bolsas

1. La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número desconocido se llama tal número desconocido, el cuadrado de algún otro número.
   .
2. Si simplemente tomamos la raíz cuadrada de todo, siempre obtenemos un resultado invisible.
3. Potencia de la raíz aritmética:
4. Cuando la raíz cuadrada es igual, es necesario recordar que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, mayor será la raíz misma.

¿Cómo es tu raíz cuadrada? ¿Todo ha tenido sentido?

Hemos intentado explicarte sin conducir todo lo que es necesario saber en sueños sobre la raíz cuadrada.

Ahora tu diablo. Escríbanos un tema adecuado para usted.

Reconociéndote ahora, todo estaba tan claro.

¡Escribe en los comentarios y buena suerte con tu sueño!

En tsіy statti mi zaprovadimo entender la raíz del número. Dyatimemo secuencialmente: a partir de la raíz cuadrada, pasemos a la descripción de la raíz cúbica, después de lo cual podemos entender la raíz, que denota la raíz del grado n. Al mismo tiempo, introduce un nombre, un signo, sugiere una aplicación de raíces y da las explicaciones necesarias para ese comentario.

Raíz cuadrada, raíz cuadrada aritmética

Para comprender el significado de la raíz del número, y la raíz cuadrada del zokrem es necesario para la madre. En este punto, mi a menudo zishtovhuvatimosya con otro paso del número: el cuadrado del número.

pochnemo denominador raíz cuadrada.

Cita

raíz cuadrada de un- Tse número, el cuadrado de alguna antigua a.

plomo Schob aplicar la raiz cuadrada, Tomemos algunos números, por ejemplo, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 = 0.3 0.3 = 0.09 i 0 2 = 0 0 = 0). Entonces, para asignaciones dadas, el número 5 es la raíz cuadrada del número 25, los números −0.3 y 0.3 son las raíces cuadradas de 0.09 y 0 es la raíz cuadrada de cero.

Deslice la designación, para cualquier número que sea, el cuadrado de koho dorivnuє a. Y para sí mismo, para cualquier número negativo a, no use el mismo número decimal b, el cuadrado de cualquier otro número a. Cierto, la igualdad a=b 2 es imposible para cualquier negativo a , fragmentos b 2 - No sé el número para ningún b . de tal manera, en los números reales impersonales no existe la raíz cuadrada de un número negativo. En otras palabras, en los números reales impersonales, la raíz cuadrada de un número negativo no se destaca y no tiene sentido.

Suena como un alimento lógico: "¿Y cuál es la raíz cuadrada de a si hay mucho de a"? Vidpovid - entonces. Basado en este hecho, un método constructivo es importante para ganar la importancia del valor de la raíz cuadrada.

Luego presente una razón más lógica: "¿Cuál es el número de todas las raíces cuadradas de un número infinito dado a - uno, dos, tres, más más"? Eje v_dpov_d en nuevo: si a es igual a cero, entonces la raíz cuadrada única de cero es cero; por ejemplo, a es un número positivo, el número de raíces cuadradas del número a es igual a dos, además, la raíz es є. Obguruntuemo tse.

Adiós a=0. Por otro lado, se demuestra que cero es verdadero por la raíz cuadrada de cero. La razón de la uniformidad obvia 0 2 =0 0=0 es la designación de la raíz cuadrada.

Ahora podemos decir que 0 es la única raíz cuadrada de cero. Acelerando por el método de ver lo inaceptable. Supongamos que se sabe que el número b es el mismo número que cero, pero es la raíz cuadrada de cero. Todi maє vykonuvatisya umova b 2 =0, lo cual es imposible, fragmentos para be-yakom vіdminnym vіd zero b value virazu b 2 є positivo. Hicimos súper nitidez. Hay que traer que 0 es la única raíz cuadrada de cero.

Pasamos a vipadkіv, si a es un número positivo. Nos dijeron más, que tienes que usar la raíz cuadrada de cualquier número, que la raíz cuadrada a sea igual al número b. Es aceptable que є sea el número c, pero también є sea la raíz cuadrada de a. Luego, la raíz cuadrada de la equidad b 2 \u003d a і c 2 \u003d a, їх sli, sho b 2 − c 2 \u003d a−a \u003d 0, pero los fragmentos b 2 − c 2 \u003d (b− c) ( b + c ) , entonces (b-c) · (b + c) = 0 . Los celos son quitados de la fuerza. poderes dіy dіy dіysnimi números quizás solo entonces, si b-c=0 o b+c=0. En este orden, los números b y c son iguales o protilegios.

Si permitimos que el número d, con una raíz cuadrada más en el almacén a, entonces por el reflejo, similar a los que ya hemos señalado, se debe traer, que d está más cerca del número b o del número c . Además, el número de raíces cuadradas de un número positivo es igual a dos, además, la raíz cuadrada es números opuestos.

Para la eficiencia del trabajo con raíces cuadradas, la raíz negativa se “refuerza” como positiva. Se introducirá el método Z tієyu derivación de la raíz cuadrada aritmética.

Cita

La raíz cuadrada aritmética de un número negativo a- Tse nevіd'єmne number, cuyo cuadrado dovnyuє a.

Para la raíz cuadrada aritmética del almacén a, se toma el valor. El signo se llama signo de raíz cuadrada aritmética. Yogo también se llama el signo del radical. Esto puede ser en parte un poco como una "raíz", y también un "radical", lo que significa el mismo objeto.

El número bajo el signo de la raíz cuadrada aritmética se llama número raíz, y viraz bajo el signo de la raíz - subraiz virazom, en su término "número de raíz secundaria" a menudo se reemplaza por "número de raíz secundaria viraz". Por ejemplo, en la entrada, el número 151 es la raíz principal y en la entrada viraz a, la raíz es viraz.

Al leer, la palabra "aritmética" a menudo se omite, por ejemplo, el registro se lee como "raíz cuadrada de siete veintinueve centavos". La palabra "aritmética" se usa solo una vez, si quieres ser especialmente descarado, puedes ir sobre la raíz cuadrada positiva del número.

A la luz del valor introducido, la raíz cuadrada aritmética de la raíz cuadrada aritmética tiene el mismo valor que cualquier número no negativo a.

La raíz cuadrada de un número positivo a detrás del signo adicional de la raíz cuadrada aritmética se escribe como i. Por ejemplo, la raíz cuadrada del número 13 є i. La raíz cuadrada aritmética de cero es igual a cero, entonces . Para números negativos a, las entradas mi no están sujetas a sensación hasta el evento números complejos. Por ejemplo, para aliviar el sentido de expresión que.

Para las subbolsas de la importancia de la raíz cuadrada, el poder de las raíces cuadradas se destaca, lo que probablemente sea práctico.

Al final de este punto, vale la pena respetar que la raíz cuadrada del número a є soluciones a la forma x 2 \u003d un mejor cambio x.

raíz cúbica del número

Definición de la raíz cúbica almacén a se da de la misma manera que la raíz cuadrada. Solo se basa en la comprensión del cubo del número, pero no del cuadrado.

Cita

La raíz cúbica del número a se llama el número cuyo cubo es igual a a.

Navegable aplicar una raíz cúbica. Para qué número de números, por ejemplo, 7 , 0 , −2/3 sé їх y cubo: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Entonces, basándote en la designación de la raíz cúbica, puedes confirmar que el número 7 es la raíz cúbica de 343, 0 es la raíz cúbica de cero y −2/3 es la raíz cúbica de −8/27.

Puede mostrar que la raíz cúbica del almacén a, en la raíz cuadrada, zavzhdi іsnuє, además, para a no negativo, pero para cualquier número real a. Para quien puedes ganar de la misma manera, sobre la cual adivinamos la raíz cuadrada.

Además, ya no existe una sola raíz cúbica para un número dado a. Aportamos el resto de la firmeza. En este contexto, podemos ver tres vipadas: a es un número positivo, a=0 y a es un número negativo.

Es fácil demostrar que si la raíz cúbica de a es positiva, no puede ser ni un número negativo ni cero. Es cierto, sea b є una raíz cúbica para a, luego para lo mismo podemos escribir la igualdad b 3 \u003d a. Aparentemente, la certeza puede ser correcta para b negativo para b=0, los picos para los negativos b 3 =b·b serán un número negativo chi cero obviamente. Además, la raíz cúbica de un número positivo a es un número positivo.

Ahora es aceptable que el número b tenga una raíz cúbica más del número a, significativamente una c. Entonces c 3 = a. Luego, b 3 −c 3 =a−a=0 , pero b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(la fórmula para la multiplicación corta diferencia de cubos), estrellas (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Los celos de Otriman solo son posibles si b−c=0 o b 2 +b c+c 2 =0 . A partir de la primera igualdad, b=c es posible, y no hay otra solución, porque la parte izquierda es un número positivo para cualquier número positivo b і c como la suma de tres sumas positivas b 2 , b c і c 2 . Cim trajo la unidad de la raíz cúbica de un número positivo a.

Cuando a=0, la raíz cúbica del almacén a є es mayor que el número cero. Está claro que si asume que se usa el número b, si ve cero como una raíz cúbica de cero, entonces la culpa es de la igualdad de b 3 \u003d 0, ya que solo es posible con b \u003d 0.

Para a negativo, puede inducir un reflejo, similar al positivo a. Primero, se muestra que la raíz cúbica de un número negativo no puede ser igual a un número positivo, ni a cero. De otra manera, supongamos que de un número negativo hay otra raíz cúbica y se demuestra que los vinos de la lengua se combinan con el primero.

Otzzhe, zavzhd іsnuіє korіnіch s de cualquier número decimal dado, además, uno.

damo designación de la raíz cúbica aritmética.

Cita

La raíz cúbica aritmética de un número infinito a un número se llama desconocido para mí, un cubo de alguna antigua a.

La raíz cúbica aritmética del número desconocido a se indica con un signo llamado signo de la raíz cúbica aritmética, el número 3 en este registro se llama indicador de raíz. El número bajo el signo de la raíz - tse número raíz, viraz bajo el signo de la raíz - tse subraíz viraz.

Si desea que a la raíz cúbica aritmética se le asigne solo números negativos a, también puede ganar manualmente las entradas, para las cuales el signo de la raíz cúbica aritmética cambia los números negativos. Resumámoslo así: , de a es un número positivo. Por ejemplo, .

Hablaremos del poder de la raíz cúbica en el artículo principal del poder de las raíces.

El cálculo del valor de la raíz cúbica se llama cálculo de la raíz cúbica, la razón se toma del artículo del héroe de las raíces: formas, aplicar, soluciones.

Al final de este párrafo, digamos que la raíz cúbica del almacén es una solución є de la forma x 3 =a.

Raíz de la etapa n, raíz aritmética de la etapa n

Es fácil entender la raíz del número: presentamos designación de la raíz de la n-ésima etapa para n.

Cita

La raíz del grado n del número a- Número tse, paso n-ésimo de lo que es más caro a.

De qué cita se entendió que la raíz de la primera etapa del número a es el número a, los fragmentos de la misma etapa con el indicador natural se tomaron a 1 \u003d a.

Hemos analizado más de cerca las pendientes de la raíz de grado n en n=2 y n=3: la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Entonces, la raíz cuadrada es la raíz de otro nivel y la raíz cúbica es la raíz del tercer nivel. Para extraer las raíces del paso n-ésimo con n=4, 5, 6, ... їх divídalas manualmente en dos grupos: el primer grupo es la raíz de los pasos emparejados (tobto, con n=4, 6, 8, ...), el otro grupo es la raíz de los pasos impares (tobto, en n=5, 7, 9, ...). Por lo tanto, la raíz de los pasos apareados es similar a la raíz cuadrada y la raíz de los pasos no apareados es cúbica. Vamos a resolverlos con ellos.

Veamos las raíces, cuyos pasos son los chicos del número 4, 6, 8, ... Como ya dijimos, el hedor es similar a la raíz cuadrada del número a. Esa es la raíz de cualquier paso emparejado desde el número a іsnuє solo por no mucho. Además, si a=0, entonces la raíz a es única e igual a cero, y si a>0, entonces hay dos raíces del paso apareado del número a, además, son números opuestos.

Obguruntuemo permanece endurecido. Sea b la raíz del grado pareado (significativamente її yak 2m, de m es un número natural) del número a. Supongamos que el número c es una raíz más del paso 2·m en el almacén a. Entonces segundo 2 metro −c 2 metro =a−a=0 . Conocemos la forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2) entonces (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z ієї іїї іїї vіplivaєє, scho b−c=0 , o b+c=0 , o b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Los dos primeros iguales significan que los números b y c son iguales o b y c son protílegos. Y el resto de la igualdad es justa solo para b = c = 0, los fragmentos de la parte izquierda de la parte izquierda son virazados, ya que es no negativo para cualquier b y como la suma de números no negativos.

En cuanto a las raíces del grado n-ésimo con n impar, entonces el hedor es similar a la raíz cúbica. Por lo tanto, la raíz de cualquier grado desapareado del número a se usa para cualquier número decimal a, además, para un número dado a en є єdine.

La unidad de la raíz del paso impar 2 m+1 en el almacén a se obtiene por analogía con la prueba de la unidad de la raíz cúbica de a. Solo aqui esta el diputado de los celos a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) victoria de la forma b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viraz en el resto del arco se puede reescribir como b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Por ejemplo, en m=2 tal vez b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Si ayb son positivos ofensivos y los negativos negativos son un número positivo, entonces viraz b 2 +c 2 +b·c, que está en manos del nivel más alto de inversión, es positivo como la suma de números positivos. Ahora, sobresaliendo secuencialmente hasta el viraz en los arcos de los pasos hacia adelante de la inversión, cambiamos, que el hedor también es positivo como una suma de números positivos. Es necesario para el resultado que la igualdad b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 Es posible solo una vez, si b−c=0, entonces si el número b es igual al número c.

Ha llegado el momento de explorar las raíces del n-ésimo nivel. para quien se da designación de la raíz aritmética del grado n.

Cita

La raíz aritmética del grado n de un número infinito a el número se llama desconocido para mí, el n-ésimo paso de algún tipo de a.